а122

Геометрический контекст.

Сфера — это двумерный геометрический объект. Чтобы указать на ней точку, нам нужны две величины, два числа, два скаляра.

Сфера — это поверхность, обладающая топологией. Её топология отличается от топологии тора.

Обе обладают геодезическими системами. Как было отмечено в предыдущем разделе, мы можем задать на сфере две различные точки M1 и M2 и кривую, соединяющую их. Затем мы можем измерить длину вдоль этого особого пути. Это координатно-инвариантная величина. Сфера S2 существует независимо от любого трёхмерного пространства-представителя. Но мы можем представить её в нашем привычном евклидовом трёхмерном пространстве, в котором, как предполагается, мы живём. Тогда мы можем задать этой сфере центр и соединить все её точки с ним. См. рисунок (116). Каждая точка соответствует двум углам: q и j.
(116)

Мы проделали дыру в сфере, чтобы показать векторы OM, где O — центр, а M — точка сферы.

Теперь на рисунке (117) сохраним векторы и забудем сферу.

(117)

Эти полупрямые бесконечны, но мы изобразили их обрезанными на заданной длине, соответствующей радиусу R нашей сферы. Каждая прямая соответствует паре (q, j). Метрическая структура исчезла. Никаких геодезических, никакой длины. Что остаётся?

У любой из этих полупрямых есть соседи, которые образуют её окрестность. Каждую полупрямую можно представить заключённой в последовательность конусов (рисунок (118)).

(118)

Вокруг любой линии мы можем поместить сколько угодно линий конусов. Между двумя такими конусами мы всегда можем поместить ещё один. Это интуитивно подсказывает понятие дифференцируемости. В таком геометрическом объекте нет разрывности.

Теперь забудем сферу и возьмём плоскую поверхность. Это множество точек. Какую бы систему координат я ни выбрал, я могу определить точки двумя величинами: (x,y), (r,q) и так далее.

Пара действительных чисел. Они выбираются из R2, то есть из множества действительных чисел, например (3,8705 , - 17,56).

У любой пары действительных чисел (x ; y) есть бесконечное число соседей (x + Dx ; y + Dy).

Эти «пременные» объекты математики называют многообразиями.

Довольно трудно думать о такой «гибкой» среде. На (119) мы изобразили жёсткую плоскую поверхность с метрическими свойствами и ниже — тень её точек.

(119)

Тень не имеет собственной формы и протяжённости. Она зависит от экрана и создания световых лучей. На рисунке (120) мы намекаем на относительность тени по отношению к объекту.

(120)

Эти «параллельные линии» похожи на те лучи, которые мы ввели, чтобы связать точки сферы с её центром. Здесь точки плоскости «связаны» с «источником», находящимся в бесконечности.

Откажемся от этой последней идеи прямых линий. Рассмотрим пучок варёных спагетти (если они не варёные, они должны быть жёсткими и ломкими). Мы можем его согнуть. Но мы заставляем спагетти оставаться соединёнными вместе. Их окрестность не должна изменяться.

(121)

Всё это очень грубо, я знаю, и не вполне строго. Я просто пытаюсь подсказать читателю, чем может быть многообразие — геометрический объект без метрики, где главное свойство состоит в том, что у любой точки есть соседи.

Многообразие — это множество точек m. Я могу вообразить, что сопоставляю любой точке многообразия пару (M1 , M2) точек, принадлежащих действительным поверхностям, которые обладают метрическими свойствами, длиной и так далее...

n-мерное многообразие я называю скелетным многообразием, а связанные с ним n-мерные поверхности — просто слоями. Затем я строю

двулистное накрытие многообразия.

На рисунке (122) — двулистное накрытие многообразия m2 (два измерения).

(122)

На (122) я изобразил идентичные параллельные евклидовы слои (плоскости) с одинаковыми метриками. Но я могу построить рисунок (123):

Мы будем называть M и M* сопряжёнными точками. Построение этих двух слоёв из «скелетного многообразия» имеет определённый смысл: любой точке M слоя F мы можем сопоставить одну и только одну сопряжённую точку M*. Существует точечное отображение. Затем мы можем забыть скелетное многообразие.

Окрестности любой точки слоя F соответствует окрестность её сопряжённой точки M*. См. рисунок (124). Это означает, что любой регулярной области F соответствует сопряжённая регулярная область, принадлежащая F*.
(124)

Это, в частности, показывает, что сопряжённые точки M и M* описываются одним и тем же набором координат.