Сопряжённые кривизны.
Как можно понять трёхмерные пространства с локальной положительной или отрицательной кривизной?
Начнём с двумерных поверхностей. Рассмотрим сферу и закрепим где-нибудь на ней гвоздь, как показано на рисунке (125). Прикрепим нить длиной L, соединяющую гвоздь и карандаш. С её помощью мы можем начертить окружность — параллель сферы. Параллель сферы — это множество точек, находящихся на одинаковом расстоянии L от заданной точки S.
Мы можем проделать аналогичные операции (рисунки (125):
-
На седле
-
На плоскости.
(125)
На плоской поверхности периметр равен 2πL, а площадь диска равна πL².
На сфере периметр и площадь диска меньше. На седле, напротив, они больше.
Рассмотрим сферу и параллель, которая совпадает с её экватором. См. рисунок (126). Значения соответствуют рисунку (126)
(126)
Площадь диска в 3,875 раза больше соответствующей (серой) части сферы. Его периметр в 1,57 раза длиннее длины экватора.
Аналогичные опыты показали бы отрицательную кривизну седла. Если мы начертим замкнутую кривую — множество точек на одинаковом расстоянии L от заданной точки — на седле, площадь этого диска отрицательной кривизны будет больше площади плоского диска πL². Точно так же периметр диска отрицательной кривизны больше периметра плоского диска: 2πL.
Геометрия — наука для слепых. Геометры пытаются построить тесты, которые обитатели данного пространства могли бы провести, чтобы самим обнаружить его геометрические свойства. Из предыдущих рисунков обитатели двумерной поверхности, не способные увидеть её из внешней точки зрения (поскольку живут в ней), могли бы обнаружить путём измерения площадей и длин, обладает ли та часть поверхности, в которой они живут, положительной локальной кривизной, отрицательной локальной кривизной или нулевой локальной кривизной (евклидово пространство).
Заметим, что существуют поверхности, локальная кривизна которых может быть положительной, нулевой или отрицательной. Пример: тор.
(126ter)
Аналогичные методы применимы к трёхмерным пространствам. Выберите точку O где-нибудь. Возьмите нить, «карандаш» и с их помощью начертите множество точек, находящихся на заданном расстоянии L от рассматриваемой точки. Вы получите сферу и сможете измерить её площадь. Если эта поверхность построена в евклидовом трёхмерном пространстве, эта площадь будет равна: 4πL².
Если эта площадь окажется меньше, это означает, что данное трёхмерное пространство не является евклидовым. Это риманово трёхмерное пространство с положительной кривизной. Если мы измерим объём, то найдём его меньшим, чем:
(127)
Ситуация будет обратной, если мы имеем дело с трёхмерным пространством отрицательной кривизны. Площадь сферы, рассматриваемой как множество точек, находящихся на заданном расстоянии L от фиксированной точки O, будет больше 4πL². Объём внутри этой замкнутой поверхности будет больше (127).
Космология основана не на простых трёхмерных пространствах, а на четырёхмерных гиперповерхностях (с «гиперболической сигнатурой»), так что такое изложение ограничено. Мы должны рассматривать его как грубую дидактическую модель.
Риманова скалярная кривизна n-мерного пространства несколько иная.
В нашей нынешней космологической модели мы будем предполагать, что локальная скалярная риманова кривизна в сопряжённых точках (M, M*) противоположна:(127bis)
R* = - R
Специалист найдёт больше подробностей в статье:
J.P.Petit & P.Midy : Matter ghost matter astrophysics. 2 : Conjugated steady state metrics. Exact solutions. Geometrical Physics A , 5 , march 1998.
Далее — полезный двумерный дидактический образ, соответствующий рисунку 39.
(128)
Сверху: сглаженный позикон. Нулевая локальная (угловая) кривизна в части позикона. Постоянная плотность положительной (угловой) кривизны в (серой) части сферы.
Ниже: «сглаженный негакон». Нулевая локальная плотность (угловой) кривизны в части негакона, окружающей седло. Постоянная плотность отрицательной (угловой) кривизны в части седла, обращённой к части сферы.
Кривизны сопряжены. Лицом к лицу, с поточечным соответствием, — части позикона и негакона с нулевой локальной кривизной.
Лицом к лицу, с поточечным соответствием, — поверхность постоянной положительной кривизны (часть сферы) и поверхность отрицательной кривизны (седло). Плотности кривизны равны и противоположны. Круговые границы связаны поточечно.
Это дидактический образ нашей космологической модели. За более математическими подробностями см.:
J.P.Petit & P.Midy : Matter ghost-matter astrophysics. 1.The geometrical framework. The matter era and the newtonian approximation. Geometrical Physics A, 4 , march 1998.
