f103
| 3 |
|---|
Кривизна (положительная).
...Когда мы провели наш треугольник, состоящий из геодезических линий, на плоскости, сумма его углов в вершинах равнялась π. Плоскость... — это плоская поверхность, «некривая», евклидова. Сумма углов этого треугольника, таким образом, является евклидовой. В предыдущем опыте мы видели, что если треугольник не содержит вершину нашего конуса, сумма остаётся евклидовой. Однако, когда треугольник содержит вершину S, сумма имеет избыток q, независимо от треугольника, при условии, что он содержит эту точку. Мы скажем, что вершина конуса является точкой сконцентрированной кривизны.
...Теперь мы можем перейти к другим опытам. После изготовления двух конусов с вырезами q1 и q2 мы можем приклеить эти два элемента поверхности друг к другу.
...Более простой способ — сделать два выреза на листе картона и изготовить следующую поверхность:
Вы можете теперь провести на этой поверхности столько геодезических треугольников, сколько захотите:
-
Не содержащих ни S1, ни S2: сумма углов: π
-
Содержащих только S1: сумма углов π + q1
-
Содержащих только S2: сумма углов: π + q2
-
Содержащих обе точки S1 и S2: сумма углов: π + q1 + q2
...Легко представить, что можно изготовить большое количество маленьких конусов с малым углом Δq и приклеить их друг к другу. Можно даже добиться постоянной плотности кривизны на единицу площади, рассматривая эту кривизну как сумму Δq, связанных с каждым вершиной этих маленьких конусов.
...Уменьшая эти маленькие конусы всё больше (и угол элементарный Δq, связанный с ними), мы можем использовать это для построения части поверхности с постоянной плотностью кривизны.
Сфера — это поверхность с постоянной плотностью кривизны. Мы будем говорить проще — с локальной постоянной кривизной.
Яйцо — это кривая поверхность с переменной плотностью кривизны. Мы будем говорить проще — с локальной переменной кривизной.
...Общая теория относительности состоит в том, чтобы отождествить объёмную плотность массы ρ и локальную кривизну. Конечно, общая теория относительности рассматривает не поверхности с двумя измерениями, ни даже с тремя, а гиперповерхности с четырьмя измерениями. Поэтому не стоит слишком много требовать от вышеизложенного, и мы должны рассматривать эти фигуры только как наглядные образы, предназначенные для уяснения идей. Но они не так уж плохи.
Дидактическое изображение 2D небесного тела.
Небесное тело, как Солнце, — это концентрация материи, окруженная, если не вакуумом, то, по крайней мере, почти вакуумом (следовательно, область с очень малой кривизной). В двух измерениях дидактическое изображение будет выглядеть как затупленный конус.
...Затупленный конус изготавливается из двух элементов: сферической шапки с постоянной кривизной (или с «постоянной плотностью кривизны») и усечённого конуса. Усечённый конус — «плоский», его плотность кривизны равна нулю. Это евклидова поверхность. Это дидактическое изображение 2D небесного тела с постоянной объёмной плотностью массы ρ.
...Можно, кстати, задаться вопросом, как идеально соединить усечённый конус и сферическую шапку, чтобы касательная плоскость была непрерывной.
...Это просто. Усечённый конус изготавливается из конуса, который предполагает вырезание угла q. Сферическая шапка содержит определённое «количество кривизны», которое также является углом. Это сумма всех углов маленьких конусов, из которых она состоит. Эти два угла должны быть равны.
Но как оценить количество кривизны, содержащееся в данной сферической шапке?
../../../bons_commande/bon_global.htm ...
Оглавление
статьи Оглавление
науки Главная
страница
Предыдущая
страница Следующая
страница
**
Количество просмотров этой страницы с 1 июля 2004 года** :