f107
| 7 |
|---|
Сопряжённые геометрии.
...Теперь мы соединим тупой позикон и «тупой негакон», обладающие одинаковыми количествами кривизны, но противоположного знака: +q и –q. Мы можем разместить их друг напротив друга (при этом создав «точечное отображение»: биоднозначное, инъективное). Тогда получится две поверхности. Обозначим их F и F*. Каждой точке поверхности F соответствует точка поверхности F*.
...Постараемся добиться того, чтобы контуры круглых частей «затуплённых» участков, несущих кривизну (положительную на одной поверхности, отрицательную на другой), соответствовали друг другу точка в точку. Это можно проиллюстрировать, спроецировав всё на плоскость. Получаются две поверхности с сопряжённой кривизной.
...Конические боковые поверхности «без кривизны» — это элементы евклидовых поверхностей. Будем говорить, что в любой точке таких поверхностей локальная кривизна равна нулю. Сферическая шапочка и седловидная поверхность соответствуют друг другу точка в точку. Их кривизны противоположны.
Общая теория относительности.
...Исходной идеей является то, что геометрия космоса определяется его содержанием «энергия-материя». Заметим, что используется термин «энергия-материя», а не только «материя», что показывает, что любое космическое содержание оказывает влияние на геометрию, включая излучение, фотоны (или нейтрино). Как мы видели выше, фотон создаёт небольшую положительную кривизну в пространстве.
...Сначала рассмотрим стационарный случай. Плоская, свободная поверхность — это поверхность, на которой напряжение отсутствует. Мы можем изменить её геометрию, создав напряжения, положительные или отрицательные (знак зависит от условных соглашений). Например, нагревая пластиковую плёнку, я могу создать выпуклость, то есть область с положительной кривизной.
...Я также могу нанести на поверхность листа бумаги вещество, которое при высыхании будет сжиматься. Напряжение приведёт к появлению области с отрицательной кривизной.
...Кузнец, формующий металлические листы, умеет управлять этими напряжениями, чтобы деформировать металл. Возьмём, например, металлическую трубу. Я нагреваю одну сторону, а другую охлаждаю. Что произойдёт?
Труба начнёт изгибаться: нагретая часть расширится, а охлаждённая — сожмётся.
...Таким образом, мы создали напряжения в металле. Отсюда и происходит слово тензор в математике и геометрии. Специалист по сопротивлению материалов будет говорить о тензоре напряжений. Геометр — о тензоре кривизны.
Приведённый выше эксперимент иллюстрирует следующую идею:
Локальное содержание энергии → локальная геометрия
...В общей теории относительности поступают аналогично. Разница в том, что это локальное содержание энергии-материи определяет геометрию четырёхмерной гиперповерхности, а не, как здесь, двумерной поверхности. Но идея аналогична.
...Математик будет использовать тензорную запись. Здесь, для неподготовленного читателя, нельзя сказать больше. Но тензор Эйнштейна S (будем использовать жирные буквы) соответствует геометрической стороне. В уравнении Эйнштейна он идентифицируется с другим тензором T, описывающим содержание энергии-материи, с точностью до множительной константы — «константы Эйнштейна c».
Таким образом, знаменитое уравнение Эйнштейна записывается как:
S = c T
...В тензоре T фигурируют объёмная плотность массы r и давление p (на самом деле самый общий тензор T более сложен, но мы ограничимся этой, обычной, формой). В стационарной конфигурации мы задаём определённое распределение плотности и давления r(x,y,z), p(x,y,z). Зная это, мы можем построить тензор T, содержащий все данные задачи. Вопрос теперь звучит так: «Какова геометрия, соответствующая этому тензору T, удовлетворяющая приведённому выше уравнению?»
...Иными словами, физик, зная локальное содержание Вселенной, стремится определить геометрию гиперповерхности Вселенной.
Говоря о геометрии, мы имеем в виду геодезические. Здесь вступает второе предположение общей теории относительности:
Предполагается, что объекты, движущиеся в Вселенной,
следуют геодезическим линиям гиперповерхности пространство-время.
Под объектом понимаются частицы (элементарные частицы, фотоны, нейтрино), а также планеты, звёзды и т.д.
На этом этапе замечание: где же частицы в этой схеме?
...Ответ: специалист по общей теории относительности работает на макроскопическом уровне. Входные функции задачи — объёмная плотность массы r и давление p — соответствуют макроскопическому описанию космического содержания. То же самое относится и к выходным данным. И геометр добавляет:
- Вы дали мне функции r(x,y,z) и p(x,y,z), я построил соответствующую гиперповерхность с её семействами геодезических. Но больше я ничего сделать не могу. Я не в состоянии создать частицы, атомы и т.д. Для этого обратитесь к другому специалисту...
Проще говоря, мост между общей теорией относительности и физикой частиц пока не построен.
Но астроном скажет:
- Какая разница. Гипотеза, что фотоны следуют определённым геодезическим этой гиперповерхности, работает. Доказательство: я могу делать наблюдения. Если предположить, что планеты, рассматриваемые как точечные массы, также следуют геодезическим этой гиперповерхности, я могу построить их траектории. Есть также гравитационные линзы...
Он прав.
...Немного о гравитационных линзах. Конечно, изображение тупого конуса — лишь наглядная иллюстрация. Планета, движущаяся по круговой орбите вокруг звезды, также следует геодезической пространство-времени. Однако окружность, начерченная на тупом конусе, не является геодезической:
Это лишь показывает пределы наглядных образов, даже если они геометрические.
...Фотоны действительно следуют геодезическим линиям гиперповерхности пространство-времени. Мы можем использовать образ тупого конуса для иллюстрации этого. Лучи света могут проходить по обе стороны массивного объекта, а затем сходиться к наблюдателю. Если спроецировать эти геодезические, мы получим эффект миража: наблюдатель будет иметь впечатление, что имеется две источника вместо одного:
../../../bons_commande/bon_global.htm
Оглавление
статьи Оглавление
науки Главная
страница
Предыдущая
страница Следующая
страница
Количество просмотров этой страницы с 1 июля 2004 года** :