f108
| 8 |
|---|
Инвариантность при изменении координат.
...Вот ключевая идея Общей теории относительности, которую не так просто объяснить. Мы уже говорили, что поиск «космологического решения», стационарного или нестационарного, означает построение четырёхмерной гиперповерхности, которая является «решением уравнения поля».
...Возьмём, к примеру, металлический объект, имеющий топологию сферы. Это «сферический листовой металл». Ясно, что мы можем деформировать эту поверхность, нагревая и охлаждая её в разных местах. Например, нагревая в одной точке и охлаждая противоположную область, мы превратим сферу в яйцо. Яйцо — это объект, имеющий топологию сферы, но поверхность с переменной кривизной.
...Нагревая в одном месте и охлаждая в другом, мы создадим в металле напряжения. Конечно, поскольку материал проводящий, если прекратить нагрев и охлаждение, температура выровняется, и объект вернётся к своей сферической форме. Главное — создать стационарную ситуацию с полем неравномерной температуры. Это поле порождает напряжения, которые можно конкретизировать в виде математического объекта T, называемого тензором.
Что-то описывает геометрию объекта. Это называется метрика. На основе этого второго математического объекта можно:
- вычислить геометрический тензор S;
- вычислить геодезические поверхности.
Геометрию этой поверхности можно вычислить по уравнению, аналогичному уравнению Эйнштейна, вида:
S = a T
где a — константа. Зная заранее поле температуры в листе, то есть тензор напряжений, можно вывести его геометрию. Наилучший способ «прочитать» эту геометрию — проанализировать систему геодезических. Мы знаем геодезические сферы (их «большие круги»). Геодезические яйца отличаются.
...Чтобы описать эти геодезические, нам нужно определить систему координат на поверхности. Для сферы можно взять классическую азимутально-широтную систему координат.
...В этой особой системе координат геодезические сферы соответствуют определённым уравнениям.
На сфере кривые q = const представляют семейство геодезических, проходящих через две точки. В то же время кривые j = const (параллели) не являются геодезическими поверхности.
...Можно также определить аналогичную систему координат и записать уравнения геодезических поверхности «яйца». Но сразу замечаем важный факт: геодезические поверхности не зависят от выбранной системы координат, так же как точки сферы или яйца существуют независимо от системы координат, используемой для их описания.
...Точно так же на плоскости точки можно задавать в декартовых или полярных координатах. Прямые на плоскости являются геодезическими.
Прямая может быть описана в двух системах координат:
...Это одна и та же геодезическая, но с совершенно разными описаниями. Прямые на плоскости существуют независимо от способа их описания, от выбора координат. Их можно представить... бесконечное множество.
...Так что же является внутренним? Ответ: длина s, измеренная вдоль прямой (или вдоль произвольной кривой). Между двумя точками M1 и M2 на поверхности кратчайший путь — это геодезическая.
...Точно так же расстояние между двумя точками, измеренное вдоль геодезической на объектах «сфера» или «яйцо», является величиной, не зависящей от выбранной системы координат. Если взять две точки M1 и M2 на поверхности и провести соединяющую их геодезическую дугу, длина s, измеренная вдоль этой дуги, будет одинаковой, независимо от системы координат, используемой для определения точек.
...То же самое верно и для четырёхмерной гиперповерхности, которую мы называем «Вселенная». У неё есть своя система геодезических, также инвариантная при изменении координат. Мы не живём в пространстве (x, y, z, t) с координатами положения и временной координатой, а в четырёхмерной гиперповерхности, полностью описываемой своим сетью геодезических. На этих геодезических существует длина s, также инвариантная при изменении координат. Точки этой гиперповерхности больше не являются точками пространства, а являются точками пространственно-временной гиперповерхности. Их называют событиями. Два различных события разделены чем-то, что называется s. Но что же это такое?
Это собственное время.
...Геодезическая траектория в этой пространственно-временной гиперповерхности разделяет два события M1 и M2. Всё, что я могу сказать, — это то, что если бы я использовал транспорт для совершения этого пути в пространстве-времени, то на моих бортовых часах прошло бы время s.
Выбор системы координат означает определение точек пространства-времени с помощью пространственных координат (x, y, z) и временной координаты t. Но поскольку этот выбор произволен, само пространство и время не обладают внутренним существованием. Это лишь способы «прочитать» поверхность, способ её обойти. Единственное ограничение: в зависимости от сделанного предположения, можно двигаться только по геодезическим, и на них единственной надёжной величиной, к которой можно привязаться, является «собственное время» s, а не время t, которое является лишь системой временного отсчёта (хронологическим маркером).
Для каждого выбора системы координат — другая система чтения событий, явлений.
...Физики, таким образом, искали формализм, не зависящий от выбора координат. Это и есть суть тензорного формализма. О дальнейшем здесь нельзя сказать больше, чтобы не углубляться в относительно сложные технические детали.
Проблема сингулярностей.
На сфере классический выбор угловых координат вводит две полярные сингулярности.
Невозможно картографировать сферу без введения таких полярных сингулярностей.
...Следует отметить, что сферу можно картографировать с одной единственной сингулярностью. На сфере создаётся первая семья кривых (окружности), разрезая её плоскостями, как показано ниже:
Затем вторая семья:
Помимо одной единственной сингулярности, никаких проблем нет. Если посмотреть на сферу с другой стороны, увидим следующее:
...Помимо единственной сингулярности S, точки можно определять без затруднений. Однако значения параметров a и b, определяющих эту сингулярность сетки S, — совершенно произвольны...
...Тем не менее сфера геометрически, внутренне, не является сингулярной. Поверните бильярдный шар или яйцо в любом направлении — вы не обнаружите ни одной особой точки.
Эти сингулярности были созданы выбором координат.
../../../bons_commande/bon_global.htm
Оглавление
статьи Оглавление
науки Главная
страница
Предыдущая страница Следующая страница
**
Количество просмотров этой страницы с 1-го июля 2004 года** :