f110
| 10 |
|---|
- *Пространство представления.
...Было показано, что цилиндр — это развертывающаяся поверхность. Возьмите теперь лист бумаги. Это плоская, евклидова поверхность. Её геодезические — прямые линии. Начертите несколько прямых на этом листе, затем скомкайте его.
...Если бы вы могли зафиксировать эту скомканную плоскую поверхность, вы бы обнаружили, что эта операция не изменила распределения её геодезических, и вы могли бы снова провести их с помощью скотча. Вы просто изменили способ представления этой плоскости в трёхмерном пространстве погружения.
Более простой способ — превратить лист металла в... волнистый лист:
Геодезические: неизменны.
...Геометрические объекты существуют независимо от того, как мы их представляем, независимо от их пространства представления.
...Мы, по сути, живём в «четырёхмерной гиперповерхности» — пространстве-времени. Общая теория относительности заключается в попытке построить её геометрию как решение уравнения поля, а затем «прочитать» эту геометрию, анализируя геодезические гиперповерхности. В этом случае уже не имеет значения пространство представления. Для этого потребовалось бы пятимерное зрение, которого у нас нет.
...На практике мы используем координаты, соответствующие евклидовому пространству, проекционные. Представим, что мы ищем геометрическое решение, способное описать пространство-время вблизи массивного тела и внутри него. Мы предположим, что система обладает сферической симметрией. Кроме того, мы предположим, что система стационарна (или квазистационарна).
...Тогда мы будем использовать сферические координаты (r, q, j). В двух измерениях нам понадобятся только две координаты, и наша симметрия будет круговой. Тогда мы будем использовать полярную систему координат плоскости:
...Эта модель «затупленного тела» — двумерная наглядная иллюстрация стационарного решения, которое действительно существует в общей теории относительности и было придумано австрийцем Шварцшильдом в 1917 году как частное решение «уравнения Эйнштейна»:
S = c T
уже представленного выше. Это решение умное и тонкое. С вычислительной точки зрения оно не просто строится. Эта деталь приведена, чтобы развеять миф о том, что Эйнштейн был гением, изолированным в мире своего времени, населённым невеждами.
...Из этого решения следует, что вокруг массы, обладающей сферической симметрией, существуют геодезические плоские, лежащие в плоскостях, и можно вычислить их форму: r = f(q). Эти траектории (или по крайней мере их проекции в нашем мысленном, евклидовом пространстве представления) являются «почти кеплеровскими», и законы Кеплера выступают как приближение, когда масса, создающая эту геометрию (в ньютоновском представлении — «сила»), остаётся умеренной, то есть локальная кривизна внутри этой массы остаётся малой.
...Это решение является одним из ключевых элементов общей теории относительности, и хотя это не может быть показано простыми наглядными образами, как те, что мы предлагаем читателю, именно оно позволяет предсказать и вычислить, например, апсидальное движение перигелия Меркурия. Эйнштейн использовал это решение, чтобы объяснить этот эффект, уже известный ранее, и в то же время получил все лавры того, что вскоре стало называться «теорией Эйнштейна». Почему Шварцшильд не использовал сам своё открытие? Потому что он настаивал на том, чтобы вступить в бой и уйти на фронт, где был отравлен газом и вскоре умер.
...Кроме того, не вполне уверены, что знаменитое уравнение Эйнштейна действительно принадлежит ему. По-видимому, оно было предложено великим математиком Гильбертом. Эйнштейн также не очень тепло встретил открытие русского Фридмана, который, в свою очередь, нашёл нестационарное решение уравнения поля, позволяющее описать эволюцию Вселенной. То же самое произошло в 1921 году с работами молодого математика Калуцы, чьи работы, вновь открытые, сегодня являются отправной точкой теории суперструн. Эти вещи научно не имеют особого значения и вовсе не снижают ценности Эйнштейна, но показывают, что спортивный дух не обязательно связан с научной ценностью личности.
В решении, разработанном Шварцшильдом, технически пространство делится на две части. Внутри тела плотность материи r считается постоянной. Тензор энергии-материи T, от которого зависит, также не равен нулю. Снаружи r и T равны нулю.
...Таким образом, эта составная геометрия является решением двух разных уравнений — с правой частью и без неё. Плотность материи имеет разрыв на поверхности тела (так же, как и у пары решений Шварцшильда — «внутреннего» и «внешнего»). В этом случае тело — сфера постоянной плотности, которая резко падает до нуля на поверхности тела. Однако непрерывность геодезических может быть обеспечена благодаря математическим условиям, изображённым выше (соединение усечённого конуса и сферической капсулы).
...Когда масса становится значительной, а эффекты кривизны заметными, траектории отклоняются от кеплеровской модели более явно, например, вблизи нейтронной звезды. Ниже показано апсидальное движение перигелия вокруг такого тела (вблизи Солнца эллиптическая траектория Меркурия смещается на 0,15 градуса за столетие).
...Формула и программа, позволяющие вычислить эти траектории, на самом деле несложны. Мы когда-нибудь опубликуем их на этом сайте для любознательных.
...В настоящее время мы ставим несколько геометрических ориентиров в целях будущих обсуждений, напоминая, что приведённые модели имеют лишь ориентировочный характер.
../../../bons_commande/bon_global.htm
Оглавление
статьи Оглавление
науки Главная
страница
Предыдущая
страница Следующая
страница
Количество просмотров этой страницы с 1 июля 2004 года: