f111
| 11 |
|---|
Возможные проблемы, возникающие при выборе координат.
...Мы рассмотрим риски, связанные с навязыванием системы координат геометрическому решению, выражая это решение в данной системе координат: необходимо, чтобы она была подходящей. Когда мы смотрим на приведённое выше решение, предполагая, что эта геометрия является решением уравнения поля, использование системы координат (r, q) предполагало, что топология была «локально сферической», разумеется, в двух измерениях. То есть внутри любого круга, «центрированного на этом гипотетическом геометрическом центре», всегда можно вписать меньший круг, пока он не станет точкой. Математически мы скажем, что любой круг радиуса r ограничивает «сжимаемую ячейку».
...В 3D локально Вселенная была бы «матрёшкой». Внутри сферы всегда можно было бы вписать сферу меньшей площади. В 3D это — локально сферическая топология.
Может ли быть иначе?
Да, если топология поверхности «локально торическая». В 2D это выглядит так:
...Примечание: объект на рисунке выше — это поверхность 2D в том смысле, что для определения положения точки на ней нужно два параметра. В этом смысле кривая — это «поверхность с одной размерностью». Когда геометр говорит о круге, он использует выражение «сфера S1», то есть «сфера с одной размерностью»: для определения положения точки на кривой, одномерном объекте, достаточно одного параметра — абсциссы. Сфера S2, обычная сфера, и круг, сфера S1, имеют общее: это замкнутые объекты (понятие, заимствованное из топологии).
...Количество величин, необходимых для определения положения точки в пространстве, и есть точное определение размерности этого пространства. Таким образом, пространство-время (x,y,z,t) считается гиперповерхностью с четырьмя измерениями, поскольку для определения точки, называемой «событием», необходимо четыре величины.
Конец этого замечания о понятии размерности.
...Нужно всегда помнить одну вещь. Геометр, строящий конкретное решение уравнения поля, слеп, он не может увидеть геометрический объект, который получает. Он может лишь исследовать его через геодезические, описывая их в определённой системе координат. Полярные координаты, использованные ранее, соответствовали пересечению поверхности с семейством концентрических цилиндров:
и с семейством плоскостей, проходящих через их общий осевой центр.
В 3D это было бы пересечение пространства с семейством концентрических сфер.
...А что происходит, если мы пересечём поверхность, имеющую такой вид трубчатого моста, семейством концентрических цилиндров? Пока цилиндры пересекают поверхность, всё в порядке. Но когда их окружность становится меньше окружности «горла», сечения становятся... мнимыми кривыми. Пусть p — окружность горла. Сопоставим ей длину Rg так, что p = 2πRg.
...Ясно, что любой цилиндр из семейства, для которого r < Rg, не пересекает поверхность. Когда геометр будет изучать форму геодезических поверхности при r < Rg, он обнаружит геометрические объекты, мнимые.
...Когда мы ищем пересечение двух точек с прямой, например, x = x₀, мы получаем два действительных значения для y, когда прямая действительно пересекает окружность. В противном случае эти значения — чисто мнимые.
...Если человек, исследующий поверхность в темноте, не способен ощутить её форму, не зная, что её топология — локально торическая, он может быть крайне озадачен. Поверхность может быть определена двумя семействами кривых:
...Каждая кривая определяется одним параметром. Точка M, лежащая на пересечении этих двух кривых, однозначно определяется двумя величинами (a,b), двумя значениями кривых, проходящих через M.
...Первое семейство состоит из окружностей, которые не являются геодезическими поверхности (кроме окружности горла), второе — из геодезических гиперболической формы, ортогональных этим окружностям. Гиперболические кривые напоминают траектории, проникающие внутрь, позволяющие перейти с одной поверхности на другую. Аналогичная ситуация может возникнуть и в 3D-пространстве с локально гиперторической топологией. Окружности заменяются семейством сфер, среди которых найдётся сфера горла минимальной площади. Линии, ортогональные этому семейству сфер, образуют траектории, проникающие через гиперторический туннель и позволяющие появиться в другой трёхмерной поверхности (или слое).
...Это замечание не является пустым. У нас будет возможность вернуться к нему, когда мы будем анализировать модель чёрной дыры. Действительно, в этой модели, когда мы «проникаем внутрь сферы горизонта», масса частицы становится... чисто мнимой (и многое другое тоже). Тогда уместно задаться вопросом: находимся ли мы ещё в гиперповерхности пространства-времени? Будет ли уместным выбор конкретной системы координат (t, r, q, j), которая предполагает локально гиперсферическую топологию (существование радиальной координаты r, способной принимать значения, меньшие радиуса сферы горизонта, сферы Шварцшильда)?
Один известный астрофизик писал несколько лет назад:
- Мы теперь знаем гораздо больше о внутренности чёрных дыр.
Но если чёрные дыры существуют, имеют ли они внутренность, или они соответствуют локально гиперторической топологии?
...Видно, какое влияние может оказывать выбор системы координат. Геометрическое решение существует. Оно имеет геодезические. Но мы можем «прочитать» всё это лишь путём проекции в наше внутреннее представление: в евклидово пространство-время, которое даже не является релятивистским. Выбор системы координат — это выбор системы чтения, системы проекции.
...Как персонажи Платона, мы можем видеть лишь тени на «евклидовском экране». Но нужно выбрать правильную настройку «системы проекции».
../../../bons_commande/bon_global.htm...
Оглавление
статьи Оглавление
науки Главная
страница
Предыдущая
страница Следующая
страница
**
Количество просмотров этой страницы с 1-го июля 2004 года** :