Геометрия сферы и полупрямых

f122

Геометрический контекст.

...Сфера — это пространство размерности 2. Для того чтобы определить точку на ней, нужно два параметра. Это пространство имеет топологию (для более подробного объяснения значения слова «топология» см. мою комикс-историю «Топологикон», изд. Belin). У сферы не та же топология, не та же «форма», что у тора. У сферы есть геодезические. Можно вписать траекторию, соединяющую две точки M1 и M2, и измерить пройденный путь s. Эта длина не зависит от выбора координат для определения точек, так же как и геодезические кривые, заполняющие поверхность.

...Соединим центр этой сферы со всеми её точками. Получим бесконечное множество полупрямых. Их можно определить с помощью той же системы координат, что и точки, например, с помощью двух углов q и j.

Выше — наша сфера. Мы сделали отверстие, чтобы показать совокупность радиус-векторов.

Теперь уберём сферу и оставим только радиус-векторы.

...Мы обрезали эти полупрямые, но на самом деле они бесконечны. Каждая определяется лишь двумя параметрами, например, двумя углами. Метрическая структура исчезла. Нет геодезических, нет длин. Что осталось?

• У каждой полупрямой есть окрестность. Можно выделить соседние полупрямые, чтобы окружить данную полупрямую вроде конуса. Внутри этого конуса можно выделить ещё более узкий, содержащий данную полупрямую. Это похоже на концентрические окружности или матрёшки, но с пучками полупрямых. Однако речь не идёт о проведении геодезических на таких конусах. Каждая их образующая — это просто совокупность двух параметров, например, двух углов.

• У нас есть интуитивное представление о дифференцируемости. В этой «текстуре» нет разрывов.

Возьмём плоскую поверхность с геодезическими, длинами и т.д.

...Какой бы системой координат я ни выбрал, мне всё равно нужно будет определять положение точек с помощью двух действительных чисел (x,y), (r,q) и т.д.

Эти действительные числа берутся из R², то есть из множества пар действительных чисел, например (3,8705, –17,56). Любая пара точек из этого пространства пар имеет окрестность. Это «непрерывно».

Такие объекты «предметрические» называются многообразиями (математики мастерски выбирают слова, которые не вызывают никаких ассоциаций у обычного человека).

...На данном этапе мы можем пропустить шаг, при котором рассматривается множество из n действительных чисел (пространство размерности n), не привязывая к нему автоматически понятие длины или геодезических.

...Это немного похоже на то, как если бы мы рассматривали поверхность, точки которой подчинены лишь условию сохранять контакт с соседями. Она была бы бесконечно упругой и деформируемой. По соглашению, если мы изображаем поверхность через её контур (либо её границу, либо внешний вид), мы будем обсуждать этот «плавающий» концепт многообразия, просто убрав контур:

...Это изображение, кстати, напоминает тень объекта. А тень не имеет ни плотности, ни формы. Её геометрия зависит от объекта, на который она проецируется.

Можно также представить многообразие (на английском — manifold) без метрики как семейство прямых.

...Здесь мы изобразили прямые, которые кажутся параллельными. На самом деле эти прямые могут быть... как угодно, лишь бы сохранялись их отношения близости, соседства.

...В конечном итоге, хорошее представление о многообразии V2 — это пучок спагетти, который сначала варят, а потом могут сгибать и закручивать в любом направлении, но при этом не меняя порядка макарон друг относительно друга.

В любом случае, на многообразии можно выполнить операцию двулистного накрытия, снабжённую метриками, как показано на следующем изображении:

Здесь два двумерных листа с одинаковыми (евклидовыми) метриками. Но можно также сделать:

...Мы назовём M и M* сопряжёнными точками. То, что два сопряжённых пространства построены как двулистное накрытие многообразия, означает просто, что существует взаимно однозначное соответствие между двумя листами F и F*, но, например, расстояния между парами соответствующих точек (M1,M2), (M1, M2) могут быть разными. Единственное ограничение — это то, что окрестности точек должны соответствовать друг другу, и каждой невырожденной области одного листа соответствует невырожденная область другого.

...Мы возвращаемся к пучку гибких лапши, о котором говорили ранее. Структура «скелета-многообразия» нужна лишь для построения инъективного отображения между двумя геометрическими объектами. Рисунок выше призван полностью поставить под сомнение вопросы вроде: «Как расположены листы F и F* друг относительно друга? Если F — это Вселенная, где находится F*?» Эти листы просто сопряжены, с взаимно однозначным соответствием, и эти сопряжённые точки могут быть описаны одними и теми же координатами.

../../../bons_commande/bon_global.htm

Оглавление
статьи Оглавление
науки Главная
страница

Предыдущая
страница Следующая
страница

Количество просмотров этой страницы с 1-го июля 2004 года** :