Кривизна (положительная).
...Когда мы чертили наш треугольник, образованный геодезическими линиями, на плоскости, сумма его углов при вершинах равнялась p.
Плоскость... есть плоская, «неискривлённая», евклидова поверхность. Сумма углов этого треугольника, следовательно, есть евклидова сумма. В предыдущем опыте мы видели, что если треугольник не содержал вершины нашего конуса, сумма оставалась евклидовой. Напротив, когда треугольник содержит вершину S, эта сумма обнаруживает избыток q, каков бы ни был треугольник, лишь бы он содержал эту точку. Мы будем говорить, что вершина конуса есть точка сосредоточенной кривизны.
...Теперь мы можем перейти к другим опытам. Изготовив два конуса с вырезами q1 и q2, мы можем склеить эти два элемента поверхности друг с другом.
...Более простой способ состоит в том, чтобы произвести два выреза в листе картона и изготовить следующую поверхность:
Вы сможете тогда начертить на этой поверхности сколько угодно геодезических треугольников:
-
Не охватывающих ни S1, ни S2: Сумма углов: p
-
Охватывающих только S1: Сумма углов p + q1
-
Охватывающих только S2: Сумма углов: p + q2
-
Охватывающих обе точки S1 и S2: Сумма углов: p + q1+ q2
...Легко вообразить, что можно изготовить большое число мини-позиконов с малым углом Dq и наклеить их друг на друга. Можно было бы даже устроить так, чтобы существовала постоянная плотность кривизны на единицу поверхности, приравнивая эту кривизну сумме Dq, связанных с каждой вершиной этих мини-позиконов.
...Делая эти мини-позиконы всё меньшими (как и связанный с ними элементарный угол Dq), можно воспользоваться этим для построения участка поверхности с постоянной плотностью кривизны.
Сфера есть поверхность с постоянной плотностью кривизны. Скажем проще — с постоянной локальной кривизной.
Яйцо есть кривая поверхность с переменной плотностью кривизны. Скажем проще — с переменной локальной кривизной.
...Общая теория относительности состоит в отождествлении объёмной плотности r и локальной кривизны. Разумеется, Общая теория относительности имеет дело не с двумерными поверхностями и даже не с трёхмерными, а с гиперповерхностями четырёх измерений. Поэтому не следует слишком многого требовать от предыдущего, и мы должны рассматривать эти фигуры лишь как дидактические образы, предназначенные для закрепления идей. Но они не так уж плохи.
Двумерный дидактический образ светила.
Светило, как солнце, есть концентрация материи, окружённая, если не пустотой, то по крайней мере квазипустотой (то есть областью с очень слабой кривизной). В двух измерениях дидактическим образом будет притуплённый конус.
...Притуплённый конус изготовляется с помощью двух элементов: сферического колпака с постоянной кривизной (или с «постоянной плотностью кривизны») и усечённого конуса. Этот усечённый конус «плоский», его плотность кривизны равна нулю. Это евклидова поверхность. Это двумерный дидактический образ светила с постоянной объёмной плотностью r.
...Можно было бы попутно задаться вопросом, как идеально сочленить усечённый конус и сферический колпак так, чтобы касательная плоскость была непрерывной.
...Это просто. Усечённый конус изготовляется из конуса, который предполагает вырез угла q. Сферический колпак содержит некоторое «количество кривизны», которое также является углом. Это сумма всех углов мини-позиконов, которые его составляют. Нужно, чтобы эти два угла были равны.
Но как оценить количество кривизны, содержащееся в данном сферическом колпаке? .
...
Sommaire
article Sommaire
Science Page
d'Accueil
Retour vers
Guide-Sciences Nombre de consultations de cette page depuis le 1° juillet 2004
: