| 4 |
Полная кривизна.
...Мы можем изготовить сферу, состыковывая мини-позиконы. Но в ходе этой операции эта поверхность с постоянной кривизной (или плотностью кривизны, или локальной кривизной) замкнётся. Значит, она содержит некоторую кривизну, но какую именно?
...Если я начерчу геодезический треугольник на сфере, он охватит некоторое число мини-позиконов, некоторое «количество кривизны», которое является углом. Оно будет просто пропорционально площади треугольника, или, точнее, отношению между площадью s треугольника и площадью S сферы.
...Но мы видели выше, что когда мы чертили геодезический треугольник на поверхности, изготовленной из соединённых позиконов, отклонение от евклидовой суммы было равно сумме сосредоточенных кривизн, связанных с каждой вершиной конусов, содержащихся в нашем треугольнике. Поэтому достаточно измерить сумму углов a, b, g треугольника выше, изготовленного из трёх геодезических дуг сферы, чтобы получить меру количества угловой кривизны, содержащейся в этом треугольнике. Геодезические сферы — это её «большие круги».
...Разрежем нашу сферу на восемь равных частей. Мы получим восемь треугольников, образованных геодезическими дугами, все три угла которых будут прямыми.
...Каждый из этих треугольников содержит, следовательно, кривизну, равную p/2. Поскольку их восемь, полная кривизна сферы равна, таким образом, 4 p.
...Это небольшое замечание, чтобы показать, что можно строить геометрические результаты с помощью чрезвычайно простых рассуждений.
...Возвращаясь к теме притуплённого конуса, видно, что боковая поверхность объекта зависит от количества кривизны, «содержащейся внутри», причём эта кривизна может быть точечной (коническая точка) или распределённой по сферическому колпачку. Можно устремить колпачок к точке, уменьшая его гомотетически (таким образом, чтобы он всегда содержал одно и то же «количество кривизны»).
Траектории.
...В общей теории относительности ключевая идея проста: уподоблять траектории объектов, частиц, фотонов или материи геодезическим. Разумеется, это геодезические гиперповерхности четырёх измерений. Так что и здесь у нас лишь дидактические образы.
Если взять наш притуплённый конус, можно начертить на нём геодезические и спроецировать их на плоскость.
...Все частицы следуют геодезическим гиперповерхности: частицы материи, но также фотоны и нейтрино. Именно поэтому мы позабавились, изобразив геодезическую, которая полностью пересекает объект. Нейтрино может без проблем пройти сквозь Солнце.
...Но что это за плоскость, на которую проецируются эти геодезические? Это способ, которым мы представляем пространство. Наш «мысленный универсум» полностью евклидов, а наше мышление «плоское». Когда мы видим комету, проносящуюся мимо Солнца, нам никогда не придёт в голову, что на самом деле она движется «прямо», то есть следует геодезической гиперповерхности. Наше восприятие мира — это рисунок 24', где светило «притягивает» объекты, проходящие в его окрестности.
Содержание статьи Содержание раздела Наука Главная страница
Предыдущая страница Следующая страница
Возврат к Путеводителю по наукам Число посещений этой страницы с 1 июля 2004 года: