| 7 |
Сопряжённые
геометрии.
...Мы
сопоставим тогда притуплённый позикон и «притуплённый
негакон», несущие одинаковые количества кривизны,
но противоположного знака: + q
и - q.
Их можно расположить лицом к лицу (создав попутно «отображение
точка в точку»: биоднозначное, инъективное). Тогда имеются два слоя.
Назовём их F и F*. Каждой точке F соответствует точка F*.
...Постараемся
сделать так, чтобы круговые контуры «притуплённых частей», несущих
кривизну (положительную в одном слое, отрицательную в другом), соответствовали
друг другу точка в точку. Проиллюстрируем это, спроецировав всё на плоскость. Получим
две поверхности, обладающие сопряжёнными кривизнами.
...Конические
боковины «неискривлены», это элементы
евклидовых поверхностей. Скажем, что в каждой точке этих поверхностей локальная
кривизна равна нулю. Сферический колпак и седло соответствуют друг другу
точка в точку. Их кривизны противоположны.
Общая теория
относительности.
...Отправная
точка — идея, что геометрия
космоса определяется его содержанием «энергии-материи».
Отметим, что употребляется слово энергия-материя, а не только
материя, что ясно показывает: любое космическое содержание влияет
на геометрию, включая излучение, фотоны (или
нейтрино). Выше мы видели, что фотон создаёт мини-кривизну
положительного знака в пространстве.
...Сначала
будем рассуждать в стационарном режиме. Плоская свободная поверхность — это
поверхность, где натяжение равно нулю. Можно изменить её геометрию,
создав в ней натяжения, положительные или отрицательные (знак —
вопрос соглашений). Если я, например, нагрею пластиковую плёнку,
то смогу вызвать на ней пузырь, то есть область
с положительной кривизной.
...Я
могу также нанести на поверхность листа бумаги вещество, которое,
высыхая, будет сжиматься. Натяжение вызовет появление
области с отрицательной кривизной.
...Кузнец-формовщик умеет играть на этих натяжениях, чтобы деформировать
листовой металл. Возьмём, например, металлическую трубу. Я нагреваю с одной стороны,
охлаждаю с другой. Что произойдёт?
Труба изогнётся:
нагретая часть расширится, а охлаждённая сожмётся.
...Тем
самым мы создали натяжения в
металле. Отсюда происходит слово тензор в математике
и геометрии. Специалист по сопротивлению
материалов будет говорить о тензоре напряжений. Геометр
же будет говорить о тензоре кривизны.
Маленький опыт
выше иллюстрирует идею:
Локальное содержание энергии ----->
локальная геометрия
...В
Общей теории относительности поступают так же. Разница
в том, что это локальное содержание энергии-материи определяет
геометрию гиперповерхности четырёх измерений, а
не, как здесь, геометрию поверхности двух измерений.
Но идея аналогична.
...Математик
тогда будет использовать тензорную запись. Немного больше здесь сказать нельзя для нематематика.
Но тензор Эйнштейна S
(будут использоваться жирные буквы) соответствует аспекту геометрии.
В уравнении Эйнштейна его отождествляют с другим тензором
T, который описывает
содержание энергии-материи, с точностью до постоянного множителя,
«константы Эйнштейна c
».
Знаменитое
уравнение Эйнштейна записывается поэтому так:
S = c
T
...В
тензор T
входят плотность r и
давление p (на самом деле самый общий тензор T сложнее, но мы ограничимся
этим, впрочем, обычным выражением). В стационарной конфигурации
тем самым задаётся некоторое распределение плотности и давления
r (x,y,z)
, p (x,y,z). С этим умеют строить тензор T,
который таким образом содержит все
данные задачи. Вопрос тогда таков: «какая
геометрия соответствует этому тензору T,
удовлетворяя уравнению выше?».
...Иными
словами, физик, зная локальное содержание вселенной, стремится
определить геометрию гиперповерхности вселенной.
Кто говорит «геометрия»,
говорит «геодезические». Здесь и вступает вторая
гипотеза Общей теории относительности:
Предполагается, что объекты, движущиеся
во вселенной,
следуют геодезическим
гиперповерхности пространства-времени.
Под объектом будут пониматься
частицы (так называемые элементарные частицы, фотоны, нейтрино),
а также планеты, звёзды и т. д....
На этой стадии одно замечание:
где во всём этом частицы?
...Ответ:
специалист по Общей теории относительности занимается
макроскопическим. Входные функции задачи —
плотность r и
давление p — соответствуют макроскопическому описанию содержания
космоса. То же самое для «выхода». И геометр добавляет:
— Вы дали мне
функции r
(x,y,z)
и p (x,y,z), я построил вам соответствующую гиперповерхность, с её
семействами геодезических. Но больше я не могу. Я, в частности,
не способен изготовить вам частицы, атомы
и т. д. За этим обратитесь в другой отдел...
Ясно: мост между
Общей теорией относительности и физикой частиц
ещё не построен.
Но астроном воскликнет:
— Неважно. Эта гипотеза,
согласно которой фотоны следуют определённым геодезическим этой
гиперповерхности, работает. Доказательство: я могу делать наблюдения.
Если я предположу, что планеты, отождествляемые с точечными массами,
также следуют геодезическим этой
гиперповерхности, я смогу построить их траектории. Есть также эффекты
гравитационной линзы....
Он прав.
...Об
этих эффектах гравитационной линзы скажем несколько слов. Конечно,
этот образ притуплённого конуса — лишь дидактический образ.
Планета, обращающаяся по круговой орбите вокруг звезды, также следует
геодезической пространства-времени. Однако окружность, начерченная
на притуплённом конусе, не является геодезической:
Это просто показывает
пределы дидактических образов, будь они даже геометрическими.
...Фотоны
действительно следуют геодезическим гиперповерхности
пространства-времени. Для иллюстрации можно воспользоваться этим образом притуплённого конуса.
Световые лучи могут проходить по обе стороны массивного
объекта, а затем сходиться к наблюдателю. Если спроецировать эти геодезические,
мы получим эффект миража: у наблюдателя будет впечатление, что
есть два источника вместо одного:
Содержание
статьи Содержание
Science Домашняя
страница
Предыдущая страница Следующая
страница
Число посещений этой страницы с 1 июля 2004 г.
: