Инвариантность относительно замены координат.
...Вот ключевое понятие Общей теории относительности, которое нелегко представить. Мы сказали, что поиск «космологического решения», стационарного или нестационарного, сводится к построению четырёхмерной гиперповерхности, которая является «решением уравнения поля».
...Возьмём, например, жестяной объект, имеющий топологию сферы. Это «жестяная сфера». Здесь опять-таки легко вообразить, что эту поверхность можно деформировать, нагревая и охлаждая её в отдельных местах. Например, нагревая в одной точке и охлаждая антиподальную область, мы превратили бы эту сферу в яйцо. Яйцо — это объект, имеющий топологию сферы, но являющийся поверхностью с переменной кривизной.
...Нагревая в одном месте и охлаждая в другом, мы создадим напряжения в металле. Разумеется, поскольку этот материал проводящий, если прекратить нагревать и охлаждать, температура выровняется и объект вернёт свою сферическую форму. Важно то, что удаётся создать стационарную ситуацию с неоднородным полем температуры. Это поле порождает напряжения, и эти напряжения можно было бы конкретизировать в виде математического объекта T, называемого тензором.
Нечто описывает геометрию объекта. Это называется метрикой. Именно исходя из этого второго математического объекта можно:
-
Вычислить геометрический тензор S
-
Вычислить геодезические поверхности.
Геометрию этой поверхности можно было бы вычислить из уравнения, аналогичного уравнению Эйнштейна, вида:
S = a T
где a — константа. Зная априори поле температуры в жести, то есть тензор напряжений, можно было бы вывести из него её геометрию. Лучший способ «прочитать» эту геометрию состоял бы тогда в анализе системы геодезических. Нам известны геодезические сферы (её «большие круги»). Геодезические яйца иные.
...Чтобы описать эти геодезические, нам нужно будет определить систему координат на поверхности. Для сферы можно взять классическую систему азимут-зенит.
...В этой particular системе координат геодезические сферы соответствовали бы определённым уравнениям.
На этой сфере кривые q = Cte представляют семейство геодезических, проходящих через две точки. Напротив, кривые j = Cte (параллели) не являются геодезическими поверхности.
...Можно было бы также определить аналогичную систему координат и написать уравнения геодезических поверхности «яйцо». Но сразу замечаешь существенную вещь: геодезические поверхности не зависят от координат, которые выбираются для их описания, так же как точки сферы или яйца существуют независимо от системы координат, используемой для их локализации.
...Точно так же на плоскости можно представлять точки в декартовых или в полярных координатах. Прямые плоскости являются геодезическими.
Прямую можно описать в двух системах координат:
...Речь идёт об одной и той же геодезической, с двумя совершенно разными описаниями. Прямые плоскости существуют независимо от способа их описания, от выбора используемых координат. И можно вообразить их... бесконечное множество.
...Итак, что же является внутренним? Ответ: длина s, измеренная на прямой (или вдоль любого криволинейного контура). Между двумя точками M1 и M2 поверхности путь минимальной длины является геодезической.
...Точно так же расстояние, разделяющее две точки на геодезической объектов «сфера» или «яйцо», также является величиной, независимой от выбранной системы координат. Если взять две точки M1 и M2 на поверхности и провести соединяющую их геодезическую дугу, длина s, измеренная вдоль этой дуги, будет одинаковой при любой системе координат, используемой для локализации точек.
...То же самое относится к четырёхмерной гиперповерхности, которую мы называем «вселенной». Она обладает своей системой геодезических, также инвариантных относительно замены координат. Мы живём не в пространстве (x, y, z, t) с координатами положения и координатой времени, а в четырёхмерной гиперповерхности, которая может быть полностью описана своей сетью геодезических. На этих геодезических существует длина s, также инвариантная относительно замены координат. Точки этой гиперповерхности — уже не точки пространства, а точки гиперповерхности пространства-времени. Их называют событиями. Два различных события, следовательно, разделены чем-то, что называется s. Но что же это такое?
Это собственное время.
...Геодезическая траектория в этой гиперповерхности пространства-времени разделяет два события M1 и M2. Всё, что я могу сказать, это то, что если бы я использовал транспортное средство для совершения этого пути в пространстве-времени, на моих бортовых часах прошёл бы промежуток времени s.
Выбор координат состоит в локализации точек пространства-времени пространственными координатами (x, y, z) и координатой времени t. Но поскольку этот выбор произволен, это пространство и это время не имеют внутреннего существования. Это лишь способы «читать» поверхность, перемещаться по ней. Единственное ограничение: в зависимости от сделанного предположения, можно перемещаться только по геодезическим, и на последних единственное надёжное, за что можно держаться, — это «прошедшее собственное время» s, а не это время t, простая система хронологической отметки.
Для каждого выбора системы координат — различная система прочтения событий, явлений.
...Поэтому физики искали формализм, независимый от выбора координат. Это суть тензорного формализма. Больше об этом сказать нельзя, не вдаваясь в относительно сложные технические детали.
Проблема сингулярностей.
На сфере классический выбор угловых координат вводит две полярные сингулярности.
Невозможно картографировать сферу, не вводя такого рода полярные сингулярности.
...Отметим, что можно картографировать сферу с единственной сингулярностью. На сфере создают первое семейство кривых (окружностей), пересекая её плоскостями, как показано ниже:
Затем второе семейство:
Вне этой единственной сингулярности проблем нет. Если бы мы посмотрели на эту сферу с другой стороны, мы увидели бы это:
...Вне единственной сингулярности S точки локализуются без труда. Но значения параметров a и b, определяющих эту сингулярность сетки S, — ... какие угодно...
...Однако сфера не является геометрически, внутренне сингулярной. Вращайте бильярдный шар во все стороны или яйцо — вы не обнаружите в нём никакой сингулярной точки.
Значит, эти сингулярности были созданы выбором координат.
Sommaire article Sommaire Science Page d'Accueil
Retour vers Guide-Sciences Nombre de consultations de cette page depuis le 1° juillet 2004 :