| 10 |
Пространство представления.
...Мы видели, что цилиндр является развёртывающейся поверхностью. Возьмите теперь лист бумаги. Это плоская, евклидова поверхность. Её геодезические — прямые. Начертите несколько прямых на этом листе, а затем скомкайте его.
...Если бы вы могли придать жёсткость этой смятой плоской поверхности, вы бы заметили, что эта операция ничуть не изменила распределение её геодезических, которые вы могли бы снова прочертить с помощью вашей клейкой ленты. Вы просто поиграли со способом представления этой плоскости в её трёхмерном пространстве погружения.
Менее сложный способ состоит в том, чтобы превратить жестяной лист в... гофрированный лист:
Геодезические: без изменений.
...Геометрические объекты существуют независимо от того, как мы их себе представляем, независимо от их пространства представления.
...Предполагается, что мы обитаем в «четырёхмерной гиперповерхности»: пространстве-времени. Общая теория относительности состоит в попытке построить его геометрию как решение уравнения поля, а затем «прочитать» эту геометрию, анализируя геодезические гиперповерхности. Очевидно, что тогда речь уже не идёт о пространстве представления. Для этого нужно было бы располагать видением в пяти измерениях, которого у нас нет.
...На практике мы используем координаты, которые являются координатами евклидова пространства проекции. Представим, что мы ищем геометрическое решение, пригодное для описания пространства-времени в окрестности массивного тела и внутри него. Мы предположим, что система обладает сферической симметрией. Кроме того, мы предположим, что эта система стационарна (или квазистационарна).
...Тогда мы будем использовать сферические координаты (r, q, j). В двух измерениях у нас будет только две из них, и нашей симметрией будет круговая. Тогда мы будем использовать систему полярных координат плоскости:
...Эта модель затупленного тела является двумерным дидактическим образом стационарного решения, которое действительно существует в Общей теории относительности и которое было изобретено австрийцем Шварцшильдом в 1917 году как частное решение «уравнения Эйнштейна»:
S = c T
уже представленного выше. Это решение умное и тонкое. В вычислительном плане его не просто построить. Это уточнение сделано, чтобы попытаться развеять миф: миф об Эйнштейне, гении, изолированном в мире своего времени, населённом невеждами.
...Исходя из этого решения, показывают, что вокруг массы, обладающей сферической симметрией, существуют плоские геодезические, расположенные в плоскостях, и умеют вычислять их форму: r = f (q). Эти траектории (или, по крайней мере, их проекция в нашем мысленном евклидовом пространстве представления) являются «почти кеплеровскими», и законы Кеплера предстают тогда как приближение, когда масса, создающая эту геометрию (в ньютоновском видении — эта «сила»), остаётся умеренной, то есть когда локальная кривизна в этой массе остаётся слабой.
...Это решение является одной из опор Общей теории относительности, и, хотя его нельзя передать простыми дидактическими образами, подобными тем, что мы предлагаем читателю, именно оно позволяет предсказывать и вычислять, например, смещение перигелия Меркурия. Эйнштейн воспользовался этим решением, чтобы объяснить этот уже известный эффект, и заодно пожал все лавры того, что отныне стали называть «теорией Эйнштейна». Почему Шварцшильд сам не использовал своё открытие? Потому что он непременно хотел записаться и отправиться на фронт, где был отравлен газом и вскоре умер.
...Впрочем, нет полной уверенности, что это знаменитое уравнение Эйнштейна действительно принадлежит ему. По-видимому, оно было ему подсказано великим математиком Гильбертом. Эйнштейн также не встретил с энтузиазмом последующее открытие русского Фридмана, который, в свою очередь, открыл нестационарное решение уравнения поля, позволяющее описать эволюцию вселенной. То же самое — в 1921 году в отношении работ молодого математика Калуцы, чьи работы, вновь открытые, теперь составляют отправную точку теории суперструн. Эти вещи научно малозначительны и нисколько не умаляют ценности Эйнштейна, но показывают, что спортивный дух не обязательно сочетается с научной ценностью индивида.
В решении, разработанном Шварцшильдом, технически пространство состоит из двух частей. Внутри светила плотность материи r предполагается постоянной. Тензор энергии-материи T, который от неё зависит, также не равен нулю. Снаружи r и T равны нулю.
...Эта составная геометрия, таким образом, является решением двух разных уравнений, с правой частью или без неё. Плотность материи имеет разрыв на поверхности светила (это также имеет место для пары «внутреннее» решение Шварцшильда и «внешнее» решение Шварцшильда. В этом случае светило представляет собой сферу постоянной плотности, и она резко падает до нуля на поверхности светила). Но непрерывность геодезических может тем не менее быть обеспечена посредством математических условий, образ которых был дан выше (соединение усечённого конуса — сферического сегмента).
...Когда масса становится значительной, а эффекты кривизны — выраженными, траектории тогда более заметно отклоняются от кеплеровской модели, например, в окрестности нейтронной звезды. Ниже — смещение перигелия вокруг такого светила (вокруг Солнца эллиптическая траектория Меркурия смещается на 0,15 градуса за столетие).
...Впрочем, формула и программа, позволяющие вычислять эти траектории, вовсе не сложны. Мы однажды приведём их на этом сайте для любопытных.
...Сейчас мы закладываем некоторые геометрические вехи ввиду последующих обсуждений, напоминая при этом, что указанные модели имеют лишь ориентировочный характер. .
Содержание статьи Содержание раздела Наука Главная страница
Предыдущая страница Следующая страница
Возврат к Путеводителю по науке
Число посещений этой страницы с 1 июля 2004 года: