| 11 |
Возможные проблемы, создаваемые выбором координат.
...Мы собираемся упомянуть риски, связанные с наложением системы координат на геометрическое решение, с выражением этого решения в данной конкретной системе координат: ещё нужно, чтобы она была адекватной. Когда мы смотрим на вышеприведённое решение, предполагая, что эта геометрия является решением уравнения поля, обращение к системе координат (r , q) предполагало, что топология была «локально сферической», в двух измерениях, конечно. То есть внутри любого круга, «центрированного на этом гипотетическом геометрическом центре», всегда можно было вписать круг меньшего размера, пока этот круг не станет точкой. Математически сказали бы, что любой круг радиуса r ограничивает «сжимаемую клетку».
...В 3d локально вселенная была бы «как матрёшки». Внутри сферы всегда можно было бы вписать сферу меньшей площади. В 3d речь идёт о локально сферической топологии.
Может ли быть иначе?
Да, если топология поверхности «локально тороидальная». В 2d это даёт следующее:
...Замечание: объект на вышеприведённом рисунке является 2d-поверхностью в том смысле, что для указания положения точки на ней нужны два параметра. В этом смысле кривая является «одномерной поверхностью». Говоря об окружности, геометр употребит выражение «сфера S1», то есть «сфера с одним измерением»: нужен лишь один-единственный параметр, абсцисса, чтобы указать точку на кривой, одномерном объекте. Сфера S2, «обычная» сфера, и окружность, сфера S1, имеют нечто общее: это «замкнутые» объекты (понятие, заимствованное тогда из топологии).
...Это число величин, служащих для определения положения точки в пространстве, и есть в точности определение размерности этого пространства. Так, пространство-время (x,y,z,t) будут рассматривать как гиперповерхность с четырьмя измерениями, потому что для определения в нём точки, называемой «событием», нужны четыре величины.
Конец этого замечания о понятии размерности.
...Нужно твёрдо помнить одну вещь. Геометр, который строит частное решение уравнения поля, слеп, он не может видеть геометрический объект, который получает. Он может лишь исследовать его через его геодезические, описывая их в конкретной системе координат. Полярные координаты, о которых шла речь только что, соответствовали пересечению поверхности семейством коаксиальных цилиндров:
и семейством плоскостей, проходящих через их общую ось.
В 3d речь шла бы о пересечении пространства семейством концентрических сфер.
...Но что происходит, если рассечь поверхность, представляющую собой такого рода трубчатый мост, семейством концентрических цилиндров? Пока цилиндры пересекают поверхность, всё в порядке. Но когда их периметр становится меньше периметра «горлового круга», эти сечения становятся... мнимыми кривыми. Пусть p — периметр горлового круга. Свяжем его с длиной Rg такой, что p = 2 p Rg .
...Ясно, что любой цилиндр из семейства, такой что r < Rg, не пересекает поверхность. Когда геометр заинтересуется видом геодезических поверхности для r < Rg, он найдёт мнимые геометрические объекты.
...Когда ищут пересечение двух точек с прямой, соответствующей, например, x = xo, находят два вещественных значения для y, когда прямая действительно пересекает окружность. Иначе эти значения чисто мнимые.
...Если человек, исследующий поверхность в темноте, не имея возможности воспринять её форму, не зная, что топология этой поверхности локально тороидальная, он может быть крайне озадачен.
Поверхность можно разметить с помощью двух семейств кривых:
...Каждая кривая определяется параметром. Точка M на пересечении этих двух кривых вполне определяется двумя величинами (a,b), двумя значениями кривых, проходящих через M.
...Первое состоит из окружностей, которые не являются геодезическими поверхности (кроме горлового круга), второе — из геодезических гиперболического вида, ортогональных этим окружностям. Гиперболические кривые напоминают нисходящие траектории, позволяющие переходить от одного листа к другому листу.
Очевидно, можно иметь ту же ситуацию для 3d-пространства, локально гипертороидального. Окружности будут заменены семейством сфер, среди которых найдётся горловая сфера минимальной площади. Линии, составляющие траектории, ортогональные этому семейству сфер, образуют нисходящие траектории, позволяющие пройти через этот гипертороидальный туннель и вновь появиться в другом 3d-листе (или слое).
...Это замечание не случайно. У нас будет случай вернуться к нему, когда мы подвергнем рассмотрению модель чёрной дыры. Действительно, в этой модели, когда проникают «внутрь сферы горизонта», масса частицы становится... чисто мнимой (это и многое другое). Тогда вправе задаться вопросом, находимся ли мы ещё в гиперповерхности пространства-времени. Будет ли уместным частный выбор координат
(t , r , q
, j)
который предполагает локально гиперсферическую топологию (существование радиальной координаты r, способной принимать значения меньше радиуса сферы горизонта, сферы Шварцшильда)?
Известный астрофизик писал несколько лет назад:
- Теперь мы знаем гораздо больше о внутренности чёрных дыр.
Но чёрные дыры, если они существуют, имеют ли они внутренность, или они соответствуют локально гипертороидальной топологии?
...Видно всё, что может вызвать выбор системы координат. Геометрическое решение существует. Оно обладает геодезическими. Но мы умеем «читать» всё это лишь проецируя в наше мысленное пространство представления: евклидово пространство-время, которое даже не является релятивистским. Выбрать систему координат — значит выбрать систему чтения, систему проекции.
...Как персонажи Платона, мы можем наблюдать лишь тени на «евклидовом экране». Ещё нужно выбрать правильный объектив «системы проекции».
...
Sommaire
article Sommaire
Science Page
d'Accueil
Retour vers
Guide-Sciences Nombre de consultations de cette page depuis le 1° juillet 2004
: