Геометрический контекст.
...Сфера — это пространство размерности 2. Чтобы указать на ней точку, нужны два параметра. Это пространство, обладающее топологией (подробнее о значении слова топология см. мой комикс «Топологикон», изд. Belin). Сфера имеет не ту же топологию, не ту же «форму», что тор. На сфере есть геодезические. На ней можно провести путь, соединяющий две точки M1 и M2, и измерить пройденную длину s. Эта длина не зависит от координат, выбранных для указания точек, как и геодезические кривые, заполняющие поверхность.
...Соединим центр этой сферы со всеми её точками. Мы получим бесконечное множество полупрямых. Их можно задать той же системой координат, что и точки, например двумя углами q и j.
Выше — наша сфера.
В ней проделано отверстие, чтобы показать совокупность радиус-векторов.
Уберём теперь сферу и оставим только радиус-векторы.
...Эти полупрямые обрезаны, но на самом деле они бесконечны. Каждая из них определяется лишь заданием двух параметров, например двух углов. Метрическая структура исчезла. Больше никаких геодезических, никаких длин. Что остаётся?
- У каждой полупрямой есть окрестность. Можно выбрать соседние полупрямые, чтобы охватить данную в своего рода конусе. Внутри этого конуса можно поместить более узкий, содержащий полупрямую. Это дело концентрических окружностей или матрёшек, но с пучками полупрямых. Однако речь не идёт о том, чтобы проводить геодезические на этих конусах. Каждая из их образующих — просто набор из двух параметров, например двух углов.
- Выделяется интуитивное представление о дифференцируемости. В этой «текстуре» нет разрывности.
Возьмём плоскую поверхность, с геодезическими, длиной и т. д...
...Какую бы систему координат я ни выбрал, мне всегда придётся указывать положение моих точек двумя действительными числами (x,y), (r,q) и т. д...
Эти действительные числа берутся из R2, то есть из множества пар действительных чисел, таких как (3,8705 , - 17,56). У любой пары точек, взятых в этом пространстве пар действительных чисел, есть окрестность. Это «непрерывно».
Эти «предметрические» объекты называются многообразиями (у математиков есть сноровка выбирать слова, не обладающие никакой силой внушения для человека с улицы).
...На этой стадии можно, таким образом, перешагнуть этот шаг, состоящий в рассмотрении множества из n действительных чисел (пространства n измерений), без автоматического привязывания к нему идеи длины или геодезических.
...Это немного похоже на рассмотрение поверхности, точки которой были бы ограничены лишь сохранением контакта с соседями. Она была бы бесконечно эластичной и деформируемой. По соглашению, если мы представляем поверхность её контуром (будь то её край или её видимый контур, мы будем вызывать это «подвижное» понятие многообразия, просто убирая контур:
...Этот образ, кстати, вызывает тень объекта. А тень не имеет ни плотности, ни формы. Её геометрия зависит от объекта, на который она проецируется.
Можно также представлять себе многообразие (по-английски manifold), без его метрики, как семейство прямых.
...Здесь мы поместили прямые, которые выглядят параллельными. Нужно было бы, чтобы эти прямые были... как угодно, сохраняя при этом свои отношения близости, соседства.
...В конечном счёте, хороший образ многообразия V2 — это пакет спагетти, которые сначала варят, а затем можно сгибать и скручивать во всех направлениях, но не изменяя порядка макарон друг относительно друга.
Как бы то ни было, на многообразии можно выполнить операцию двулистного накрытия, которое снабжают метриками, подсказанную нижеследующим образом:
Здесь два двумерных листа, наделённых идентичными (евклидовыми) метриками. Но можно точно так же сделать:
...M и M* назовём сопряжёнными точками. Утверждение, что два сопряжённых пространства построены как двулистное накрытие многообразия, означает просто, что существует взаимно однозначное соответствие между двумя листами F и F*, но, например, расстояния между парами гомологичных точек (M1,M2) , (M*1, M*2) могут быть разными. Единственное ограничение в конечном счёте состоит в том, что окрестности точек также соответствуют друг другу и что любой неособой области одного слоя соответствует также неособая область.
...Мы снова находим пакет гибкой лапши из предыдущего. Структура «многообразия-скелета» здесь лишь для того, чтобы построить инъективное отображение между двумя геометрическими объектами. Приведённый выше рисунок предназначен для того, чтобы полностью взорвать такие вопросы, как «как листы F и F* расположены друг относительно друга? Если F — вселенная, то где F*?». Эти листы просто сопряжены, с взаимно однозначным соответствием точек, и эти сопряжённые точки могут быть описаны одними и теми же координатами.
Содержание статьи Содержание раздела Наука Домашняя страница
Предыдущая страница Следующая страница
Возврат к Путеводителю по науке
Число посещений этой страницы с 1 июля 2004 г. :