Yeni bir grup aksiyomatik sistemi **
--- **
...Souriau, eski Aix'te bir dairede yaşıyor. Sokak kapısı muhteşem. Girişte oldukça garip bir araç park edilmiş: ev sahibesine ait, eski bir taşıma sandalyesi, bir kız, arkeolog, sanırım. Sandalye duvara dayalı. Sadece iki taşıyıcı bulup, tahtaların iki uzun kolu halkalara yerleştirip, dolaşmaya çıkabilmek için oturmak kalıyor. Açık alanlar camlı: yan camlar bir kol ile değil, çocukluğumda tren vagonlarında gördüğümüz deri kayışlarla aşağı indirilebiliyor.
...Bunların hepsi hayal kurmayı sağlıyor. Hiçbir zaman taşıma sandalyesiyle yolculuk yapmadığımı fark ediyorum. İşsizlik dönemlerinde, eski Aix'te düzenli bir taşıma sandalyesi hattı kurmak için insanlar para kazanabilirler. Sadece eski sandalyeleri taklit eden bir araç inşa etmek yeterli olur. Bu oldukça kolay olmalı. Sonra iki broşeli kıyafet ve iki peruk almak, ileri. Rota: Mirabeau Caddesi. Bu yeterince olur. Sonra sadece hayal kurmak ve biraz hayal gücü kullanmak kalır.
...Jean-Marie, büyük, altın işçiliği ve ahşap kaplamalarla dolu dairede yalnızca kedisini, Pioum'uyla yaşıyor. Pioum çok sevimli. Ama ben kedilere pek çekici gelmiyorum. Ancak bu kedi oldukça samimi ve sevecen.
Genellikle mutfakta çalışıyoruz, bir kat yukarıda. Çatı altındaki küçük bir oda, aşağıdaki büyük odalardan çok küçük. Her seferinde Jean-Marie bana en sevdiği içeceği, artıchoke temelli Fernet-Branca'yı içmeye zorlamaya çalışır. Bunu gerçekten korkunç buluyorum ama ona tüm faydaları verdiğini söylüyor.
...Şehirde bir tur atarken her zaman GPS'ini yanına alır, onu asla bırakmaz. Yürüdüğü sokakta 40 bin kilometre uzaklıkta olan uydu tarafından yönlendirilmenin gerçekten büyüleyici olduğunu fark ediyorum. Daha iyi sinyal almak için Souriau, sokak ekseninde yürüyerek kristal sıvı ekranına odaklanır. Etkili görünüyor ama yine de oldukça tehlikeli.
...Birlikte çok eğlendiğimizi düşünüyorum. Aralık ayının bir akşamı ona ziyarette bulundum ve şu sohbeti yaşadık:
-
Gruplar hakkında konuşacağım. Aksiyomları hatırlıyor musun?
-
Evet, altı tane var. Bunlar:
1 - E kümesine ait a, b, c... gibi elemanlar vardır.
2 - Bir iç işlem, o ("yuvarlak") olarak gösterilir ve bir kümenin iki elemanını birleştirmek için kullanılır.
a kümenin elemanıdır
b kümenin elemanıdır
a o b kümenin elemanıdır
3 - Bu işlem birleşmeli:
a o b o c = ( a o b ) o c = a o ( b o c )
4 - Bir e etkisiz elemanı vardır ki:
a o e = e o a = a
5 - Her a elemanının bir tersi, a-1 olarak gösterilir ve şu şekilde sağlanır:
a-1 o a = a o a-1 = e
Beş tane mi?
-
Sonuçta beş, dört ya da bir. Aksiyom numaralandırmasında kesin bir kural yoktur. 1 ve 2 aksiyomlarını tek bir aksiyom haline getirmek de mümkündür:
-
E kümesine ait a, b, c... gibi elemanlar vardır ve bu küme, şu koşulu sağlayan iç bir işlemle donatılmıştır:
a kümenin elemanıdır
b kümenin elemanıdır
a o b kümenin elemanıdır
Bu eşdeğerdir.
-
Peki, beş, dört, önemli değil. Nereye varmak istiyorsun?
-
4 ve 5 aksiyomlarını, etkisiz eleman ve tersi tanımlayanları, sandviç aksiyomuyla değiştireceğim. Toplamda aksiyomlar şu şekilde olacak:
1 - E kümesine ait a, b, c... gibi elemanlar vardır.
2 - Bir iç işlem, o ("yuvarlak") olarak gösterilir ve bir kümenin iki elemanını birleştirmek için kullanılır.
a kümenin elemanıdır
b kümenin elemanıdır
a o b kümenin elemanıdır
3 - Bu işlem birleşmeli:
a o b o c = ( a o b ) o c = a o ( b o c )
4 - E kümesine ait üç eleman a, b, c verilsin.
Şu denklemi göz önünde bulundur:
a o y o b = c
Bu denklemin tek bir çözümü vardır.
Buna sandviç aksiyomu diyeceğim. "Jambon" olan y, a ve b elemanları arasında, c ise sandviçin kendisi olarak kabul edilir. Aksiyom şu anlama gelir:
Bir sandviçten her zaman jambon çıkarılabilir.
*
Ve bunun grupları tanımladığını söylüyorum; bu aksiyomlar öncekiyle eşdeğerdir.
-
Bu tek çözüm y, işlem içsel ve birleşmeli olduğu için E kümesinin elemanıdır.
-
Elbette, açıkça anlaşılır.
-
Ama bunu söylemek daha iyi olur. Nasıl bu etkisiz eleman ve tersi aksiyomlarını geri kazanacağımı bilmiyorum ama en azından fikri nasıl ortaya çıktığını anlıyorum.
-
"Ne işe yarar?" diye düşündüm.
-
Tam olarak. Etkisiz eleman ne işe yarar? Bu, "E kümesi ve bir etkisiz elemanım varsa, bu elemanla tüm elemanları birleştirebilirim ve aynı sonucu elde ederim" anlamına gelir. Bu benim için hiçbir şey ifade etmiyor. Aynı şekilde ters ne işe yarar? Gruplar üzerinde hesap yaparken, herhangi bir şey üzerinde çalışırken, sağa veya sola çarpma işlemiyle ya da elemanların tersleriyle a o a-1 ya da a-1 o a'yı elde eder, bunu e ile değiştiririz, sonra b o e ya da e o b'yi elde eder ve bunu b ile değiştiririz. Senin sandviç aksiyomun "işlevsel".
-
İstersen. Sandviç aksiyomundan çıkan teoremlere geçelim. İlk teorem:
I - Kendisiyle birleşiminde kendisini veren bir etkisiz eleman vardır:
e = e o e
II - Bu etkisiz eleman tekiktir.
İspat:
Sandviç aksiyomundan başlayalım. Denklem
a o y o b = c
tek bir çözümü olan y'yi içerir.
Bu, b = c = a olduğunda da geçerlidir, dolayısıyla:
a o y o a = a
tek bir çözümü vardır. Sağ taraftan y ile çarpalım:
a o y o a o y = a o y
a o y = e olarak adlandıralım...
Bu, kümenin bir elemanıdır çünkü a ve y kümenin elemanlarıdır ve işlem içseldir. Dolayısıyla şu özelliği sağlayan bir küme elemanı vardır:
e o e = e
...Teorem I ispatlandı. Şimdi teorem II'ye, tekilliğe geçelim. Eğer tekil olmasa, başka bir f elemanı var olurdu ki:
f o f = f
Şu eşitliklerimiz var:
e o e = e
Sağ taraftan f ile çarpalım:
e o e o f = e o f
Yine sağ taraftan e ile çarpalım:
e o e o f o e = e o f o e
Birleşmeliği kullanalım:
e o ( e o f ) o e = e o f o e
Bu iki sandviç. Onları şu şekilde adlandıralım:
p = e o ( e o f )
q = e o f o e
...Sandviç aksiyomuna göre jambon çıkarılabilir, yani ( e o f ) ve f ifadeleri hesaplanabilir ve eşit olur çünkü p = q. Dolayısıyla:
( e o f ) = f
...Şimdi ikinci eleman için verilen önermeyi tekrar edelim:
f o f = f
Sağ taraftan e ile iki kez çarpalım:
e o f o f = e o f
e o e o f o f = e o e o f
Birleşmeliği kullanalım:
e o ( e o f ) o f = e o e o f
...İkinci kez sandviç aksiyomunu kullanarak şunu çıkarırız:
e o f = e
dolayısıyla:
e = f
Teorem III: Bu e elemanını "kendisiyle karesi olan" alırsak, bunun şu sonucu olduğunu gösterir:
a o e = a
İspat:
Yine sandviç aksiyomunu kullanıyoruz. e'nin tanımından başlıyoruz:
e o e = e
Sağ taraftan sırayla a ve e ile çarpalım:
e o e o a o e = e o a o e
Birleşmeliği kullanalım.
e o ( e o a ) o e = e o a o e
Dolayısıyla:
e o a = a
Şimdi:
e o e = e
sol taraftan sırayla a ve e ile çarpalım:
e o a o e o e = e o a o e
Birleşmeliği kullanalım.
e o ( a o e ) o e = e o a o e
dolayısıyla:
a o e = a
Teorem III ispatlandı.
Şimdi Teorem IV'a geçelim
(tersin varlığı, a-1 olarak gösterilir).
Söz konusu: E kümesinden bir eleman verilsin. Şu denklemin tek bir çözümü olan bir eleman vardır:
a o y o a = a
Bu elemana a-1 diyeceğiz ve ona a'nın tersi diyeceğiz. Bu eleman şu özellikleri sağlar:
a o a-1 = e
a-1 o a = e
İspat.
Bu elemanın varlığı ve tekliği, sandviç aksiyomunun şu şekilde ifade edilmesinden doğar:
Eğer ekmek dilimleri birbirine eşitse ve sandviçle aynıysa, jambon ekmeğin tersidir (veya sandviçin tersidir).
a o y o a = a
Birleşmeliği iki şekilde kullanabiliriz:
( a o y ) o a = a
a o ( y o a ) = a
Şimdi biliyoruz ki:
e o a = a
a o e = a
Dolayısıyla çözüm y, şu eşitlikleri sağlar:
a o y = e
y o a = e
Bu çözümün tek olduğunu gösterelim. Eğer tek değilse, başka bir çözümümüz olur:
a o z = e
z o a = e
İlk denklemi soldan y ile çarpalım.
y o a o z = y o e
( y o a ) o z = y
ancak y o a = e olduğundan:
z = y
Bu çözümü a-1 olarak adlandırıyoruz ve şu tek denklemin çözümüdür:
a o a-1 o a = a
Bu nedenle yeni aksiyom seti, geleneksel olarak grupları tanımlayan aynı özellikleri üretir.
Böylece gruplar bu yeni aksiyom setiyle tanımlanabilir:
Grup Tanımı.
1 - E kümesine ait a, b, c... gibi elemanlar vardır.
2 - Bir iç işlem, o ("yuvarlak") olarak gösterilir ve bir kümenin iki elemanını birleştirmek için kullanılır.
a kümenin elemanıdır
b kümenin elemanıdır
a o b kümenin elemanıdır
3 - Bu işlem birleşmeli:
a o b o c = ( a o b ) o c = a o ( b o c )
4 - E kümesine ait üç eleman a, b, c verilsin.
Şu denklemi göz önünde bulundur:
a o y o b = c
Bu denklemin tek bir çözümü vardır.
E kümesinin elemanları ve iç işlemi bu dört aksiyomu sağlıyorsa, bunların bir grup oluşturduğunu söylüyorum.
Teorem: Etkisiz eleman kendisinin tersidir. Bu yeni etkisiz eleman tanımı, tek bir denklemle tanımlanır ve bu özelliğin başka bir ispatını üretir.
e o e = e
Bu özel e elemanının tanımıdır. Ancak sandviç aksiyomu, bu denklemin tersin tanımını değil, özelliğini tanımlar.
Diğer teorem: Tersin tersi, elemanın kendisine eşittir:
(a-1)-1 = a
a-1 o a = e
a o a-1 = e
a, a-1'in tersidir. Dolayısıyla bu özellik geçerlidir.
Şunu gösterelim:
( a o b )-1 = b-1 o a-1
Hesaplayalım:
a o b o b-1 o a-1 ve b-1 o a-1 o a o b
Bu iki ifadenin de e'ye eşit olduğunu gösterelim.
a o ( b o b-1 ) o a-1
= a o e o a-1
= a o a-1
= e
Diğer ifade için de aynı şekilde.
-
Bu grup kavramına farklı bir yaklaşım.
-
Grupların ontolojisi.
-
İstersen.
-
Ama bana bu fikrin verimli olacağını hissediyorum.
-
Şimdi her şeyi unut, hatta sandviç aksiyomunu bile. E kümesi ve içsel, birleşmeli bir işlem o ile donatılmış bir küme düşünelim. Bu kümede, diğer tüm elemanlarla birleştiğinde etkisiz eleman rolü oynayan bir eleman varsa:
a o e = e o a = a - Bu tek mi?
-
Var olursa, zorunlu olarak tek olmalıdır, bunu ispatlayabiliriz.
-
Ah evet, doğru.
-
İki eleman a ve b, eğer
a o b = b o a = e
ise birbirlerinin tersiyle ilişkili olacaklar. a verildiğinde, b onun tersidir. Eğer bu özelliğe sahip elemanların alt kümesini sınırlarsak, bu alt kümenin bir grup oluşturduğunu söylüyorum. Bu, grupları kurmanın bir yoludur. Yani, kümeden bu özelliği sağlayan elemanları seçeriz ve bunun yeterli olduğunu söylüyorum, çünkü bu alt küme bir grup oluşturur.
Bu özelliğin içsel olduğunu göstermek gerekir.
-
Ne demek istiyorsun?
-
a ve a' elemanlarının bu özelliği sağladığını varsayalım, yani:
a o b = b o a = e
a' o b' = b' o a' = e
a, b tersine sahiptir.
a', b' tersine sahiptir. Dolayısıyla bu alt kümeye aittirler. a o a''ın da bir tersi olduğunu göstermek gerekir.
Bu "yuvarlak" işaretlerini kaldırıp, ağır olmaktan kurtulalım.
a' o b' = e
Soldan a ile, sağdan b ile çarpalım:
a a' b' b = a e b = a b = e
Dolayısıyla:
( a a' ) ( b' b ) = e
Şimdi:
b a = e
Soldan b' ile, sağdan a' ile çarpalım:
b' b a a' = b' e a' = b' a' = e
( b' b )( a a' ) = e
Dolayısıyla, tersine sahip olan a ve a' elemanlarının birleşimi de tersine sahiptir.
-
Şimdi bu alt kümenin gerçekten bir grup oluşturduğunu göstermek gerekiyor.
-
Bunun için, bu alt kümenin sandviç aksiyomunu sağladığını göstereceğim, yani:
a y b = c
tek bir çözümü olan y'yi içerir.
-
Anlıyorum. Aksiyomatik olarak, öncekiyle tam tersini yapıyorsun. Daha önce sandviç aksiyomunu vermiş, bu durumun terslerin varlığını getirdiğini göstermiştin. Şimdi, kümenin tüm elemanlarının tersleri olduğunu varsayıp, bu özelliği kullanarak sandviç aksiyomunu geri kazanmaya çalışıyorsun.
-
Denklemin tek çözümü olduğunu göstermenin en iyi yolu, çözümü inşa etmektir. Yukarıdaki denklemi soldan a-1 ile, sağdan b-1 ile çarpalım.
a-1 a y b b-1 = a-1 c b-1
( a-1 a ) y ( b b-1 ) = a-1 c b-1
y = a-1 c b-1
- Böylece y, şu denklemin çözümüdür:
a y b = c
İnşa edilen çözümü yerine koyarsak:
a ( a-1 c b-1 ) b = c
...Bu işlemde parantezlerle oynanabileceğini, birleşmeliği genelleştirebildiğimizi kabul ediyoruz. Bu, bir aksiyom olarak kabul edilir: Bir dizi işlemede iki elemanı ayırabiliyoruz.
a o b o ( c o d ) = a o ( b o c ) o d = ( a o b ) o c o d = ( a o b ) o ( c o d )
Üç elemanı iki parantez arasında yerleştirmenin uygun olduğunu göstermek gerekir. Ama bunu ispatlamadan kabul edeceğiz.
Uygulamalar:
...Gerçek sayılar kümesini çarpma işlemi x ile donatılmış olarak düşünelim. Bu işlem içseldir ama yeni aksiyom setine göre bir grup değildir. Çünkü e'yi tanımlayan denklem:
e o e = e
iki çözümü vardır:
e = +1 ve e = -1
...Önceki yapının üzerine düşünelim. Bir küme (gerçek sayılar) ve bir içsel, birleşmeli işlem (çarpma) verilsin. Bu kümenin etkisiz elemanı 1'dir, bu durumda e o e = e denkleminin çözümü olarak değil, herhangi başka bir elemanla (kendisiyle de dahil) birleştiğinde kendisini veren eleman olarak tanımlanır. Yani klasik tanım:
E kümesine ait her a için şu geçerlidir:
e o a = a o e = a
Klasik ters tanımıyla başlayalım:
a o a-1 = a-1 o a = e
...Bir elemanın tersi olan alt kümenin bir grup oluşturduğunu gösterdik. Dolayısıyla sıfır hariç gerçek sayılar bir grup oluşturur.
Kare matrislerini (n,n) boyutunda alalım. Bunlara etkisiz elemanları vardır:
Ana köşegenlerde "1" ve diğer yerlerde sıfır olan.
Tersinir matrisler, GL(n) adı verilen bir grup oluşturur.
-
Bana bu kadar hoş geliyor.
-
Hmm... sadece klasik aksiyomatik sistemin bir varyasyonu. Bu fikri geçen hafta Grenoble'da bir epistemoloji konferansında sundum.
DEVAM EDİLECEK
