Boy yüzeyinin analitik gösterimi

f5101 Boy Yüzeyinin Analitik Gösterimi J.P. Petit ve J. Souriau .

**...**Aşağıda, Paris Bilimler Akademisi'ne bir notun kopyası yer almaktadır. J.P.Petit ve J.Souriau tarafından imzalanmış, 1981 tarihli bu not.

**...**Bu çalışma bir hikâyeyle doludur. 1985 yılında Belin Yayıncılığı tarafından Anselme Lanturlu Aventürleri serisinde yayımlanan "Topologicon" adlı albümümün çıkmasından önce, uzman kitaplarda Boy yüzeyinin temsilleri az sayıdadı. Burada ve orada, ya kireç ya da tavuk kafesinden yapılmış modellerin fotoğrafları bulunurdu. Berkeley Üniversitesi Matematik Bölümü'nden Charles Pugh, tavuk kafesiyle ilgili dünyanın en büyük uzmanıdır. Aslında o, Bernard Morin'in küresinin ters çevrilmesini tanımlayan maketleri yaparak, finansal olarak önemli bir ödül kazanmıştır. Bu maketler daha sonra Nelson Max tarafından dijitalleştirilerek, tüm matematik departmanlarında dolaşan bir film haline getirilmiştir.

**...**Ama ben tavuk kafesinin, özellikle bu tür yüksek kaliteli bilimsel konular için, bir malzeme olarak oldukça saygısız olduğunu düşünüyorum. Bir plastik sanatçı olan Max Sauze ile tanıştım ve onunla birlikte bakır tel tekniklerini öğrendim. Bu tel, hem esnek hem de sertti ve Max, onu aşırı ısınmadan dikkatle kaynaklıyordu, çünkü bu da malzemedeki istenmeyen gerilmeleri oluştururdu.

**...**Arkadaşım Jacques Boulier, Aix-en-Provence Güzel Sanatlar Akademisi'nde profesördü. Bir yıl, onun bir profesörünü yurtdışına göndermesiyle yerine geçmemi önerdi. Bu görevi yerine getirdim ve Sauze ile yarı zamanlı bir şekilde hizmet verdim. Ben eşyaları icat ederken, Max onları kaynaklıyordu. Öğrencilerimiz, bizi izleyerek, onları mümkün olduğu kadar taklit etmeye çalışıyordu. Bu yıl, Aix-en-Provence Güzel Sanatlar Akademisi'nin bu kısmı, matematiksel yüzeylerin seri üretim fabrikasına dönüşmüştü.

**...**Eğer isterseniz, bu çok zor değil. Bir adet bakır tel bobini, örneğin 1,5 mm çapında, maksimum 2 mm olacak şekilde ve bir keskiye ihtiyacınız olacak. Bu malzemelerle, herhangi bir yüzeyi oluşturan iki eğri ailesini temsil edebilirsiniz.

**...**Sorun, bu nesneleri uygun şekilde şekillendirmektir. Bunu yapmak için, meridyenler ve paralellerin kesiştiği noktalarda kaydırılabilmesi iyi olur. Basit bir çözüm, iki metal telin dikiş ipliğiyle bağlanmasıdır. Bu, nesneye dayanıklılık sağlar ama aynı zamanda deformasyon ve ayarlamalar için yeterince kaygan olur.

**...**Nesnenin matematiksel olarak istediğiniz gibi olduğunu düşünürseniz, dikkatli bir şekilde gümüşle kaynak yapan ve telleri ısıtmadan kaynaklayan birini bulabilirsiniz. Max, bu işi harika bir ustalıkla yapardı.

**...**Bir gün, periferik ve paralel yönlerin nasıl düzenleneceğini keşfettim, bu yüzden bir Boy yüzeyi modeli getirdim. Görünüşe göre, meridyenlerin bir elips ailesine benzediği söylenebilir.

**...**Max, bu nesneyi dikkatle kopyaladı. Daha sonra Souriau'ya gittim. O'nun oğlu (fizik lisansını bitirmekten asla sabır göstermeyen) babasının Apple II'siyle oynuyordu. Ona şunları söyledim:

Jérôme, matematiksel bir yayınla isminin yer almasını ister misin?
Belki de. Bunu yapmak için kimin öldürülmesi gerekir?
Kimse. Bu nesneyi görüyorsun. Bir açıölçer al, bu elipsleri ölç ve bize bu yüzeyin yarı deneysel bir temsili oluştur.
Deneyebiliriz, ver...

**...**İki gün sonra, yapıldı. Makale, Paris Bilimler Akademisi'nin Hesapları Rendus'una hızlıca kabul edildi ve bizim iki ismimizle yayınlandı: J.P.Petit ve J.Souriau.

**...**Ama babanın ismi Jean-Marie ve oğlunun Jérôme olduğu için, tüm matematikçiler bizi birlikte çalıştığımız Souriau babası ve benim gibi düşünüyorlar.

**...**Bilgisayarda küçük bir BASIC programıyla yüzeyin çizimi, birçok matematikçiyi büyük ölçüde şaşırttı. Onlar daha karmaşık bir şey bekliyordu. Olay, olumsuz bir etki yarattı. Matematikçi Bernard Morin'in doktora öğrencisi Apéry, Apéry-baba'nın, tamsayıların küplerinin toplamının irrasyonel bir sayı olduğunu ifade eden efsanevi teoremin yazarıydı. Diğerleri...

**...**Bunu bilmiyordum. Bizim ilerlememiz, Morin'i çok rahatsız etti, özellikle de o zamanlar, bu yöntemin, onun meşhur dört kulağı olan yüzeyi tanımlamaya izin vereceğini, yani Pugh tarafından onun tavuk kafesinden yapılmış, Max tarafından dijitalleştirilmiş yüzeyi tanımlamaya izin vereceğini, kendi ağızıyla söyledim.

Morin kaşlarını çattı:

Hayır, bu imkansız! ....

**...**Bu konuyu daha sonra ele alacağız. Hâlâ aksini düşünüyorum. Ama bu cümle, Roma askerinin Archimedes'i düşünürken söylediği ünlü sözün aynısıydı - Noli tangere circuleos meos!

Fransızca olarak "Benim dairelerime dokunma!".

Burada ise "Benim elipslerime dokunma!" türünden bir şeydi.

**...**Daha sonra Apéry, Boy yüzeyine elips meridyenler sistemi koyabilme fikrini kullanarak, nesnenin ilk gizli denklemini oluşturdu:

f (x,y,z ) = 0

**...**Morin, matematiksel çalışmalarında bir aksaklık olarak beni görmenin verdiği rahatsızlıkla, Apéry'ye, tezinde, elips fikrini Sauze'nin bulduğu belirtilmesini zorunlu kıldı. Max, bu durumu reddetmedi, ama bu yanlıştır. Kanıt, sarmalda: benim Max'e getirdiğim model.

**...**Sonunda, bu tümüyle aptalca. Bu hikâye, matematikçilerin fizikçiler kadar zeki olmadığını göstermek için var.

**...**Görüntü sentezi konusunda öncü olan Politeknik mezunu Colonna, kaynaklarını belirtmeden bizim denklemlerimizi tümüyle kullandı. Ama eğlenceli bir ayrıntısı var, belki de ekranda Boy yüzeyinin görüntülerini görüyorsunuz. Eğer "bizimki" ise, kutup yakınında üç hafif "kat" olur. Denklemlerin ayarlamasında bir eksiklik. Jérôme, Souriau'nun oğlu, bu işi hızlıca yaptı ve kutup yakınında küçük bir çekiç darbesi daha olurdu. Hâlâ yapmak isteyenler için mümkün.

**...**Boy yüzeyi hikâyesi henüz bitmedi. Tamamlamak için, bir karakteri belirtmeliyiz: Carlo Bonomi, bir İtalyan milyarder. Bermuda Üçgeni'nde bir seyahat sırasında tanıştık (ama bu başka bir hikâye). O zamanlar, Charles Berlitz'in bir kitabında belirtilen bir yüce piramit aramak için, onun lüks bir yatch'inde hızlıca seyahat ediyorduk. Piramidi bulamadık ve bu yerlerdeki çok sayıdaki balinalar tarafından yeneceğimizi sandık. Eğer bir Atlas varsa, bu korkunç "Atlantik Piramidi"nin bulunduğu yer, Cay Sal Balk adlı bir kıyıdan 50 mil güneyde, Kuzeybatı'da yer alıyor.

**...**İki dalış ve iki kaviyerya yemeğinin arasında, Bonomi'ye Boy yüzeyi üretimini yoğunlaştırmayı sponsorlamasını önerdim. Fikri beğendi ve bir devamı oldu. Diyebiliriz ki, Paris'teki Keşifler Sarayı'nın matematik salonunu süsleyen Boy yüzeyi Bonomi tarafından ödenmiş ve Sauze tarafından yapılmıştır. Finansör, altın tel ile nesnelerin yapılmasıyla bir sergi kurmayı planlıyordu. Ama işin devamı olmadı. Uzun süren sessizliğine şaşırdım ve Milan'daki ofislerini aradım. Üzgünüm, P2 lojistiğinde yer alarak hapse atılmış ve topolojiye olan ilgisi kalıcı olarak zarar görmüştür.

**...**Boy yüzeyinin iki katlı kaplaması, P2 projelemesi olarak bilinen bir küre S2'dir (bkz. Topologicon). Pugh, bu kaplamayı iki kere tavuk kafesi ile yaptı, bu da her yönden dikkat çekici bir nesne, ama ben, bana göre, bakır tel ve meridyen-paralel temsili daha iyi. Ama hatta saf matematikte:

De gustibus et coloribus non disputandum.

**...**Notu sunmadan önce, son bir anekdot. Charles Pugh, bu yüzden, tavuk kafesi ile yedi model yaptı, bu da ona önemli bir ödül kazandırdı. Kürenin ters çevrilmesinin ardışık adımlarını tanımlayan bu modeller, benim siteye beş dakika bulduğumda konuşacağım ve Berkeley Üniversitesi Matematik Bölümü'nün kantininde tavanın altına asılıydılar.

**...**Dünya çapında matematikçiler, bu her yönden harika diziyi ziyaret etmek için seyahat ediyorlardı. Ama bir gece, modeller çalındı ve bu yedi nesnenin ne olduğu bilinmiyor, çünkü başka türlü satılamazdı. Hangi bir alıcı, bu tür bir işlemi kabul ederdi? Belki de, bir zengin amatör, hem estetik hem de matematikçi, bu işlemi finanse etmiş, bunları bir kilitli sığınakta saklamak için, dünya çapında sekizinci harikası olanı, hatta tavuk kafesiyle yapılmış olsa bile, yalnızca kendisinin görebileceği bir şeyi elde etmek için.

**...**Pugh, malzeme konusunda ustalığına rağmen, yeni bir dizi üretmek için cesaret bulamadı.

**...**Zaten site başlangıcında söylediğimiz gibi, Werner Boy'un yaşamı hâlâ bir gizem. Onun ismini taşıyacağı yüzeyi icat ettikten sonra, üniversiteden ayrıldıktan sonra, gerçekten de soyutlaştı. Hilberth, araştırmalarına rağmen onun izini bulamadı ve hatta nerede mezarlandığı bilinmiyor.

**...**Matematiğe dönelim. Aşağıdaki not, nispeten okunabilir. 1-8 formüllerinden herhangi biri, uyandırılmış bir lise öğrencisi, çok güzel görüntüler oluşturabilir ve kesitlerin Şekil 5 ile uyumlu olduğunu doğrulayabilir.

C.R.Acad.Sc. Paris, t. 293 (5 Ekim 1981) Série 1 - 269
GEOMETRİ. - Boy Yüzeyinin Analitik Gösterimi. Jean-Pierre Petit ve Jérôme Souriau tarafından sunulan bir not.

Boy yüzeyinin analitik bir temsili sunulmaktadır, bu da onun çizilmesini sağlar.

**1. GİRİŞ. **

**...**1901 yılında matematikçi Werner Boy, Hilberth'in öğrencisi tarafından icat edilen yüzey, matematikçiler tarafından iyi bilinmektedir. Kürenin ters çevrilmesi merkezi adımı olarak işe yarayabilir ( [1] ve [2] ).

**...**1979 (J.P.P) bakır tel ile bir maket inşa etti, yüzeyin meridyen çizgilerinin nerede olacağını gösterdi. 1980 yılında, sanatçı Max Sauze ile yapılan ikinci çalışma, yüzeyin eğrilerinin düzlemlerde yer aldığını ve elipslere oldukça benzediğini gösteren ikinci bir maket inşa etmeyi mümkün kıldı. Bu tür bir maketten, Boy yüzeyinin topolojisi olan ve tek bir kutuptan geçen elipslerle meridyenlerin olduğu bir yüzeyin analitik temsili oluşturulabilir.

**2. BOY YÜZEYİNİN ELLİPSLER İLE ÜRETİLMESİ. **

**...**Kutbu koordinatların orijininde yerleştirelim. Bu noktada yüzey XOY düzlemine teğet olacaktır. Bu nedenle OZ ekseni üçlü simetri eksenine sahip olacaktır (bkz. Şekil 1). Meridyen eğrileri, Pm düzlemlerinde yer alan elipslerdir. XOY düzleminde Pm düzleminin izi OX1 olsun. m, (OX, OX1) açısı olsun. Bu Pm düzleminde, OX1'e dik bir OZ1 ekseni yerleştirelim. a, (OZ, OZ1) açısı olsun.

a5101

a5108

Şekil 1 ve Şekil 2

**...**Bu analitik temsildeki ilk parametre m açısıdır. a açısını m'nin bir fonksiyonu olarak (daha sonra tanımlanacaktır) kabul edeceğiz. Pm düzleminde, OX1'e teğet olan bir elips çizeceğiz (bkz. Şekil 2). Bu elipsin eksenlerini X1OZ1 açıortaylarına paralel alacağız. Bu elipsin eksenlerinin değerlerini A(m) ve B(m) olarak adlandıracağız. Bu elips Em, ikinci serbest bir parametre q ile üretilir.

**...**Özetle, yüzeyin mevcut noktasının X(m,q), Y(m,q), Z(m,q) koordinatlarını elde edeceğiz.

**...**Bu yarı deneysel yaklaşımda, (J.S.) tarafından yapılan ölçümler, a(m), A(m) ve B(m) fonksiyonlarının yaklaşıklığını sağladı. Daha sonra, "Apple-II" bilgisayarıyla yüzey çizildi ve Z = Sabit kesitler elde edildi. Bu kesitlerin incelenmesi, Boy yüzeyiyle topolojik eşdeğerlik belirlenmesine olanak sağladı. Bu, (J.S.) tarafından yapılan sayısal deneyimle elde edildi ve istenmeyen çift tekillikler (kuspit nokta çiftlerinin ortaya çıkması) giderildi.

**...**Bizim için seçtiğimiz: (1) A(m) + 10 + 1.41 Sin (6m - p/3) + 1.98 sin ( 3m - p/6)

(2) B(m) + 10 + 1.41 Sin (6m - p/3) - 1.98 sin ( 3m - p/6)

(3)

**...**X1 O Z1 koordinat sisteminde, Em elipsinin merkezinin koordinatları: (4)

a5104