Boy yüzeyinin analitik gösterimi

f5101 Boy Yüzeyinin Analitik Gösterimi J.P. Petit ve J. Souriau .

**...**Aşağıda, Paris Bilimler Akademisi'ne sunulan bir notanın kopyası yer almaktadır. Bu notayı J.P.Petit ve J.Souriau imzalamıştır ve 1981 tarihlidir.

**...**Bu çalışma bir tarih hikayesine sahiptir. 1985 yılında Belin Yayıncılığı tarafından, Anselme Lanturlu Aventürleri serisinde yayınlanan "Topologicon" adlı albümümün yayımlanmasından önce, uzman eserlerde Boy yüzeyinin temsilleri az sayıdadır. Burada ve orada, ya kireç ya da tavuk kafesinden yapılmış modellerin fotoğrafları bulunurdu. Berkeley Üniversitesi Matematik Bölümü'nden Charles Pugh, tavuk kafesine ilişkin dünyanın en büyük uzmanıdır. Aslında bu malzemeyle, Bernard Morin'in küresinin ters çevrilmesini tanımlayan maketleri yapan Pugh, finansal olarak önemli bir ödül kazanmıştır. Bu maketler daha sonra Nelson Max tarafından dijitalleştirilerek tüm dünyadaki matematik departmanlarında dolaşan bir film haline getirilmiştir.

**...**Ama ben tavuk kafesinin bir malzeme olarak, özellikle bu tür yüksek kaliteli bilimsel konular için, oldukça az değerli olduğunu düşünüyorum. Bir plastik sanatçı olan Max Sauze ile tanıştım ve onunla birlikte bakır telin esnek ve sert olduğu bu teknikle ilgilendim. Max, telin çok ısınmamasına dikkat ederek, malzemedeki istenmeyen gerilmeleri önlemek için dikkatle kaynak yaptı.

**...**Arkadaşım Jacques Boulier, Aix-en-Provence Güzel Sanatlar Okulu'nda profesördü. Bir yıl, onun bir öğretim görevlisini yurt dışına gittiği için yerine geçmemi önerdi. Bu süre zarfında, Sauze ile yarı zamanlı bir görev üstlendim. Ben eşyaları icat ederken, Max onları kaynaklıyordu. Öğrencilerimiz, bizi etrafında dolaşarak, en iyi şekilde bizi taklit etmeye çalışıyordu. Bu yıl, Aix-en-Provence Güzel Sanatlar Okulu'nun bu kısmı, matematiksel yüzeylerin seri üretim tesisine dönüşmüştü.

**...**Eğer isterseniz, bu çok zor değil. Bir adet bakır tel bobini, örneğin 1.5 mm çapında, maksimum 2 mm olacak şekilde ve bir keskiye ihtiyacınız var. Bu malzemelerle, herhangi bir yüzeyi oluşturan iki eğri ailesini temsil edebilirsiniz.

**...**Sorun, bu nesneleri uygun şekilde şekillendirmektir. Bunu yapmak için, meridyenlerin ve paralellerin kesiştiği noktalarda kaydırılabilmesi iyi olur. Basitçe, iki metal telin dikiş ipliğiyle bağlanması iyi bir çözüm sunar. Bu, nesneye dayanıklılık sağlar, ancak bükülmeleri ve ayarlamaları yapmaya elverişlidir.

**...**Nesnenin matematiksel olarak istediğiniz gibi olduğunu düşünürseniz, dikkatli bir şekilde gümüşle kaynak yapan birini bulup, telin ısınmadan kaynaklanmasını sağlayabilirsiniz. Max, bu işi çok iyi biliyordu.

**...**Bir gün, periyodik ve paralel eğrilerin nasıl düzenleneceğini keşfettim, bu yüzden Boy yüzeyinin bir prototipini getirdim. Görünüşe göre, meridyenlerin bir elips ailesine benzediği söylenebilir.

**...**Max, bu nesneyi dikkatle kopyaladı. Daha sonra Souriau'ya gittim. O'nun oğlu (fizik lisansını bitirmekten hiçbir zaman sabır göstermeyen kişi) babasının Apple II'siyle oynuyordu. Ona şunları söyledim:

Jérôme, matematiksel bir yayınla isminizi duyurmak ister misiniz?
Belki. Bunun için kimin öldürülmesi gerekir?
Kimse. Bu nesneyi görüyorsun. Bir açıölçer alın, bu elipsleri ölçün ve bize bu yüzeyin yarı deneysel bir temsili oluşturun.
Deneyebiliriz, ver...

**...**İki gün sonra, iş bitti. Makale, Paris Bilimler Akademisi'nin Sayıları'na hızlıca kabul edildi ve bizim iki ismimizle yayınlandı: J.P.Petit ve J.Souriau.

**...**Ama babanın ismi Jean-Marie ve oğlunun Jérôme olduğu için, tüm matematikçiler bizi birlikte çalıştığımız, Souriau babası ve benim yaptığımız bir çalışma olduğunu düşünüyorlar.

**...**Bilgisayarda küçük bir BASIC programıyla yüzeyin çizimi, birçok matematikçiyi büyük ölçüde şaşırttı, çünkü daha karmaşık bir şey bekliyorlardı. Olay olumsuz bir etki yarattı. Matematikçi Bernard Morin'in bir doktora öğrencisi vardı, Apéry, Apéry-baba'nın eseri olan, tamsayıların küplerinin toplamının irrasyonel bir sayı olduğunu belirten efsanevi teoremin yazarı. Diğerleri...

**...**Bunun farkında değildim. Bu ilerleme, Morin'i oldukça endişelendirdi, çünkü o zamanlar, bu yöntemin, onun meşhur dört kulağa sahip yüzeyini tanımlamaya yardımcı olabileceğini, Pugh tarafından onun tavuk kafesinden yapılmış, Max tarafından dijitalleştirilmiş olan yüzeyi tanımlamak için kullanılabileceğini, kendi sözlerimle söyledim.

Morin kaşlarını çattı:

Hayır, bu imkansız!

**...**Bununla ilgili daha sonra konuşacağız. Hâlâ bunun tersini düşünüyorum. Ama bu cümle, Roma askerinin, kendi düşüncelerini bozan Archimedes'e "Noli tangere circulos meos!" (Benim dairelerime dokunma!) diye bağırdığı ünlü sözün karşılığıydı.

Fransızca "Benim dairelerime dokunma!".

Burada ise "Benim elipslerime dokunma!" türünden bir şeydi.

**...**Daha sonra Apéry, benim Boy yüzeyinin elips meridyenler sistemine sahip olabileceğini keşfetmemi kullanarak, nesnenin ilk açık denklemini oluşturdu:

f(x,y,z) = 0

**...**Morin, matematik çalışmalarımın içinde bir karga yavrusu gibi görünmemden dolayı öfkelendi ve Apéry'ye, tezinde, elipslerin fikrini Sauze'nin bulduğu belirtilmesini zorla yaptı. Max, bu durumu inkâr etmedi, ama bu yanlış. Kanıt, mağaramda: Max'e getirdiğim, onunla düzgün hale getirmesi için hazırladığım modeldir.

**...**Sonunda, bu tümüyle aptalca. Bu hikaye, matematikçilerin fizikçiler kadar parlak olmadığını göstermek için yer almaktadır.

**...**Görüntü işleme konusunda öncü olan Politeknik mezunu Colonna, tümüyle bizim denklemlerimizi kullandı, ama kökenlerini belirtmedi. Ancak, eğlenceli bir ayrıntı vardır; belki bir gün ekranınızda Boy yüzeyinin görüntülerini görüyorsunuzdur. Eğer "bizimkisi" ise, kutup yakınında üç hafif "kat" olur. Denklemlerin ayarlamasında bir eksiklik. Jérôme, Souriau'nun oğlu, bu katları hızlıca yaptı ve kutup yakınında küçük bir çekiç darbesi daha olurdu. Bu, isteyen herkes için hâlâ yapılabilir tabii ki.

**...**Boy yüzeyi hikayesi henüz bitmedi. Tamamlayıcı olarak, bir karakteri belirtmeliyiz: Carlo Bonomi, bir İtalyan milyarder. Bermuda Üçgeni'nde bir seyahat sırasında tanıştık (ama bu başka bir hikaye). O zamanlar, onun lüks yelkenli gemisinde, Charles Berlitz'in bir kitabında belirtilen bir Atina piramidini aramak için hızlıca seyahat ediyorduk. Piramidi bulamadık ve bu yerlerdeki birçok balina balina tarafından yeneceğimizi sandık. Atlas'ınız varsa, bu "Atlantik Piramidi"nin bulunduğu yer, Cay Sal Balk adlı bir kıyıdan 50 mil güneyde, Kuzeybatı'da yer alıyor.

**...**İki dalış ve iki kaviyere yemek arasında, Bonomi'ye Boy yüzeyinin yoğun üretimini sponsorlamayı önerdim. Fikri beğendi ve bir devamı oldu. Diyebiliriz ki, Paris'teki Keşifler Sarayı'ndaki matematik salonunu süsleyen Boy yüzeyi Bonomi tarafından ödenmiş ve Sauze tarafından yapılmıştır. Finansçı, altın tel ile yapılan nesnelerle bir sergi kurmayı planlıyordu. Ama işin bir sonucu olmadı. Uzun süre sessizliğini koruyan ona Milan'daki ofislerinden aradım. Üzgünüm, P2 lojistiyle ilgili skandalda yer alması nedeniyle hapse atılmış ve topolojiye olan ilgisi kalıcı olarak zarar görmüştür.

**...**Boy yüzeyinin iki yaprağı, P2 proje yüzeyinin bir görüntüsüdür, bu da S2 küresidir (bkz. Topologicon). Pugh, bu kaplamayı iki tabaka tavuk kafesinden yaptı, bu da her yönden dikkat çekici bir nesnedir, ama ben, bireysel olarak bakır tel ve meridyen-paralel temsili tercih ederim. Ama hatta saf matematikte:

De gustibus et coloribus non disputandum.

**...**Notu sunmadan önce, son bir anekdot. Charles Pugh, tavuk kafesinden yedi model inşa etti, bu da ona önemli bir ödül kazandırdı ve kürenin ters çevrilmesinin ardışık adımlarını tanımlıyordu. Bu konu, siteye beş dakika bulduğumda yer alacak ve Berkeley Üniversitesi Matematik Bölümü'nün kantininde tavanın altına asılmıştı.

**...**Dünya çapında matematikçiler, bu her yönden harika diziyi görmek için seyahat ediyorlardı. Ancak bir gece, modeller çalındı ve bu yedi nesnenin ne olduğu bilinmiyor, çünkü başka hiçbir şeyden satılamazdı. Hangi bir çalı korsanı bu tür bir işlemi kabul ederdi? Belki, bir zengin sanatsever, yarısı sanatçı yarısı matematikçi, bu işlemi finanse etmiş ve bunları bir sığınakta saklamıştır, bu da dünyadaki sekizinci harikası olan şeyi görmekten keyif almak için. Tavuk kafesinden yapılmış olsa da.

**...**Pugh, malzeme üzerindeki ustalığına rağmen, yeni bir dizi üretmek için cesaret bulamadı.

**...**Zaten sitenin başında belirttiğimiz gibi, Werner Boy'un hayatı hâlâ bir gizemdir. Onunla ilişkilendirilecek yüzeyi icat ettikten sonra, üniversiteden ayrıldıktan sonra, aslında fiziksel olarak kayboldu. Hilbert'in araştırmalarına rağmen, onun izini sürmek mümkün olmadı ve hatta nerede entarili olduğu bile bilinmiyor.

**...**Matematiğe geri dönelim. Aşağıdaki not, nispeten okunabilir. 1-8 formüllerinden herhangi bir lise öğrencisi, çok güzel görüntüler oluşturabilir ve kesitlerin gerçekten 5. figüre uygun olduğunu kontrol edebilir.

C.R.Acad.Sc. Paris, t. 293 (5 Ekim 1981) Série 1 - 269
GEOMETRİ. - Boy Yüzeyinin Analitik Gösterimi. Jean-Pierre Petit ve Jérôme Souriau tarafından sunulan bir not.

Burada Boy yüzeyinin analitik bir temsili sunulmaktadır, bu da onun çizilmesini mümkün kılar.

**1. GİRİŞ. **

**...**1901 yılında matematikçi Werner Boy tarafından icat edilen yüzey, matematikçiler tarafından iyi bilinmektedir. Kürenin ters çevrilmesinde merkezi bir adımda kullanılabilir ([1] ve [2]).

**...**1979 (J.P.P) bakır tel ile bir model inşa etti, bu model yüzeyin meridyen çizgilerinin nerede olmaları gerektiğini ortaya koydu. 1980 yılında, sanatçı Max Sauze ile yapılan ikinci bir çalışma, bir modelin yeniden inşasını sağladı, burada eğriler düzlemlerde yer alıyor ve elipslere oldukça benziyordu. Bu tür bir modelden, Boy yüzeyinin topolojisine sahip ve tek bir kutuptan geçen elipslerle meridyenleri olan bir yüzeyin analitik bir temsili oluşturulabilir.

**2. BOY YÜZEYİNİN ELLİPSİLERLE ÜRETİLMESİ. **

**...**Kutbu koordinatların orijinine koyalım. Bu noktada yüzey XOY düzlemine teğet olacaktır. Bu nedenle OZ ekseni üçlü simetri eksenine sahip olacaktır (bkz. Şekil 1). Bu nedenle meridyen eğrileri Pm düzlemlerinde yer alır. XOY düzleminde Pm düzleminin izi OX1 olsun. m, (OX, OX1) açısı olsun. Bu Pm düzleminde, OX1'e dik bir OZ1 ekseni koyalım. a, (OZ, OZ1) açısı olsun.

a5101

a5108

Şekil 1 ve Şekil 2

**...**Bu analitik temsildeki ilk parametre m açısıdır. a açısının m'ye bir fonksiyonu olduğunu (daha sonra tanımlanacaktır) kabul edeceğiz. Pm düzleminde, OX1'e O noktasında teğet bir elips çizeceğiz (bkz. Şekil 2). Bu elipsin eksenlerini X1OZ1 açılarının açıortaylarına paralel alacağız. Bu elipsin eksen değerlerini A(m) ve B(m) olarak adlandıracağız. Bu elips Em, ikinci serbest bir parametre q ile üretilir.

**...**Özetle, yüzeyin mevcut noktasının X(m,q), Y(m,q), Z(m,q) koordinatlarını elde edeceğiz.

**...**Bu yarı deneysel yaklaşım, (J.S.) tarafından yapılan ölçümlerle, a(m), A(m) ve B(m) fonksiyonlarının yaklaşımlarını sağladı. Daha sonra, "Apple-II" bilgisayarıyla yüzey çizildi ve Z = Sabit kesitler elde edildi. Bu kesitlerin incelenmesi, Boy yüzeyiyle topolojik olarak aynı olduğunu doğruladı. Bu, (J.S.) tarafından yapılan sayısal deneylerle elde edildi ve istenmeyen tekillik çiftlerini (küsüratlı nokta çiftlerinin ortaya çıkması) kaldırmak için yapıldı.

**...**Bizim için seçtiğimiz: (1) A(m) + 10 + 1.41 Sin (6m - p/3) + 1.98 sin ( 3m - p/6)

(2) B(m) + 10 + 1.41 Sin (6m - p/3) - 1.98 sin ( 3m - p/6)

(3)

**...**X1 O Z1 koordinat sisteminde, Em elipsinin merkezinin koordinatları: (4)

a5104