N-cisimli sistemler ve astrofizik

Epistémotron Projesi 1

N-cisimli problem hakkında genel bilgiler. Gazların kinetik teorisi bazı kavramları

Astrofizik, evrenin farklı ölçeklerde işleyen olayları anlamayı amaçlayan bir bilimdir. Örneğin, güneş sisteminin nasıl oluştuğu, hiç yapılmamış, oldukça ilginç bir çalışmadır. Bu, Epistémotron projesinin hedeflerinden biri olacaktır ve matematikçi Jean-Marie Souriau'nun geliştirdiği teoriyi somutlaştıracaktır.

Daha büyük ölçeklerde galaksi dinamiği tamamen şeffafsızdır. Henüz bir galaksi modelimiz yoktur. Bu objeler nasıl oluşur veya nasıl evrimleşir bilinmemektedir. Saf teorik olarak bu "kendi gravitasyonuyla çalışan N-cisim sistemleri" Vlasov ve Poisson denklemleriyle tanımlanan diferansiyel denklem sistemleriyle yönetilir. Bu yaklaşımlar (mevcut "teorisyenlerin bile artık bilmediği) hâlâ duvarlara çarpmıştır.

Çözümün yeni bir evren anlayışıyla, ikiz bir evren anlayışıyla geçmesi gerektiği düşünülmektedir. İlgili okuyucular, uzun yıllardır benim sitesinde bulunan dosyada bu konuya giriş bulabilirler. Somut olarak, evrenin iki bileşeni olduğunu düşünmek demektir:

- Pozitif enerjili parçacıklar, bizimkiler

- Negatif enerjili parçacıklar, ikizlerimiz.

E = m c² olduğundan, negatif enerjili parçacıklar, negatif kütleye sahip gibi davranır. Bu durumda dinamik şema şu şekilde olur:

- İki pozitif kütle Newton yasasına göre birbirini çeker

- İki negatif kütle Newton yasasına göre birbirini çeker

- Zıt işaretli iki kütle "anti-Newton" yasasına göre birbirini iter.

Pozitif enerjili parçacıklar neden optik olarak gözlemlenmiyor? Çünkü zıt enerjili iki parçacık arasındaki elektromanyetik etkileşim basitçe imkânsızdır. Son zamanlarda genç ve parlak bir araştırmacı tarafından gösterildiği gibi, kuantum alan teorisine göre, bu tür etkileşimler "sanal parçacıklar" veya "taşıyıcılar" (pozitif enerjili ve negatif enerjili fotonlar) alışverişi gerektirir. Feynman'ın yollar integraliyle tüm olası etkileşimlerin ele alınması bu durumda sonuçta sıfır sonucuna yol açar. Dolayısıyla etkileşim basitçe imkânsızdır ve ikiz parçacıklar bizim için görünmez kalır. Yalnızca gravitasyon (veya daha doğrusu antigravitasyon) yoluyla etkileşime girebilirler. Bu fikir, günümüz astrofizik ve kozmolojideki büyük problemlerin anahtarıdır (eksik kütle etkisi, galaksilerin dönüş eğrileri, galaksi oluşumu, evrenin büyük ölçekli yapısının kökeni). Bu fikirlerin popülerleştirilmiş bir sunumu, 1997 yılında yayımlanan kitabımın içinde bulunur:

Genel bilgiler, özellikle gravitasyonel kararsızlıkla ilgili, "Milyarlarca Güneş" adlı çizgi romanımın, "Lanturlu1" CD-ROM'unda PDF formatında, yazdırılabilir olarak bulunur (18 çizgi romanı 16 euro göndererek J.P.PETIT, Jacques Legalland, Lou Garagai, 13770 Venelles adresine ulaşılabilir).

Kozmos'ta gravitasyonun ötesinde farklı mekanizmalar da etkindir. Ancak bundan sonraki tüm tartışmalarımızda, radyatif etkileşimleri ve füzyonla enerji üretimini göz ardı ederek, yalnızca bu tek mekanizmaya odaklanacağız. İnceleyeceğimiz sistemler, kendi gravitasyon alanlarında bulunan, kendi gravitasyonuyla çalışan N-cisim sistemleridir. Böyle bir sistemin davranışını incelemek için, her "kütle noktasının" (pozitif veya negatif kütleye sahip) N-1 diğer parçacık tarafından uygulanan tüm çekim ve itme kuvvetlerinin vektörel toplamını hesaplamak gerekir. Bu nedenle hesaplama süresi, N büyük olduğunda N(N-1) veya N² oranında artar.

Bir gezegen sisteminde veya protogezenek sisteminde nesne sayısı nispeten azdır ve tek bir "evsel" bilgisayarla yönetilebilir. Galaksi için bu mümkün değildir. Bizim galaksimiz, 100 ila 200 milyar yıldızdan oluşur ve bunlar nokta kütleler olarak kabul edilebilir. Bu yıldız kütlesi, kendi kendine nokta kütlelerden oluşan bir gaz gibi düşünülebilir. "Gerçekliğe" mümkün olduğunca yaklaşmak için, mümkün olan en çok nokta kütleyi yönetmek gerekir. Bu teknikler 1960'ların sonlarında uygulanmaya başlanmıştır. Ne mutlu bize, bilgisayarların hızı ve hesaplama gücü yıllar içinde sürekli artmıştır. 1990'ların başında, Alman Merkezi DAISY (parçacık hızlandırıcı) merkezinde deney verilerini yöneten büyük bilgisayarda hesaplamalar yaptırdım. O dönemde, bu kadar güçlü bir makine, 5000 nokta kütleyi yönetebilir. Yukarıdaki eserde bu sayısal deneyimde elde edilen temel sonuçlar bulunur.

Bilgisayar biliminde 12 yıl içinde yapılan ilerlemeler, bu problemleri artık evsel makinelerde çözmeyi mümkün kılmıştır. Bilgisayarların hesaplama hızı (2 gigahertz saat) ve merkezi bellekleri büyük ölçüde artmıştır. Olivier le Roy gibi okuyucular, kendi makinelerini C++ ile programlayarak, gravitasyonel kararsızlık mekanizması gibi basit ama temel unsurları yeniden keşfetmiştir. 2001 yılında astrofiziği tamamen terk ettiğim halde, bu bireysel girişimler, amatörlerin etkileriyle temellendirilmiş bir araştırma yeniden başlatmamı teşvik etti. Gerçekten, 12 yıl önce, 25 Şubat'ta Collège de France'da verdiğim konferansın ardından, Akademisyen ve astrofizikçi Jean-Claude Pecker'in belirttiği gibi, uygun kaynaklara sahip ekiplerin bu fikri yeniden ele almadıkları, oldukça şaşırtıcı ve üzücüdür. Bunun yerine, "soğuk karanlık madde" ile oldukça kötü bir şekilde uğraşıyorlar.

Bu yüzden, "kavga etmek isteyen" herkese bu yolda ilerlemeleri sağlayacak tüm gerekli unsurları sunmak zorunda hissediyorum. Tek bir makineyle ve 2000-5000'den az nokta kütlesiyle birçok hesaplama yapılabilir. Bu, simülasyonların sadece iki boyutlu olmasını sınırlar. 3 boyutta, birkaç bin noktanın bir "gaz" olarak kabul edilmesi mümkün değildir. Bunun ötesinde, harika bir proje ortaya çıkar: N makineyi birlikte çalıştırarak "paylaşımlı hesaplama" tekniğini uygulamak. Bu, saf bilgisayar bilimi açısından oldukça zor bir geliştirme sorunudur.

N-cisimli bir problemi yönetmek

Nokta kütlelerimiz ve başlangıç koşullarımız 3 boyutta altı sayı (üç konum koordinatı ve üç hız bileşeni) ve 2 boyutta dört sayı (iki konum koordinatı ve iki hız bileşeni) ile özetlenecektir. Ayrıca bir hesaplama uzayında yer almak ve sınır koşullarını yönetmek gerekir (bir bilgisayar sonsuz bir uzayı yönetemez). Daha sonra, hesaplama aralığını ve zaman adımını (Dt) mümkün olduğunca iyi ayarlamak gerekir. Önce çok basit bir görselleştirme yapalım. 2 boyutlu, sonsuz bir hesaplama uzayı hayal edelim. Matematikçiler bunu R² olarak adlandırır. Bu uzayda N nokta, başlangıç konumları ve hızları ile yerleştirilir. Bunlardan birini (siyah renkli olanı) alalım ve diğer N-1 parçacığın ona uyguladığı kuvvetlerin bileşkesini (Fx, Fy, Fz) hesaplayalım. Daha sonra Taylor serisi açılımı kullanarak bu parçacığın yeni konumunu ve yeni hızını hesaplayalım.

Hemen bir sorunla karşılaşıyoruz: zaman aralığı Dt'yi nasıl seçmeliyiz? Akıl yürütme basittir. N parçacığın aynı anda hareketlerini yönetemeyiz. Bu nedenle, Dt süresince gravitasyonel alanın "donmuş" kalmasını zorunlu kılacağız. Bir hesaplama adımını yapalım ve yukarıdaki Taylor serisi açılımını kullanarak parçacıkların bu "donmuş" alanda yörüngelerini çizelim. Bu hareket, sonunda yerel alan dağılımını değiştirecektir. Hesaplama, alan "çok fazla değiştirilmediğinde" geçerli olacaktır. Gözle bakıldığında, bu Dt süresince kütle dağılımı "çok değişmediyse" kabul edilebilir. 2 boyutlu bir resim verelim. Siz bir köpük yatak üzerine kurşun bilyeler yerleştirin. Bu bilyeler yatağın yüzeyini bükerek yerleştirir. Bilye birikimleri, yerel olarak bir çukur oluşturur. Bu, gravitasyonel alanın bir yüzey olarak materyal bir temsili olur. Bu aynı zamanda "kendi gravitasyonuyla çalışan" bir sistemin iyi bir görsel örneğidir çünkü bilyeler kendileri tarafından şekillendirilen bir yüzey üzerinde hareket ederler.

Hesaplama analoğu, bu donmuş, sert köpük yatağa göre tüm bilyelerin hareketini hesaplayarak başka bir "harita" oluşturmak olacaktır. Bu yeni dağılımı, ilk ile aynı olan bir köpük yatağa yerleştireceğiz. Yeni bir çukur oluşur. Hesaplama adımının kabul edilebilir düzeyde küçük olacağını kabul ederiz, eğer genel olarak yüzeyler birbirine yakın ise.

Aynı kriteri, 5 yıldızdan oluşan bir mini küme gibi, birbirlerine gravitasyonla bağlı bir sistem için de uygulayabiliriz. t anında, bu yıldızlar bir gravitasyonel alan g (r,t) oluştururlar. Her birinin bir süre boyunca hareketini hesaplayabiliriz ve aynı alan g' (r + Dt) hesaplayabiliriz. Bu aralıkta iki alan birbirine "yeterince yakın" ise hesaplama geçerlidir.

Elbette, adım ne kadar küçükse hesaplama o kadar hızlı olur, ancak hata da o kadar artar. Aşağıda ele alacağımız sistemlerde N çok büyük ve mümkün olduğunca büyük olacak. En azından birkaç bin nokta kütlesi. Paylaşımlı hesaplama yapılabilir hâle geldiğinde ise, birkaç milyon nokta kütlesiyle çalışacağız (bu da 3 boyutlu geçerli bir simülasyon imkanı sunar). Hemen görüldüğü gibi amaç, bu nokta kütlesi kümesini bir parçacık gazı gibi yönetebilmektir. Bu fikir, bir yıldızlararası gaz kütlesi için sezgisel görünür. Ancak aynı zamanda bir galaksinin tüm yıldızlarını da kapsar. Bizim galaksimizde 100 ila 200 milyar yıldız bulunur. Elips galaksilerde bu sayı on kat daha fazladır. Yakın algımız açısından galaksimiz çok seyrek görünür. En yakın yıldızlar ışık yılı uzaklıkta bulunur. Ancak galaksinin çapı yaklaşık 100.000 ışık yılı olduğundan, bu mesafe oldukça küçük bir mesafedir. 100 ışık yılı, galaksinin çapının binde biri kadardır. Bu hacimde önemli sayıda yıldız bulunur. 100 ışık yılı ölçeğinde bir galaksi gaz gibi görünür. Geçmişte, yalnızca matematiksel araçlarla bu objeleri sürekli fonksiyonlarla tanımlamaya çalışılırdı.

N-cisimli bir sistemin doğal evrimi

Şu an için hesaplama uzayımız ... sınırsızdır. Fikirlerimizi netleştirmek için 2 boyutlu bir durum düşünelim. Sistemin halini ekranınızda görebilirsiniz. Konum-hız bilgilerini aynı anda görmek isterseniz, nokta kütleleri siyah lekelerle temsil edebilir ve her biri küçük bir çizgiyle (hız vektörünü temsil eden) birleştirilebilir. Bu objeleri nokta kütle olarak ele alırken, kütlelerine göre noktaların daha büyük veya daha küçük olmasına karar vermekten sakınmazsınız. Gerçekçi olmak için, kütlelerin kare köküyle orantılı olarak büyüyen küçük siyah konfeti parçacıkları da kullanabilirsiniz.

İki cisim sistemi ne olur? Önceden, bu sistem kararlıdır. Sanırım, fenomenleri kendiniz manipüle etmek, onları göz önünde tutmak için kendi programlarınızı oluşturmanız gerekir. İki çok farklı kütleli M ve m kütlesini alırsanız, bir gezegenin bir yıldız etrafında döndüğüne benzer bir durum elde edersiniz. Güneş'in kütlesi (2x10³⁰ kg) ile Dünya'nın kütlesi (6x10²⁴ kg) arasındaki oranın 333.333 olduğunu hatırlatıyorum, yani 333 bin kat. Jüpiter'in Dünya'dan 317 kat daha büyük olduğunu düşünürsek, Güneş'in kütlesinin Jüpiter'in kütlesine oranı yaklaşık 1000'dür.

Ayrıca, Larousse'dan "Astronomi Sözlüğü"nü almanızı tavsiye ederim. Bu kitapta neredeyse her şeyin değerlerini bulabilirsiniz.

İki cisim problemiyle, bir "Güneş" ve bir "Jüpiter" ile başlarsanız, Güneş'in yeterince uzakta yerleştirilmesi (Jüpiter'in yörüngesi yaklaşık 800 milyon km) durumunda neredeyse Kepler yasalarını elde edersiniz. Astronomide genellikle UA (astronomik birim) kullanılır. 1 UA, Dünya-Güneş ortalama mesafesidir, yani 150 milyon km. Jüpiter'in yörünge yarıçapı 5,2 UA'dır.

Bu koşullarda yıldız neredeyse hareketsiz kalırken, iki cisim sisteminde ikisi de ortak kütle merkezleri etrafında döner. Yapılması gereken alıştırmalar: kütle oranlarını değiştirin, gezegeni yıldıza daha yakın koyun. Bu sistemin nasıl çalıştığını izleyin, her zaman hesaplama adımının "yeterince küçük" seçilmesi gerektiğini unutmayın ki sonuç "anlamlı" olsun. Bu tür şeyleri veren, yıllardır var olan hazır programlar mevcuttur. Ancak amaç, "elle tutulabilir" şeyler yaratmaktır. Üç cisim sistemine geçtiğinizde davranış tamamen değişir. Bu sistemler kararsızdır. İki küçük gezegeni bir yıldız etrafında döndürmek dışında, kütleler birbirine yakın olursa, cisimler döner ve bir süre sonra üçlü sistemin bir üyesi dışarı atılır. Bu durumu parametrelerinizi ayarlayarak kolayca yeniden oluşturabilirsiniz. Yörüngeleri ve hız vektörlerini görselleştirebilir, animasyonlu GIF'ler oluşturabilirsiniz. Eğer biri bunu yaparsa, bunu dersimde kullanmak ve onu kaynak göstermekten memnuniyet duyarım. Kendim de bunu programlayabilirim. Ne yazık ki, bilgisayarlar, benim oldukça gelişmiş bir bilgisayar destekli tasarım programları yarattığım zamanlara göre çok değişti. Ancak günümüzde, C++ ile oynamadığınız sürece sadece bir eski karidesiniz. Açıkçası, her şeyi derlenmiş BASIC ile yazıyorum. Pascal'ı bile bilmiyorum! Bunu öğrenmem gerekiyor. Ancak şu an iki tekne yapımında, ikisi de uzaktan kumandalı olacak (katkıda bulunmak isteyen varsa, sorun değil...). Birincisi 5000 yıl önceki bir Perulu teknesi, Kon-Tiki'ye benzeyen bir raftır, "garas" ve saplarla donatılmıştır. Diğeri ise Eski Devir Mısır teknesinin bir denemesidir (MÖ 2300). Bu yüzden Pascal'ı öğrenmek için zamanım olmadığı için, bu dersin görsellerini, isterseniz animasyonlu olarak, okuyucularımdan alacağım.

İki cisimden fazla olan sistemler kararsızdır. Bunun kanıtı, gökyüzünde gördüğümüz yıldızların yarısı tekil yıldızlar, yarısı da (yaklaşık olarak) ikili veya daha fazla yıldızdan oluşan sistemlerdir. Sadece ilk ikisi kararlıdır. Bilinenlere göre, yıldızlar tek başlarına değil, topluluklar halinde doğarlar. Bu, oldukça yeni bir fikirdir. 15-20 yıl önce vefat eden arkadaşım Pierre Guérin'in bana söylediği bir söz hâlâ aklımda:

- Eğer Güneş'in bir toplulukta doğduğunu söylersen, astrofizikçiler sana karşı olur.

Serge Jodra'nın birkaç yıl önce Ciel et Espace'de yayımladığı "Güneş'in kardeşleri nerede?" adlı makaleyle bu fikir tersine dönmüştür. Elbette, bunlar sadece tahminlerdir ve bizim hedeflerimizden biri de bu belirsiz konulara biraz daha ışık tutmak olacaktır. Kısaca, Güneş gibi bir yıldız, birkaç yüz yıldızdan oluşan bir toplulukta doğmuş olabilir. Başlangıçta bu yıldızların hepsinin aynı kütlede olması gerekmez. Gözlemler bize, Güneş'in galaksimizde ve muhtemelen diğer galaksilerde "standart yıldız" olduğunu gösterir. Daha büyük ve daha küçük yıldızlar da vardır. Bu yüzden, 3 boyutlu düşünerek, birbirleriyle etkileşen 200 nokta kütlesinin davranışını incelemek ilginç olabilir. Bu objeler toplam M kütlesini temsil eder. M kütlesinden her zaman bir kaçış hızı hesaplanabilir. R, bu "topluluğun" (büyüklük sıralarını hedeflemek için) yarıçapı olsun. Eğer bir cisim bu objeden radyal olarak uzaklaşır, enerjisini kaybeder. Newton yasasına göre R'den sonsuza kadar