cosmologie de l'univers jumeau Astrophysique de la matière fantôme-matière. 1. Cadre géométrique. L'ère de la matière et l'approximation newtonienne. (p2)
2) Modèle cosmologique dominé par la matière.
... En supposant que les deux univers sont isotropes et homogènes, les métriques, en coordonnées sphériques, sont :
(17)
(18)
... Ces deux métriques sont exprimées dans les systèmes de coordonnées propres à chacune de leurs plis. k et k* sont les indices de courbure.
Introduisons des temps propres sans dimension :
(19) s = cT s s* = - cT s
et des facteurs d'échelle sans dimension :
(20)
R = cT R
R* = cT R*
Les métriques deviennent :
(21)
(22)
où la partie spatiale est :
(23)
dh² = du² + u² ( dq² + sin² q dj²)
De même, nous pouvons exprimer le système d'équations de champ sous une forme sans dimension :
(24)
(25)
c'est-à-dire :
(26)
avec
(27)
où l'indice r fait référence au rayonnement et l'indice m à la matière.
c (constante d'Einstein) → - 8 π
R → R
R* → R*
r = ro w
r* = ro w
p = po p
p* = po p
{ ro , ro , po , po } étant les densités massiques et pressions caractéristiques. Dans cet article, nous traitons l'ère de la matière. Nous supposons que les densités et pressions de matière sont égales à la fin de l'ère radiative et écrivons :
(27b)
ro = ro ; po = po
Dans l'ère de la matière, nous avons :
(28)
et le système d'équations de champ devient :
(29)
(30)
Les tenseurs sont écrits sous leurs formes sans dimension :
(31)
où (w , w*) sont des densités de matière sans dimension et (p , p*) des pressions de matière sans dimension, toutes positives. Nous obtenons le système suivant de quatre équations différentielles :
(32-a)
(33-b)
(32-c)
(32-d)
... Si nous supposons que les vitesses thermiques, dans les deux plis, sont négligeables par rapport à la vitesse de la lumière, les pressions peuvent être négligées (univers poussiéreux). Dans une première étape, juste après le découplage, nous avons w = w*, le système devient :
Version originale (anglais)
twin universe cosmology Matter ghost-matter astrophysics. 1.The geometrical framework. The matter era and the newtonian approximation. (p2)
2) Matter dominated cosmological model.
...Assuming the two universes to be isotropic and homogeneous, the metrics, in spherical coordinates, are :
(17)
(18)
...These two metrics are expressed in the coordinates systems of their own fold. k and k* are the curvature indices.
Introduce adimensional proper times :
(19) s = cT s s* = - cT s
and adimensional scale factors :
(20)
R = cT R
R* = cT R*
the metrics become :
(21)
(22)
where the spatial parts is :
(23)
dh2 = du2 + u2 ( dq2 + sin2 q dj2)
Similarly we can put the field equation system into an adimensional form :
(24)
(25)
i.e :
(26)
with
(27)
where the subscript r refers to radiation and the subscript m to matter.
c (Einstein constant) --> - 8 p
R ---> R
R* ---> R*
r = ro w
r* = ro w
p = po p
p* = po p
{ ro , ro , po , po } being characteritic mass densities and pressures. .In this paper we deal with matter era. We assume that the matter densities and pressures are equal at the the end of the radiative era and write :
(27b)
ro = ro ; po = po
In the matter era we have :
(28)
and the field equations system becomes :
(29)
(30)
The tensors are written in their adimensional forms :
(31)
were (w , w*) are adimensional matter-densities and (p , p*) adimensional matter pressures, all positive. We get the following system of four differential equations :
(32-a)
(33-b)
(32-c)
(32-d)
...If we assume the thermal velocities, in both folds, to be negligible with respect to the velocity of the light, the pressures can be neglected (dust universes). In a first step, when discoupling has just occured, we have w = w* the system becomes: