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Prologue.
...La physique est comme un gâteau :
(1)
- Premier étage : observations, expériences.
- Deuxième étage : équations différentielles.
- Troisième étage : géométrie - Quatrième étage : théorie des groupes.
Les groupes régissent la géométrie, qui engendre de belles équations différentielles.
Avec les équations différentielles, nous construisons des choses, qui sont ensuite utilisées pour expliquer ou prédire ce que nous appelons des faits physiques.
...Historiquement, les hommes ont commencé à étudier et à codifier des faits, des observations, en effectuant des mesures. Ensuite, ils ont imaginé des lois de conservation, et des "lois physiques". Au début du siècle, ils ont commencé à penser que les lois physiques pourraient avoir un lien avec la géométrie.
À la même époque, Felix Klein a demandé : Qu'est-ce qu'une géométrie ?
Notez qu'il a dit "une géométrie" et non "la géométrie" (programme d'Erlangen).
...Klein, Lie, Cartan et d'autres ont montré qu'il y avait quelque chose de caché derrière l'apparence géométrique. La géométrie n'était pas le dernier étage, le nec plus ultra de la connaissance en physique. À partir d'une structure de groupe, on peut construire une géométrie.
Dans ce qui suit, nous tâcherons de montrer le lien entre groupes, géométrie et physique.
Au passage, à propos des groupes, quoi ?
...Je tendrais à dire : la logique. Mais la logique est une pièce dont le dernier occupant fut Kurt Gödel, un pyromane dangereux. Avec son théorème bien connu, il a mis le feu aux meubles, qui ont été complètement détruits. Depuis cette tragédie, la pièce est vide.
...C'est pourquoi j'ai mis un point d'interrogation là.
Groupes.
...Qu'est-ce qu'un groupe ? Dans ce qui suit, nous limitons l'étude aux groupes dynamiques de la physique : un ensemble de matrices carrées (n,n) obéissant à des axiomes définis. Ces matrices g, éléments d'un groupe G, agissent les unes sur les autres par multiplication matricielle classique (ligne-colonne). Parmi ces matrices carrées, on trouve les matrices unités.
(1-bis)
...Un groupe obéit aux axiomes définis par le mathématicien norvégien Sophus Lie. Ces axiomes s'appliquent à des objets bien plus généraux que des ensembles de matrices. Mais nous limiterons notre regard à ce monde particulier et utiliserons la multiplication matricielle :
x
1 - Premier axiome de la théorie des groupes :
Le produit de deux éléments g1 et g2 d'un groupe G :
(2)
g3 = g1 x g2
obéit à :
(3)
Donnons un exemple de groupe de matrices, dépendant d'un seul paramètre a. L'élément est :
(4)
Le produit de deux éléments donne :
(5)
ou :
(6)
g(a) x g(b) = g( g ) = g( a + b ) = **g **( g )
Nous pouvons écrire le produit matriciel :
(7)
ce qui est semblable à g1 et g2, c'est-à-dire :
(8)
Exemple contraire : Considérons l'ensemble suivant de matrices dépendant d'un seul paramètre a
(9)
Le produit de deux éléments donne :
(10)
ce qui est fondamentalement différent de (5).
2 - Deuxième axiome de la théorie des groupes :
Dans l'ensemble des éléments, nous devons trouver un élément particulier, appelé élément neutre e, qui, combiné à tout autre élément, obéit à :
(11) g x **e = e **x **g **= g
Dans les groupes dont les éléments sont des matrices carrées, cet élément neutre e est toujours la matrice unité 1.
(12) g x 1 = 1 x g = g Notez que nous utilisons des caractères en romain pour les scalaires et en gras pour les autres objets : matrices carrées, lignes ou colonnes.
Rappelons-nous de l'exemple initial de groupe :
(13)
Remarquons que :
(14)
Index Théorie des groupes dynamiques
Version originale (anglais)
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Prologue.
...Physics is like a cake :
(1)
- First floor : observations, experiments.
- Second floor : differential equations.
- Third floor : geometry - Fourh floor : groups theory.
Groups rule geometry, which fathers beautiful differential equations.
With differential equations we build things, which then are used to explain or predict what we call physical facts.
...Historically men began to study and to codify facts, observations, performing measurements. Then they imagined conservations laws, and "physical laws". At the begining of the century they began to think that physical laws could have something to do with geometry.
At the same period, Felix Klein asked : What is a geometry ?
Notice he said "*a *geometry" and not "geometry" (Erlangen's program)
...Klein, Lie, Cartan and others showed that something lied under geometrical appearence. Geometry was not the last floor, the nec plus ultra of knowledge in physics. From a group structure one can build a geometry.
In the following we will try to show the link between groups, geometry and physics.
By the way, upon groups, what ?
...I would tend to say : logics. But logics is a flat whose last occupier was Kurt Gdel, a dangerous pyromaniac. With his well-known theorem he put fire to the furniture,which was completely destroyed. Since this tragedy, the room is unoccupied.
...That's for I put a question mark there.
Groups.
...What's a group ? In the following we limit the investigation to dynamic groups of physics : a set of square matrixes (n,n) obeing defined axioms. Theses matrixes g, elements of a group G, act each on another through classical (line-column) matricial multiplication . Among these square matrices we find unity matrixes.
(1-bis)
...A group obeys the axioms defined by the Norvegian mathematician Sophus Lie. These axioms apply to objects which are much more general than matrixes sets. But we will limit our glance on this peculiar world and use the matrix-multiplication :
x
1 -** First axiom of groups'theory :**
The product of two elements g1 and g2 of a group G :
(2)
g3 = g1 x g2
obeys :
(3)
Let us give an example of a group of matrix, which depends on a single parameter a . The element is :
(4)
The product of two elements gives :
(5)
or :
(6)
g(a) x g(b) = g( g ) = g( a + b ) = **g **( g )
We can write the matrix-product :
(7)
which is similar to g1 and g2 , i.e :
(8)
Example to the contrary : Consider the following set of matrixes which depend on a single parameter a
(9)
The product of two elements gives :
(10)
which is basically different from (5).
2 - Second axiom of groups'theory :
In the set of elements we must find a peculiar one, called neutral element e , which, combined to any other element, obeys :
(11) g x **e = e **x **g **= g
In groups whose elements are square matrixes this neutral element e is always the unity matrix 1 .
(12) g x 1 = 1 x g = g Notice we use lightfaced types to describe scalars and bold types for other objects : square or line or colomn matrixes.
Let us return to the first example of group :
(13)
Remark that :
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