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Rappelons les composantes du groupe de Poincaré :
E : énergie
p : impulsion
f : passage
l : matrice de spin.
Pour rester proche du texte de Souriau, appelons
-
Ln l'élément de la composante neutre Ln du groupe de Lorentz complet L.
-
Ls l'élément de celui qui inverse l'espace.
-
Lt l'élément de celui qui inverse le temps.
-
Lst l'élément de celui qui inverse à la fois l'espace et le temps.
C étant le vecteur de translation espace-temps, on obtient les composantes suivantes du groupe de Poincaré :
gp ( Ln , C) élément de la composante neutre Gpn.
gp ( Ls , C) élément de la composante Gps, qui inverse l'espace.
gp ( Lt , C) élément de la composante Gpt, qui inverse le temps.
gp ( Lst , C) élément de la composante Gpst, qui inverse les deux.
L'action coadjointe est : (313)
P est le quadri-vecteur :
(314)
Nous avons quatre matrices caractéristiques : (315)
avec l = ± 1 et m = ± 1.
Ln = L ( l = 1 ; m = 1)
Ls = L ( l = - 1 ; m = 1)
Lt = L ( l = 1 ; m = - 1)
Lst = L ( l = - 1 ; m = - 1)
(316)
(317)
(318)
Nous nous intéressons à C = 0 (319)
d'où l' = l et f' = l m f
et : (320)
gp ( Ln , C) : I E → E ; p → p ; f → f ; l → l
gp ( Ls , C) : I E → E ; p → - p ; f → - f ; l → l
gp ( Lt , C) : I E → - E ; p → p ; f → - f ; l → l
gp ( Lst , C) : I E → - E ; p → - p ; f → f ; l → l
Les inversions ne modifient pas la matrice de spin l.
À l'inverse, l'inversion T et l'inversion d'énergie sont synonymes.
E → -E (on pourrait l'appeler une « symétrie E »)
Le spin s, comme le module du vecteur de spin s, n'est qu'un nombre, inchangé par l'action de toutes les composantes des groupes, qu'elles soient orthochrones ou antichrones. ... L'énergie au repos d'une particule est mc². Comme nous le voyons, l'inversion de masse va de pair avec l'inversion du temps. Mais l'inversion de l'espace ne change ni l'énergie, ni la masse.
Souriau appelle les deux premières composantes connexes du groupe de Poincaré complet :
Gpn, Gps
les composantes orthochrones (Gpn est la composante neutre).
Et les deux autres : Gpt, Gpst
les composantes antichrones. Cela soulève le problème des masses négatives. Existent-elles ? Si oui, que devient la collision entre particules de masses et d'énergies opposées :
- mc² et - mc²
...Notons que cela ne correspond pas à l'« annihilation » d'une paire particule-antiparticule. Lors de la collision de ces dernières, on obtient de l'énergie radiative, des photons. Le résultat de la collision d'une particule d'énergie positive et d'une particule d'énergie négative devrait être bien plus troublant, car il devrait être nul : rien.
...Qu'est-ce que la Nature, qu'est-ce qu'une particule ? Dans cette approche, nous partons d'un groupe donné : le groupe de Poincaré. Ensuite, nous construisons l'action de ce groupe sur son espace des moments. Cet espace des moments est constitué de points. Chaque point correspond à un mouvement d'un des objets géométriques qui composent l'espace associé au groupe.
...Dans la suite, nous montrerons que le groupe de Poincaré n'est pas en mesure de prendre en charge toutes les caractéristiques des particules.
...La dimension du groupe de Poincaré est 10.
La dimension de l'espace des moments est donc également de dix. (321) J = { E , p , f , l }
Si nous choisissons un système de coordonnées lié à la particule, f = 0.
En résumé, les seules caractéristiques qui émergent naturellement du groupe de Poincaré, comme grandeurs géométriques, sont :
Pour une particule de masse nulle :
- Son énergie – Son spin et sa hélicité
Pour une particule de masse non nulle :
- Sa masse au repos – Son spin.
Les autres caractéristiques :
-
Charge électrique
-
Charge baryonique
-
Charge leptonique
-
Charge muonique
-
Charge tauonique
-
Facteur gyromagnétique
et le fait que cette particule puisse correspondre au monde de la matière ou de l'antimatière ne sont pas « contenues » dans le groupe de Poincaré. Nous enrichirons le groupe ultérieurement pour les traiter.
Actuellement, le groupe ne « construit » pas les particules et les antiparticules. Mais, s'il est complété par ses deux sous-ensembles (les deux composantes orthochrones plus les deux composantes antichrones), il « construit » comme espèces distinctes des particules d'énergie positive et d'énergie négative.
...Si le groupe de Poincaré complet « gouverne » l'univers, alors les énergies positives et négatives pourraient coexister, de sorte que leur rencontre produise un phénomène d'annihilation complète. Si l'univers était rempli à 50 % de particules d'énergie positive et à 50 % de particules d'énergie négative, il y aurait un grand risque que tout l'univers s'annihilât lui-même, ne laissant rien :
-
Aucune particule d'énergie positive.
-
Aucune particule d'énergie négative – Aucun photon d'énergie positive
-
Aucun photon d'énergie négative.
Rien. Rien du tout. Quelle galère !
...Comme le suggère Souriau, Dieu, dans sa sagesse infinie, aurait créé uniquement des particules d'énergie positive et des photons d'énergie positive. De même, ses anges interdiraient l'usage des composantes antichrones du groupe de Poincaré, qui seraient rigoureusement enfermées quelque part.
...Nous réfléchirons à une autre possibilité dans une section ultérieure.
Index Théorie des Groupes Dynamiques
Version originale (anglais)
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Recall the components of the Poincaré's group :
E : energy
p : impulsion
f : passage
**l **: spin matrix.
To be close of Souriau's text, let us call
-
Ln the element of the neutral component Ln of the complete Lorentz group L.
-
Ls the element of the the one which inverses space.
-
Lt the element of the the one which inverses time.
-
Lst the element of the the one which inverses both space and time.
C being the space-time translation vector, we get the following components of the Poincaré's group :
gp ( Ln , C) element of the neutral component Gpn.
gp ( Ls , C) element of the component Gps , which inverses space.
gp ( Lt , C) element of the Gpt , which inverses time.
gp ( Lst , C) element of the Gpst , which inverses the two.
The coadjoint action is : (313)
P is the four-vector :
(314)
We have four characteristic matrixes : (315)
with **l **= ± 1 et m = ± 1 .
Ln = **L **( l = 1 ; m = 1)
Ls = **L **( l = - 1 ; m = 1)
Lt = **L **( l = 1 ; m = - 1)
Lst = **L **( l = - 1 ; m = - 1)
(316)
(317)
(318)
We are interested in C = 0 (319)
whence l' = l et f' = l m f
and : (320)
gp ( Ln , C) : I E --> E ; **p **--> p ; f ---> f ; l ----> l
gp ( Ls , C) : I E --> E ; **p **--> - p ; f ---> - f ; l ----> l
gp ( Lt , C) : I E --> - E ; **p **--> p ; f ---> - f ; l ----> l
gp ( Lst , C) : I E --> - E ; **p **--> - p ; f ---> f ; l ----> l
The inversions do not modify the spin matrix **l **.
*Oppositely, T-inversion and energy inversion are synonym *
E ---> -E ( we could call it a "E-symmetry" )
cThe spin s, as the modulus of the spin vector s, is only a number, unchanged by the action of all the components of the groups, whatever they are orthochron or antichron. *. * ...The rest energy of a particle is mc2. As we see the mass-inversion goes with the time-inversion. But space-inversion does not change the energy, nor the mass.
Souriau calls the two first connex components of the complete Poincaré's group :
Gpn , Gps
the orthochron components ( Gpn is the neutral component ).
And the two others : Gpt , Gpst
the antichron components. It arises the problem of negative masses. Do they exist ? If yes, what about the collision between particles with opposite masses and energies :
- mc2 and - mc2
...Notice it does not correspond to the so-called "annihilation" of a pair particle anti-particle. From the collision of these last we get radiative energy, photons. The result of the collision of a positive energy and a negative energy particles should be much more puzzling, for it should be zero : nothing.
...What's Nature, what are particles ? In this approach we start from a given group : the Poincaré's group. Then we build the action of this group on its momentum space. This momentum space is made of points. Each point is a movement of one of the geometrical objects which compose space associated to the group.
...In the following we will show that the Poincaré's group is unable to take in charge all the characteristics of the particles.
...The dimension of the Poincaré's group is 10.
Then the dimension of the momentum is also ten. (321) **J **= { E , p , **f **, l }
If we choose a system of coordinates linked to the particle f = 0 .
To sum up, the only charactristics whick arise naturally from the Poincaré group, as ure geoemtrical quantities, are :
For a zero mass particle:
- Its Energy - Its spin and helicity
For non zero mass particle :
- Its rest mass - Its spin.
The other characteristics :
-
Electric charge
-
Baryonic charge
-
Leptonic charge
-
Muonic charge
-
Tauonic charge
-
Gyromagnetic factor
and the fact that this particle could correspond to matter or anti-matters' world are not "contained" in the Poincarés' group. We will enrich the group further to deal with.
At the present time the group does not "build" particles and anti-particles. But, if completed by his two sub-sets ( the two orthochron components plus the two antiochron components ) it "builds" as distinct species, postive and negative energy particles.
...If the complete Poincaré's group "rules" the universe, then positive and negative energy may cohabit, so that meet and give full annihilation phenomenon. If the universe would be filled by 50 % of positive energy particles and 50 of negative energy particles there would we be a great risk that all the universe would self-annihilate so that nothing would stay :
-
No positive energy particles.
-
No negative energy particles - No positive energy photon
-
No negative energy photon.
Nothing. Nothing at all. What a drag !
...As suggested by Souriau, God, in his infinite wisdom, would have created only positive energy particles and positive energy photons. Similarly his angels would forbide the use of antichron components of the Poincaré's group, that would be kept severely jailed somewhere.
...We will think about another possibility in a future section.