gruplar ve fizik eşdönüşüm eylemi momentum
| 4 |
|---|
...Ayrıca, çocuğa sunulan sistemin kusurlu olmadığına dikkat çekelim. Bu sistem, oyunla birlikte satılan nesneler kullanıldığında düzgün çalışır. "Silindirler" bölümüne aynı yarıçaplı, fakat farklı uzunluktaki silindirlerin yanı sıra, kalemtraş, emzik, dolap anahtarı vb. nesnelerin de yerleştirilebileceğini not edelim...
...Mantıklı bir şekilde, bu gruplar öğrenimi yaşayan çocuk, bir dolap anahtarı ile bir silindirin aynı türden nesneler olduğunu çıkarabilir. Bu doğru, çünkü bu nesnelerin ortak özelliği "o delikten geçebilir" olmaktır.
...Bir zamanlar çok gençken kızım, bilgisayarımın okuyucu birimini giriş penceresi ve filtre olarak kullanarak gruplar üzerine oldukça ilginç deneyler yaptı. Bu süreci, tamamen sökülüp, devre dışı bırakıldıktan sonra yeniden kurmak zorunda kaldı, ancak bu süreç oldukça mantıklıydı. Şimdi hâlâ gruplara oldukça ilgi duyuyor. Ama bu gruplar benim için pek hoş değil.
...Şimdi bir önceki çocuğumuzun geri dönelim. Az bir süre sonra aynı çocuğa Galilei grubuyla tanıştıracağız, ona nesneler atıp yakalamasını öğreteceğiz. O zaman nesnelerin şekli artık önemli değil, önemli olan hareketleri. Grubumuz değişti. Bebeğin gözünde, yakalayabileceği kadar küçük olan nesne, kütlesinin merkezine eşdeğer hâle gelir. Bu, bir "kütle noktası" veya "madde noktası"dır. Galilei grubu, "madde noktalarının dinamiklerini" yönetir.
Sınıflandırma, hareket türlerine göre yapılır.
-
Bu, yakalayabilirim.
-
Bu, yakalayamam.
...Bebeğin, başlangıç koşullarını, konumu ve hız vektörünü görsel olarak değerlendirmesi gerekir. Bu sayede karşılaştığı hareket türünü tanımlayacak ve tahminde bulunacaktır.
...Büyürken belki tenis oynayabilir. Bu durumda yine Galilei grubunu kullanır. Bu grup, Öklid grubu gibi, bir kare matristir. Tenis topları ışık hızından çok daha düşük hızlarda hareket ettiği için, ona göre Poincaré grubunu (başka bir kare matris, bu sefer madde noktalarının göreli hareketlerini yöneten) kullanması gerekmez.
...Bu arada, Galilei grubu tarafından yönetilen madde noktaları, Öklid grubundaki noktalar değildir. Onlara özellikler (özellikler) eklenmiştir. Galilei grubunu kullanan matematiksel fizik uzmanı artık "madde noktalarından" değil, "hareketlerden" bahseder. Sınıflandırmaya çalıştığı şey, hareketlerdir. Burada, temel parçacık fiziklerinin temel bir yönüyle karşı karşıyayız: parçacıklara fenomenolojik bir tanımlama bağlamak istiyoruz:
Bana hareketlerin nasıl olduğunu söylersen, sana ne olduğunu söyleyeyim.
...Şimdi artık bir parçacığın "ne olduğu" değil, "nasıl davrandığı" sorusu önem kazanır. Böylece nötr parçacıklar, elektrik yükü taşıyan parçacıklarla aynı şekilde davranmazlar. Farklı türlerdedirler. Farklı özelliklere sahiptirler.
...Şimdi bir önceki bebeğimiz, yüksek enerji fizikçisi olarak, muhtemelen günlük olarak kabarcık odasında çekilen fotoğrafları inceleyecektir.
Kabarcık odasında alınmış fotoğraflar (Şem..) ...Soldaki fotoğraf: bir proton, bir nötron ve bir elektron odanın alanından geçer. Bu odanın düzlemine dik bir manyetik alan uygulanır. Nötron elektrik yükü olmadığı için etkilenmez. Doğru bir şekilde ilerler. Yükü olan parçacıklar farklı dairelerde dönerler (Larmor yarıçapı). Hafif elektronlar, yörünge yönüne dik manyetik alanda ağır protonlardan çok daha sert dönerler. Her ikisi de zıt yönlerde dönerler.
Manyetik alandaki hareketlerin topluluğu, şu gruba göre yönetilir:
Ama bu grup henüz yoktur. Eğer bulursanız, mutlu olacaklar.
...Her neyse, bu adam fotoğraflarını incelerken, farklı hareket topluluklarına ait yörüngeler fark eder.
-
Bu, doğrudan ilerler, bir nötrondur.
-
Bu, yavaşça sağa döner, bir proton.
-
Bu, sertçe sola döner, bir elektron.
...Sağdaki fotoğraf: aynı ışıma (noktalı çizgi) kaynağından doğan bir elektron ve bir pozitron, simetrik yörüngeler izler. Bu, zıt elektrik yükleri taşıdıklarını gösterir.
Türlerin davranışsal sınıflandırması, hareket toplulukları olarak.
Momentum.
...Bu saf geometrik nesne, bir özellikler topluluğu olarak düşünülebilir. Elektrik yükü taşıyan parçacıkları bir kenara bırakalım, ileride tekrar onlara döneceğiz. "Göreli madde noktası", matematikçi Jean-Marie Souriau'nun, matematiksel fizik alanında öncü bir figür olduğu, Poincaré grubuna bağlı olarak tanımlanan bir nesne olan bağlı momentum adı verilen bir nesneyle ilişkilendirilir.
Göreli madde noktasının özellikleri şunlardır:
-
Enerji E
-
İmpuls p - Dönme l (spin ile ilişkili)
-
Geçiş f
Bu yüzden "momentum" şu şekilde ifade edilir:
J = { E , p , l , f }
İlave not:
...Şimdi, bundan sonraki tüm işlemlerde, skaler nicelikleri ince harflerle, skaler olmayan nicelikleri (kare matrisler, satır matrisleri, sütun matrisleri) kalın harflerle göstereceğiz.
...Açıklama: Bu kalın ve ince harfleri kullanarak, satır-sütun matris çarpımlarını kolayca yapabiliriz. Örnek verelim. 2B Öklid grubu elemanının etkisi şu şekilde yazılır:
Şu tanımlamaları koyarsak:
Daha kompakt bir şekilde yazabiliriz:
g, artık bir matris olarak ortaya çıkar, bu matris altmatrislerden oluşur:
-
a, (2,2) boyutunda bir kare matristir.
-
c, (2,1) boyutunda bir sütun vektörüdür (dönüşüm vektörü).
-
0, (1,2) boyutunda bir satır vektörüdür:
Genel olarak kalın 0 lar, satır veya sütun vektörleri olarak kullanılabilir.
Bu durumda etki şöyle yazılır:
a r, a x r anlamına gelir (matris çarpımında çarpım işareti genellikle ihmal edilir).
Not sona erdi, momentum konusuna geri dönelim. Şimdi göreli madde noktası için momentumun ifadesine dönelim.
J = { E , p , l , f }
E bir skaler (enerji).
p, impuls vektörüdür.
l ve f (kalın harflerle yazılmış) başka vektörlerdir: (lx, ly, lz) ve (fx, fy, fz): "dönme" ve "geçiş".
...Bu alt-site olan Geometrical Physics B'de sunacağımız kişisel çalışmalarımızda, temel parçacıkların daha fazla "özellik"lerinin, daha zengin bir momentumun bileşenleri olarak ortaya çıkmasını amaçlıyoruz (yükler: elektrik, baryonik, leptonik, tauonik ve gyromanyetik katsayı).
...1970'lerde, Souriau, bir madde noktasının momentum bileşenlerini, onu yöneten grubun (göreli durumda Poincaré grubu) temelinde ortaya çıkarmak için bir yöntem geliştirmiştir. Bkz. Yapısal Dinamik Sistemler. Dunod 1973
Kesinlikle önerilen bir aspirin.
...Bu noktadan sonra, oldukça kapsamlı veya karmaşık bir matematiksel donanım olmadan ilerlemek zordur. Belki de daha sonra, site üzerinde, ilgilenenler varsa, "Gruplar hakkında her zaman merak ettiğiniz ama asla sormadığınız şeyleri" tarzında bir anlatım yapacağız.
