gruplar ve fizik eşdüzlem eylem momentum
| 6 |
|---|
Bargmann grubunun momentinin bileşenlerini yazmayacağız. Şematik olarak Bargmann grubunun momentini aşağıdaki gibi yazalım:
JB = { bir skaler m, diğer moment bileşenleriyle birlikte }
Eşdüzlem eylem, momentin farklı bileşenlerinin nasıl dönüştüğünü gösterir. Ancak bu eşdüzlem eylem, basit bir ilişkiyle başlar:
(63) m' = m
Bargmann grubunun moment üzerindeki eşdüzlem eylemi, kütleyi koruyarak başlar ve bu da kütleyi tamamen geometrik bir statüde ortaya çıkarır.
Poincaré grubunun moment uzayında eşdüzlem eyleminin inşası Jp**.**
Eğer zaten tamamen kafanız karıştıysa, bırakın. Bu normaldir ve sayfalar ilerledikçe giderek daha zorlaşacaktır. Bu noktada, bunun kimlere hitap ettiğini tam olarak bilemiyorum. Muhtemelen teorik fizikçiler veya matematikçiler için olacak, ama kesinlikle bir çatı ustası-çatı yapıcısı için değil. Ancak bir Yüksek Okul veya fizik lisans öğrencisi, tutunmaya karar verirse takip edebilir. Bunlar sadece matrislerdir.
Her şey, (4,4) boyutunda matrislerden oluşan Lorentz grubundan başlar; bu grubun elemanı L'dir.
Bu matrisler, bir G matrisi üzerinden aksiyomatik olarak tanımlanır:
(64)
şöyle ki:
(65) tL G L = G
burada L matrisinin transpozu kullanılır.
Bu L matrisleri bir grup oluşturur.
İspat.
Birim eleman L = 1'dir:
L1 ve L2, kümenin iki elemanı olsun. L1L2'nin grubun bir elemanı olup olmadığını kontrol edelim. Eğer öyleyse:
t( L1L2 ) G L1L2 = G
Ancak:
t( A B ) = t B t A
Bu yüzden:
t( L1L2 ) G L1L2 = tL2 tL1 G L1L2 = tL2 ( tL1 G L1) L2 = tL2G L2
Şimdi L matrisinin tersini hesaplayalım. L elemanlarının aksiyomatik tanımından başlıyoruz:
tL G L = G
Sağa L-1 ile çarpalım:
tL G L L-1 = G L-1
tL G = G L-1
Sola G ile çarpalım:
G tL G = G G L-1
G tL G = L-1
Bu yüzden L matrisinin tersi:
L-1 = G tL G
Yani:
(66)
uzay-zaman vektörü. G matrisi, Minkowski metriğinden gelir ve bu da (c = 1 alındığında) şöyle yazılabilir:
(67)
Alıştırma: Matrisin tersinin şu eşitliği sağladığını gösterin:
(68)
Şimdi bir uzay-zaman öteleme vektörü tanımlayalım:
(69)
Bu vektörden yola çıkarak Poincaré grubunun elemanı gp'yi oluşturuyoruz:
(70)
Alıştırma: Bu elemanların bir grup oluşturduğunu gösterin ve matris tersini hesaplayın:
(71)
Aşağıda, grubun "teğet vektörü", yani "Lie cebiri" elemanı yer alıyor:
(72)
Bundan yola çıkarak ters eylemi hesaplayacağız:
(73) dgp' = gp-1 x dgp x gp
Hesaplama kolaylığı açısından şunu gözlemleyelim:
(74) G d L
bir antisimetrik matristir. Buna şöyle diyelim:
(75)
bu yüzden:
(76)
Şunu tanımlayalım:
(77)
Bu verilerle ters eylemi oluşturacağız:
(78) dgp' = gp-1 x dgp x gp
Tüm hesaplamalar yapıldığında şu dönüşüm elde edilecektir:
(79)
Eğer bu basit matris hesaplamasını atlamak istiyorsanız, sayfanın altındaki denklem (80)'a geçin.
(79a)
(79b)
bundan, ters eylemin bileşenleri:
(79c)
ancak:
(79d)
bu yüzden:
(79e)
ancak GG = 1 olduğundan:
(79f)
bundan şu dönüşüm çıkar:
(79g)
Bu, aradığımız ters eylem, şu dönüşüm:
(80)
