gruplar ve fizik eşdönüşüm eylemi momentum
| 8 |
|---|
(91)
Bu eşdönüşüm eylemi matris biçiminde yazılabilir.
Poincaré grubunun matrisi:
(92)
transpozu ise:
(93)
Şu matrisi ele alalım:
(94)
Yani momentumu
(95) Jp = { M , P }
matris biçiminde yazacağız ve şu çarpımı oluşturacağız:
(96)
(97)
(98)
Bunu şu matrise eşdeğer olarak gösterebilirim:
(99)
Bu yüzden Jp, matris biçiminde ifade edilmiş Poincaré grubunun momentumudur. Eşdönüşüm eylemi şu şekilde yazılır:
(100)
Bir alıştırma olarak, okuyucu aksiyomlara dayanarak bunun gerçekten bir eylem olduğunu doğrulayabilir.
Poincaré grubunun momentumu şu şekilde açıkça ifade edilebilir:
(101)
Bu matris ters simetrik (bu da ana köşegeninin tüm elemanlarının sıfır olduğu anlamına gelir). M matrisi şu şekildedir:
(102)
Açıkça yazalım:
(103)
Bu gerçekten ters simetrik bir matristir, başlangıçta varsayılan özellik, altı parametreye bağlıdır:
(104)
( lx , ly , lz , fx , fy , fz )
Son üçü ( fx , fy , fz ), geçiş vektörü f olarak bilinen bir vektörün bileşenleridir:
(105)
İlk üçü ( lx , ly , lz ), (3,3) boyutlu ters simetrik bir matrisin bağımsız bileşenleridir, bu da dönmeler l olarak adlandırılır:
(106)
Böylece:
(107)
P vektörü dört boyutlu momentum-enerji vektörüdür:
(108)
Bu durumda Poincaré grubunun momentumu tam genel biçimde şu şekilde ifade edilebilir:
(109)
Bu nesnenin on bileşenli olduğunu doğrulayabiliriz (grubun boyutuyla aynı sayıda).
(110) Jp = { E , px , py , pz , fx , fy , fz , lx , ly , lz } = { E , **p , f , l **}