gruplar ve fizik eşdönüşüm eylemi momentum
| 9 |
|---|
Spinli parçacıklar.
Poincaré grubu, nokta bir cismin göreli hareketini tanımlar. Benzer şekilde, daha sonra verilecek ifadesiyle, Bargmann grubu, nokta bir cismin göreli olmayan hareketini tanımlar ve bu nedenle "nokta kütle" olarak adlandırılır.
Bu yüzden, grubun momentum uzayına eşdönüşüm eylemini hesaplamak, gizli olan unsurları, cismin özelliklerini ortaya çıkarmıştır: momentin bileşenleri.
Şaşırtıcı olan, bu yaklaşımın, Souriau'ya ait olmasıdır ve fizikçi için temel olan nesnelerin sadece geometrik nesneler olarak ortaya çıkmasını sağlamıştır. Bu yüzden, fiziksel dünyayı geometrik hale getirme açısından, bu, önceki hiçbir çalışma kadar ileri gitmemiştir.
Enerji ve momentum dışında kalan diğer bileşenler, "dönüşüm" ve "geçiş" fizikçi için oldukça karışık gelir. Peki bunlar ne anlama gelir?
Momentin bileşenlerinin ifadesi elbette seçilen koordinat sisteminin bir fonksiyonudur.
En basit yol, muhtemelen göreli olmayan duruma geri dönmek, yani Bargmann grubunun analizinden ortaya çıkan eşdönüşüm eyleminin ifadesine dönmektir.
(111)
Büyük bir gizemli formül. Ne işe yarar? Nasıl çalışır?
Yukarıdaki kutuda fizikçi bazı tanıdık nesneleri tanıyacaktır:
(112)
sadece hız vektörü { vx , vy , vz }'nin iki farklı ifadesidir: birincisi sütun matrisi, ikincisi satır matrisi biçimindedir. Bu iki matrisin çarpımı bir skalerdir:
(113)
biraz da kinetik enerjiye benzer bir şey.
m v bir momentumdur.
Geleneksel fizikçi, nokta bir cismin dinamiğiyle ilgilenirken sadece üç şeyi bilir:
- Kütle m
- Momentum m v
- Kinetik enerji 1/2 mv²
Evet ama, hız neye göre?
Bir grup, aynı zamanda bir görüş biçimidir. Bu yüzden, ya grubun yardımıyla nesneleri (Euclid grubuyla gördüğümüz gibi) sabit bir gözlemciye göre taşıyabiliriz, ya da cisim sabitken, onu başka bir şekilde gözlemleyebiliriz.
Dinamik gruplar (Euclid grubundan farklı olarak zamanın yer almadığı gruplar) açısından bu taşıma hareketini kabul edersek, aynı zamanda nesnelerin canlandırıldığını, yani hız v ve enerji E kazandırıldığını söylemeliyiz.
Diğer yönü seçersek: cismin sabit olduğunu kabul edip kendimizi hareket ettirmeyi düşünürsek, gruplara ne anlam veririz?
Euclid grubu şu anlama gelir:
"Başka bir yerden ve farklı bir açıdan bakılırsa."
"Başka bir yer" dönüşüm vektörü anlamına gelir:
(114)
"Başka bir açıdan bakılırsa" ise, a matrisi olan döndürme matrisidir; uzayda bir dönmeyi temsil eder (Euler açılarıyla açıklayabiliriz, ama bunu yapmayacağız).
Dinamik gruplar açısından, bu bakış açısı, "şeylere" ilişkin görüşümüzü zenginleştirmelidir. Bargmann grubunun bağlamında bu hız v'yi dahil etmek, gözlemcinin, başka bir yerde (dönüşüm vektörü c) ve farklı bir açıdan (döndürme matrisi a) gözlemlediği nokta kütleyi, aynı zamanda sabit kabul edilen bu nokta kütleye göre hız v ile hareket ederken de gözlemlediğini ifade eder.
Ve tamamlamak gerekirse, tüm bu karmaşıklığı artırmak için, parçacıkla aynı zamanda değil, bir zaman farkı Dt kadar gecikmeli olarak evrimleşir. Yani: başka bir yerde, ama bu başka yer hem uzay hem de zaman açısından değişmiştir; bu da şu uzay-zaman dönüşüm vektörüne karşılık gelir:
(115)
Bu nokta kütlesine bu kadar uzak bir bakış açısıyla baktığımızda ne gözlemliyoruz? İlk olarak: m' = m
Kütlesi değişmiyor.
Dönüşümü sıfırlayarak hayatı kolaylaştırabiliriz. Başka bir yerden, farklı bir zamanda, gecikmeli olarak, hız v ile hareket eden bir scooter üzerinde oturmuş bir şekilde bir nokta kütleyi gözlemek zaten yeterince karmaşık. Başka bir deyişle, boyunumu kıvırmak zorunda mı?
Hayır. a = 1 alalım.
Ancak genelde bu detay göz ardı edilir. Bu şekilde özel hâle getirilmiş eşdönüşüm eylemi şu hâli alır:
(117)
"Kabul etmek" kelimesi burada etimolojik anlamda alınmalıdır. Bir durumu, gökyüzünü, bir savaş alanını, bir istihbarat uçağı tarafından çekilen filmi nasıl gözlemlediğimizde ne yaparız?
Bir noter şöyle yazar:
- Durumun incelenmesi gerekmektedir...
Bu, Euclid grubuna karşılık gelen, statik bir görüntüdür. Noter nesneleri c mesafesinde, aynı anda (Dt = 0), temelde hareketsiz ( v = 0) gözlemlemektedir. İhtiyaç duyulursa, özel bir açıdan, "belirli bir açıdan" gözlemlemektedir.
Bir general, bir gözetleme uçağında dolaşırken, hareket eden bir noter gibi bir durumdadır ( v # 0).
Ama bir General Sekreter, bir istihbarat uçağı veya "drone" tarafından çekilen filmi izleyen biri, zaman içinde kaymalı bir durumla karşı karşıyadır. Kendi kendine şöyle demek zorundadır:
- Hedefi, belirli bir noktadan, eğik dönüşle, belirli bir hızda, ayrıca iki saat önceki halini göz önünde bulundurarak gözlemleyelim...
Hedefin özel bir hızı yoktur. Hedefi sabit kabul etmek mümkün değildir, hatta "sabit bir tesis" olsa bile. Hatta Dünya hareket eder, Güneş de, galaksi da vb.