Matematik geometri yüzey topoloji

Bir Cross Cap yüzeyini nasıl Boy yüzeyine (sağ veya sol, tercihe bağlı) dönüştürürüz

Steiner'in Romalı yüzeyi aracılığıyla.

İtalyanca: Andrea Sambusetti, Roma Üniversitesi

../../Crosscap_Boy1.htm

27 Eylül - 25 Ekim 2003

Sayfa 2

İşte bir "Cross Cap yüzeyi" (sanal gerçeklik görüntülerinde keşfettiğiniz gibi). Bu yüzey, bir kesişim hattının köşeleri olan iki kuspidal noktaya sahiptir. Bunu bir balonu bantlarla sıkıştırarak yapabilirsiniz. Ama aynı zamanda çokgen temsillerini de yapabilirsiniz. Aşağıdaki temsil özellikle ilgilendirecektir.

4. tabloda öğrenilmesi en zor şey yer alıyor. Bu nesneleri sadece resimleri izleyerek iyi anlamak imkânsız gibi geliyor bana. Model yapın. Kısaca, kuspidal nokta C2'yi yüzeyin "içine doğru" çekiyoruz (bu arada, elbette fark ettiğiniz gibi, Cross Cap yüzeyi tek yüzlüdür: dış ve iç yüzeyi yoktur, bu yüzden bu ifade anlamsızdır). Devam edildiğinde yüzey "kendini kesişmeye" zorlanır ve kesişim kümesi biraz yuvarlatılarak, 8 şeklinde bir eğriyle tamamlanır. Arada bir de T adlı üçlü bir nokta oluşur.

Bu yüzey çokgen hâline getirildiğinde daha anlaşılır hâle gelir ve aşağıda bazı unsurları büyüterek, bu nesneyi Steiner'in Romalı yüzeyine dönüştürmemiz gerektiğini gösteriyoruz (sanal gerçeklik simülasyonuna bakınız). Bu yüzeyin en basit çokgen hâli dört kübün birleştirilmesinden oluşur (burada sadece üçü görünmektedir).

5. tablo: Sol tarafta çokgen versiyon, sağ tarafta yuvarlak versiyon. Ok, "sıkıştıracağımız" noktadan geçer. Aşağıda, sıkıştırma işlemi başlıyor.

6. tablo: Sıkıştırma işlemi tamamlanır ve B adlı bir tekil nokta oluşur. Aslında, her iki taraftan da sıkıştırıldığı için (zaman kazanmak adına), iki tekil nokta S1 ve S1 oluşur, ardından iki kuspidal nokta oluşur. Bu aşamada, karton, makas ve yapıştırıcı olmadan kalmış olursunuz.

7. tablo: Sadece farklı kuspidal noktaları taşıdık. Eğer C2 "açıkça görünürse", C3 ve C4 noktalarını kuspidal olarak tanımlamakta zorlanabilirsiniz. Ama bunlar, bir kesişim hattının uçlarında yer alıyor. C3 noktasının üzerinde sadece "pozitif eğrilik noktası" dediğim şey var, yani pozitif eğrilik yoğunlaştığı bir nokta (negatif eğrilik yoğunlaştığı noktaya "negacono" diyoruz). Bu nesneyi biraz bükerek, Steiner'in Romalı yüzeyinin çokgen hâline ulaşırız (Steiner Roma'da icat etti; sanal gerçeklik gösterimine bakınız).

Yani iş tamam. Farklı kurallar uygulandığında farklı yüzeyler vardır. Kendi kendini kesmeyen yüzeyler "gömme" (küre veya torusun R3'e gömülmesi) olarak adlandırılır. Ama kendini keserlerse ve teğet düzlem sürekli değişir, bozulmazsa bunlara immersiyon denir. Örneğin: klasik temsilde Klein şişesi. R3'te Klein şişesinin bir gömme temsili yoktur; zorunlu olarak kendini keser. Immersiyonların kendini kesme kümeleri kuspidal noktaları içermeyen sürekli eğrilerdir. Bu kümeler sürekli eğrilerdir ama çift veya üçlü noktalarda kesişebilirler. Gözlem: Küre, kendini keserek bir immersiyon olarak gerçeklenebilir (bu bir gömme değildir). Aslında bu, kürenin ters çevrilmesi için kullanılan yöntemdir (A. Phillips, 1967 yöntemi; ana adım Boy yüzeyinin iki katlı örtüsüdür; ayrıca B. Morin ve J.P. Petit, 1979'da Morin'un "dört kulağlı" modelini temel alırlar; aşağıda, yaklaşık on yıl önce icat ettiğim çokgen temsili görülmektedir).

Bu nesnenin kağıt ve makasla montaj planı

Oyun kurallarını genişletip bu nesnelerin kuspidal noktaları da kabul edilmesini sağlarsak, summersion (Cross Cap, Steiner'in Romalı yüzeyi) elde ederiz. Summersion teriminin doğru olup olmadığından emin değilim ama bu konuda bana yardımcı olacak bir matematikçi bulamadığım için, geçici olarak bir terim icat etmenin eğlenceli olduğunu düşündüm, en azından bir uzman geometri uzmanı ortaya çıkmaya başlamadan. Bu şekilde, Cross Cap yüzeyi ve Steiner'in Romalı yüzeyi, "proyeksiyon düzlemi"nin iki farklı summersion'ıdır.

Söyleyeyim: Yirmi beş yıllık çalışma ve manyeto-hidrodinamik alanındaki hayal kırıklıklarımın ardından, bu çalışmaların askeri uygulamalardan en uzak olanlar olduğunu düşündüm. Ama eski arkadaşım Mihn bana, "summersion" teriminin kafa karıştırıcı olabileceğini ve Donanma'nın bu araştırmalarımın, denizaltı itiş gücü alanındaki ilerlemeleri saklamaya çalıştığımı düşünebileceğini hatırlattı.

Kuspidal nokta çiftlerinin "oluşturma-çözme" kuralı, bir nesnenin bir summersion'ından başka bir summersion'a geçiş sağlar ve biz de bunu hemen yapmış olduk. Bu sayede Cross Cap ve Steiner'in Romalı yüzeyinin aynı nesnenin, yani proyeksiyon düzlemi olarak bilinen nesnenin iki farklı summersion'ı olduğunu gösterdik. "Proyeksiyon düzlemi"ni hayal etmeye çalışmayın. Bu nesne, farklı temsiller aracılığıyla anlaşılabilir. "Proyeksiyon" terimi, matematikçilerin kendi kapalı dairesine girmek isteyenleri kandırmak için icat ettikleri milyonlarca terimden biridir. Zanichelli matematikte size hiçbir fayda sağlamaz.

Şimdi, proyeksiyon düzlemi için bir immersiyon olan Boy yüzeyine nasıl geçeceğimizi görmek gerekiyor.

Önceki sayfa Sonraki sayfa

Gerçekleşen bir Cross Cap'ın Boy yüzeyine dönüşümüne geri dön

Yeni Gelişmeler bölümüne geri dön Kılavuz bölümüne geri dön Ana sayfaya geri dön

25 Ekim 2003'ten beri ziyaretçi sayısı:

Resimler