Matematik geometri yüzeyler topoloji
Bir Cross Cap yüzeyini nasıl Boy yüzeyine (sağ veya sol, tercihe bağlı) dönüştürürüz
Steiner'in Romalı yüzeyi üzerinden geçerek.
İtalyanca: Andrea Sambusetti, Roma Üniversitesi
../../Crosscap_Boy1.htm
27 Eylül - 25 Ekim 2003
Sayfa 2
İşte bir "Cross Cap yüzeyi" (sanal gerçeklik görüntülerinde bu şekilde keşfetmiş olursunuz). Bu yüzey, bir kesişim hattının köşeleri olan iki kuspidal noktaya sahiptir. Baloncukları bantlarla tutarak oluşturabilirsiniz. Aynı zamanda polihedral temsillerini de yapabilirsiniz. Aşağıdaki temsil özellikle ilgilendirir bizi.
Tablo 4'te öğrenilmesi en zor olan şeyi bulacaksınız. Bu nesneleri sadece resimleri izleyerek iyi anlamak mümkün görünmüyor. Model yapın. Kısaca, kuspidal noktayı C2'yi yüzeyin "içine doğru" çekin (bu arada, bu ifade bir anlam ifade etmiyor çünkü, hemen fark ettiğiniz gibi, Cross Cap yüzeyi tek yüzlüdür: dış ve iç yüzeyi yoktur). Devam edildiğinde yüzey kendini "keser" ve kesişim kümesi biraz yuvarlaklaştırılarak, "8" şekline benzer bir eğriyle tamamlanır. Arada bir de T adlı üçlü bir nokta oluşur.
Yüzeyin polihedral hâli daha anlaşılır hâle gelir ve aşağıda bazı unsurları büyütmüş olduk. Bu nedenle, sanal gerçeklik simülasyonunda gördüğümüz Steiner'in Romalı yüzeyi gibi bir yapıya dönüşümü nasıl yapacağımızı göstereceğiz. En basit polihedral hâli dört küpün birleştirilmesinden oluşur (burada sadece üçü görülüyor).
Tablo 5: Sol tarafta polihedral versiyon, sağ tarafta yuvarlak versiyon. Ok, "sıkıştıracağımız" noktadan geçer. Aşağıda, sıkıştırma işlemi başlangıcı.
Tablo 6: Sıkıştırma işlemi tamamlanır ve B adlı tekil bir nokta oluşur. Aslında, her iki taraftan da sıkıştırıldığı için, iki tekil nokta S1 ve S1 oluşur, ardından iki kuspidal nokta oluşur. Bu noktada, karton, makas ve bant olmadan işiniz zor.
Tablo 7: Burada sadece farklı kuspidal noktaları hareket ettirdik. Eğer C2 noktası "açıkça görünürse", C3 ve C4 noktalarının kuspidal olduklarını belirlemek daha zor olur. Ancak bu noktalar bir kesişim hattının uçlarında, yani oradadır. C3 noktasının üzerinde sadece "pozitif eğrilik yoğunlaşması" dediğim bir yapı var (negatif eğrilik yoğunlaşması olan noktaya "negacono" diyoruz). Bu yapıyı biraz deforme ederek, Steiner'in Romalı yüzeyinin polihedral hâline ulaşırız (Steiner Roma'da icat etti; sanal gerçeklik gösterimine bakınız).
Yani iş tamam. Kurallar değiştiğinde farklı yüzey türleri ortaya çıkar. Kendini kesişmeyen yüzeyler "gömülme" (sfera veya torusun R3'te gömülmesi) olarak adlandırılır. Ancak kendi kendini kesişen ama teğet düzlemi sürekli değişmeyen ve bozulmayan yüzeyler immersiyon olarak adlandırılır. Örneğin: Klasik temsiliyle Klein şişesi. R3'te Klein şişesinin gömülme şeklinde bir temsili yoktur; zorunlu olarak kendini kesişir. Immersiyonların kendini kesişen kümeleri kuspidal noktaları içermez. Bu kümeler sürekli eğrilerdir, ancak çift veya üçlü noktalarda kesişebilirler. Gözlem: Küre, kendini kesiştirerek bir immersiyon olarak gerçeklenebilir (bu bir gömülme değildir). Aslında bu, kürenin ters çevrilmesi için kullanılan yöntemdir (A. Phillips, 1967 yöntemi; merkezi adımı Boy yüzeyinin iki katlı örtüsüdür; ayrıca B. Morin ve J.P. Petit, 1979, burada gördüğünüz, yaklaşık on yıl önce icat ettiğim polihedral temsili olan Morin'un "dört kulaklı" modelini temel alır).
Bu nesnenin kağıt ve makasla montaj planı
Eğer bu nesnelerin kuspidal noktaları da kabul edilecek şekilde oyun kuralları genişletilirse, summersion (Cross Cap, Steiner'in Romalı yüzeyi) elde edilir. Summersion teriminin doğru olup olmadığından emin değilim, ancak bununla ilgili açıklık getirecek bir matematikçi bulamadığım için, geçici olarak bir terim icat etmenin eğlenceli olduğunu düşündüm, en azından bir uzman geometri uzmanı ortaya çıkmaya başlayana kadar. Bu şekilde, Cross Cap yüzeyi ve Steiner'in Romalı yüzeyi "proyeksiyon düzlemi"nin iki farklı summersion'ı olur.
Şunu söyleyeyim: Yirmi beş yıllık faaliyet ve manyeto-hidrodinamik alanındaki hayal kırıklıklarımın ardından, bu çalışmaların askeri uygulamalardan en uzak olanları olduğu düşüncesiyle başlamıştım. Ama eski arkadaşım Mihn bana, "summersion" teriminin kafa karıştırıcı olabileceğini ve donanmaya, bu araştırmalarımın denizaltı itiş gücü konusundaki gelişmeleri gizlemeye çalıştığımı düşündürebileceğini hatırlatmıştı.
Kuspidal nokta çiftlerinin "oluşturma-çözme" kuralı, bir nesnenin bir summersion'ından başka bir summersion'ına geçişe imkan tanır ve biz de tam olarak bunu yaptık, Cross Cap ve Steiner'in Romalı yüzeyinin aynı nesnenin, yani proyeksiyon düzlemi olarak bilinen nesnenin iki farklı summersion'ı olduğunu gösterdik. "Proyeksiyon düzlemi"ni hayal etmeye çalışmayın. Bu nesne sadece farklı temsillerle anlaşılabilir. "Proyeksiyon" terimi, matematikçilerin kendi kapalı dairesine girmek isteyenleri kandırmak için icat ettikleri milyonlarca terimden biridir. Zanichelli matematikte size hiçbir fayda sağlamaz.
Şimdi, proyeksiyon düzlemi için bir immersiyon olan Boy yüzeyine nasıl geçeceğimizi görmek gerekiyor.
İşlem: Cross Cap'tan Boy'a Dönüşüm'ü Ana Sayfaya Dön
Yeni Gelişmeler Bölümüne Dön Kılavuz Bölümüne Dön Ana Sayfaya Dön
25 Ekim 2003'ten itibaren ziyaretçi sayısı:
Resimler
