Come trasformare una superficie Cross Cap
in una superficie di Boy (destra o sinistra, a scelta)
passando per la superficie romana di Steiner.
Italiano
: Andrea Sambusetti, università di Roma
**27 settembre
- 25 ottobre 2003**
pagina 4
Presentiamo il modello ancora da un
altro punto di vista :
Tavola 14 : ripetiamo sempre la stessa
operazione creando il terzo "orecchio" della curva di autointersezione.
Nel modello poliedrico, quest'ultima ha la forma di tre quadrati con un vertice
in comune : il punto triplo T .
Tavola 15 : ruotando l'oggetto ritroverete
la versione poliedrica della superficie di Boy che avevo presentato nel Topologicon
(dove potete trovare anche un piano di montaggio che permette di costruirla).
Ultima tavola : ho cercato di illustrare
la superficie di Steiner mentre si contorce e si trasforma in superficie di
Boy.
Vediamo che, disegnata in "rotondetto",
ci vuole un bel po' di pratica per capirla. Il nostro occhio � molto a disagio
quando si tratta di comprendere un oggetto per il quale, su una stessa linea
visuale, si sovrappongono pi� di due falde. Da qui l'interesse del modello
poliedrico, che mette alla portata di chiunque, se solo se si tenta di costruire
da soli i modellini, delle trasformazioni considerate complicate in geometria.
Notiamo per inciso che, a seconda delle coppie di punti cuspidali scelte,
si ottiene un superficie di Boy "destra" o "sinistra"
(definizioni completamente arbitrarie). Il piano proiettivo si immerge nello
spazio tramite due rappresentazioni "antiautomorfe" speculari. Vediamo
quindi anche che si pu� passare da una superficie di Boy destra ad una superficie
di Boy sinistra attraverso un modello "centrale" che � la superficie
romana di Steiner.
Sarebbe senza dubbio carino se questi
disegni fossero pubblicati in riviste come Pour la Science o La Recherche.
Ma da vent'anni mi � “proibita” la pubblicazione su queste riviste
a causa di deviazionismo ufologico. Grazie, signori Herv� This e Philippe
Boulanger. Ho perso il conto degli articoli di questo genere che ho proposto
a queste riviste e che mi sono state gentilmente rifiutate. Si finisce coll'abituarsi
al proprio statuto di scomunicato.
A titolo aneddotico, esiste un "premio
d'Alembert" destinato a ricompensare gli autori di libri di divulgazione
matematica. La storia mi � stata raccontata da un membro della commissione
incaricata di decidere a chi doveva essere attribuito il premio (ci sono comunque
questioni di soldi dietro). Dialogo :
-
Insomma, perch� non diamo il premio a Petit? Ha scritto delle opere notevoli
come il "G�om�tricon", il "Trou Noir" ed il "Topologicon". -
S�, ma non ha fatto solo quello.
-
A cosa alludete?
-
Ha anche scritto il "Mur du Silence".
-
Ah, beh, allora....
Ebbene s�, il "Mur du Silence",
pubblicato nell'1983, � un album dedicato alla MHD. E, come ognuno di noi
sa, questa scienza corrosiva ha come pregio, o difetto, di consentire ai dischi volanti di muoversi
a velocit� supersonica senza fare Bang.
� Cachez cette science, que je ne saurais voir �
Ho nelle mie scatole una versione magnifica
del "rovesciamento del cubo", che non � la versione poliedrica della
variante di Morin. Tutta farina del mio sacco. Uno di questi giorni....
22 ottobre 2003 : Non ci si affanna troppo su queste pagine, se devo
credere al contatore. Luned� 13 ottobre 2003 ho fatto un seminario al CMI
(Centro di Matematica ed Informatica di Ch�teau-Gombert-Marseille) su invito
di Trotman. In quell'occasione ho potuto tirar fuori una collezione di una
trentina di modelli in cartone, di cui un giorno potrete gustare la primizia,
poich� sono stati fotografati da Christophe Tardy.
Quando si d� un seminario,
si crea una certa atmosfera. Nella foto qui sotto, ecco un geometra che esprime
la sua perplessit�.
Sullo sfondo, una parte dei modellini
esposti con l'aiuto del mio collaboratore di lunga data, Boris Kolev, membro
del dipartimento, anche lui geometra. Ad un certo momento ho posto la domanda
:
- Quanti di voi hanno gi� visto una superficie romana di Steiner? Alzate
la mano.
Nessuno l'aveva mai vista. Mi � sembrato
quindi utile presentare quest'oggetto, con un programma di realt� virtuale,
sul portatile che avevo con me, programma realizzato con l'aiuto di Christophe
Tardy, ingegnere, e di Fr�d�ric Descamp, dell'Istituto Laue Langevin di Grenoble
(ILL). Palesemente questa presentazione sconcerta il pubblico, poco abituato
a vedere le superfici matematiche fare giravolte a piacere.
Due tavole di cartone, visibili in
primo piano, hanno permesso di presentare tutta la successione di modellini
nel loro ordine logico. Imodelli in verde e giallo illustrano, in forma poliedrica,
lo strumento essenziale di creazione-scioglimento di una coppia di punti cuspidali.
L'oggetto bianco pi� distante � una versione poliedrica della superficie Cross
Cap, che si trasforma prima in versione poliedrica della superficie romana
di Steiner, quindi, un metro pi� in l�, a piacere, in superficie di Boy "destra"
o "sinistra".
L'analisi dei modellini fa emergere
varie osservazioni nel pubblico. Uno dei geometri domanda :
- Se � vero che, seguendo i modellini in quest'ordine, si pu� passare
dalla superficie Cross Cap a quella di Boy, sembra che, seguendo il procedimento
opposto, si possa trasformare una superficie di Boy in una Cross Cap.
Rispondo affermativamente. Imbaldanzito,
il mio interlocutore aggiunge :
- Allora, se arrivati allo stadio superficie romana di Steiner ci si ferma,
dovrebbe essere possibile ritornare ad una superficie di Boy, ma riflessa
rispetto a quella iniziale.
Acconsento una seconda volta. Ma, purtroppo,
nessuno si proporr� per dare qualche chiarimento su questo strano mondo in
cui si permette alle immersioni delle superfici chiuse di avere dei punti
cuspidali, creati o sciolti a coppie, il cui insieme costituisce una specie
di estensione del mondo delle immersioni. Il termine "summersione"
mi sembra conveniente. Se un lettore � capace di dare qualche chiarimento,
� il benvenuto.
Curvatura concentrata in un punto cuspidale.
La calcoleremo sommando gli angoli
al vertice e paragonando questa somma al risultato che si ottiene nel caso
del piano euclideo : 2 p .
In alto a sinistra potete vedere una
delle molte possibili rapresentazioni poliedriche di un punto cuspidale. "Smontando"
la superficie si giunge ad una somma di angoli che supera il valore 2p
di 2a . Se ne deduce che la curvatura angolare concentrata
intorno a questo punto C � - 2a. Se
l'angolo a � uguale a p/2 allora la curvatura negativa vale -p (figura in basso a sinistra). In effetti,
a curvatura di un punto cuspidale pu� assumere infiniti valori. In basso a
destra accentuiamo la somma angolare e la curvatura diventa allora < -p (abbiamo aumentato la curvatura negativa).
Operando in modo inverso, possiamo
giungere ad una situazione abbastanza sorprendente: possiamo fare in modo
che la curvatura (angolare) concentrata in Csia ... nulla :
Partiamo ora da una rappresentazione
poliedrica della superficie Cross Cap in cui figurano due punti cuspidali
ognuno dei quali di curvatura uguale a -p
:
In questa figura ci sono otto "posiconi"
corrispondenti di valore + p/2. Aggiungiamo
quattro altri "posiconi" di curvatura + p/4 e quattro "negaconi" di curvatura
- p/4.
Pi� i due punti cuspidali di curvatura
- p .
Totale : 2 p
Dividendo il valore di questa "curvatura
totale" per 2p ritroviamo il
valore della caratteristica di Eulero-Poincar� di qualsiasi rappresentazione
del piano proiettivo (o della superficie di Boy).
Nel corso della conferenza ho evocato
l'arte e il modo di permutare i due punti cuspidali di una superficie Cross
Cap utilizzando il rovesciamento della sfera. Non so pi� se ho messo questa
cosa da qualche parte sul mio sito. E' un tale garbuglio. Bisogner� che cerchi,
senn� lo aggiunger�. E' divertente. Fatto sta che questa operazione non piacque
affatto ad una delle persone presenti al seminario:
- Non vedo perch� Petit faccia uso di tanto armamentario per dimostrare la
simmetria che unisce i due punti cuspidali di una Cross Cap. Si pu� fare molto
pi� semplicemente.
Efece alla lavagna il disegno di una
sfera schiacciata tra due righelli che si toccano e che d� effettivamente
un insieme di autointersezione sotto forma di un segmento ai cui estremi si
trovano due punti cuspidali, come la superficie Cross Cap. Sfortunatamente,
e il signore i questione se ne accorse, questa non � la superficie Cross Cap.
- Diavolo, ma che cos'� allora? Domand� qualcuno.
E' semplicemente l'immersione di una
sfera, con due punti cuspidali. Se li si fa confluire verso un unico punto
si ottiene una linea di autointersezione che diventa un cerchio. Esi ottiene
(in basso a destra) un'immersione della sfera che ci resta solo da trasformare
nel suo embedding standard. Possiamo anche dare una rappresentazione poliedrica
di questa superficie :
Si tratta di una superficie bilatera
la cui curvatura totale � 2p.
Insomma, ci di pu� divertire parecchio
con queste "summersioni". Consideriamo un'immersione di un toro
ottenuta facendo girare il simbolo di "infinito" attorno ad un asse
:
La tecnica del fare confluire dei punti
cuspidali in un unico punto ci permette di arrivare rapidamente all'embedding
standard del toro, come spiegato sopra nei disegni in successione.
Ma le cose non risultano sempre cos�
facili ed evidenti. Prendiamo per esempio una sfera schiacciata tra due segmenti
che, questa volta, sono pi� corti del diametro. Otteniamo ancora due punti
cuspidali.
Poich� questa superficie contiene un
nastro di Moebius, � unilatera. Abbiamo messo accanto una sua rappresentazione
poliedrica che consente di calcolarne la curvatura totale. Troviamo allora
zero. Se non mi sbaglio, dovrebbe allora essere una bottiglia di Klein. Di
essa generalmente si conosce solo l'immersione classica, in cui la linea di
autointersezione � un semplice cerchio. Ma ce ne sono altre, come questa qui.
Confesso che non ho ancora trovato il modo di trasformarla in un'usuale bottiglia
di Klein. D'altra parte, non so neppure se questa "immersione" e
quella classica stiano nella stessa classe di omotopia (per la sfera, per
esempio, ce n'e' una sola).A priori, non � detto: il toro infatti pu� essere
immerso in quattro modi differenti nello spazio tridimensionale, che non possono
essere trasformati l'uno nell'altro tramite un'omotopia regolare. In attesa
di scoprire se sia possibile o meno in questo caso, mi sono divertito a trasformarla
creando due punti cuspidali in pi�, ottenendo cos� due Cross Cap collegate
da un tubo. Scomponendole, si ritrova che la caratteristica di Eulero-Poincar�
fa zero.
Questa strana superficie dovrebbe trasformarsi
in una delle 4 possibili immersioni della bottiglia di Klein, ma quale? In
ogni caso, eccone qui una ottenuta facendo ruotare un 8 attorno ad un asse,
mentre lui stesso esegue nel frattempo un mezzo giro su se stesso :
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