Kreis kapıdan Boy yüzeyine, Steiner Romen yüzeyi aracılığıyla dönüşüm
Kreis kapıyı, isteğe bağlı sağ veya sol Boy yüzeyine Steiner Romen yüzeyi aracılığıyla nasıl dönüştürebiliriz?
27 Eylül 2003
Sayfa 4
Şimdi modeli başka bir açıdan sunuyoruz:
Plaka 14: Aynı işlemi, kesişme eğrisinin üçüncü "kulak"ını oluşturarak yeniden uyguluyoruz. Poliedrik versiyonunda bu üç ortak köşesi olan üç kareden oluşuyor: üçlü nokta T.
Plaka 15: Nesneyi döndürdüğünüzde, Topologicon'da (burada yapımını sağlayan bir kesim bulunuyor) tanıttığım ve başlattığım poliedrik Boy yüzeyini bulursunuz.
Son plaka: Steiner yüzeyini (Boy yüzeyinin altıncı derecedenken, Steiner'in dördüncü dereceden olduğu) büklümeyi ve Boy yüzeyine dönüşümünü göstermeye çalıştım.
Gördüğünüz gibi, "dönerken" nesneyi anlamak için oldukça alışkanlık gerekir. Gözümüz, aynı görünüş hattında iki'nin üzerinde kaplamaların üst üste bindiği bir nesneyi anlamaya çalışırken çok rahatsız olur. Bu yüzden poliedrik versiyonun önemini anlıyoruz; çünkü bu, geometride karmaşık görünen dönüşümleri, insanlar kendi modellerini inşa etmeye gayret ederken, herkesin ulaşabileceği hale getirir. Arada bir de, seçilen kuspidal nokta çiftlerine göre sağ veya sol Boy yüzeyi elde edildiğini fark ediyoruz (tamamen rastgele terimler). Düzlem projeği, iki "enantiomorf" temsile sahip, birbirinin aynasıdır. Sağ Boy yüzeyinden sol Boy yüzeyine geçmenin, Steiner Romen yüzeyi olan "merkezi" bir model aracılığıyla mümkün olduğunu görüyoruz.
Böyle çizimlerin, Pour la Science veya La Recherche gibi dergilerde yayımlanması muhtemelen hoş olurdu. Ancak son 20 yıldır, OVNİlerle ilgili sapık görüşlerim nedeniyle bu dergilerde yayın yapmama yasaklanmışım. Saygılarımla, Hervé This ve Philippe Boulanger. Bu dergilere gönderdiğim bu tür makalelerin sayısını sayamam; hepsi nazikçe geri döndü. Sonunda kendi durumumuzun bir dışlanma olduğunu kabul etmeye başlıyoruz.
Anekdotik bir şekilde, Fransa'da matematik popülerleştirme kitapları için "Alembert Ödülü" adında bir ödül var. Hikâyeyi, ödülü kimin alacağına karar veren bir komisyon üyesi anlattı (elbette bir miktar para da var). Diyalog:
-
Ama yani, Petit'e ödül verilemez mi? Geometrikon, Kara Delik ve Topologicon gibi dikkat çekici eserler verdi.
-
Evet ama sadece bu albümleri yapmadı.
-
Ne demek istiyorsun?
-
Ayrıca "Sessizlik Duvarı" adlı kitabı da yazdı.
-
Ah, o zaman...
Evet, 1983'te çıkan Sessizlik Duvarı, MHD'ye (Müthiş Hareket Dinamikleri) adanmış bir albümdür. Ve herkes bildiği gibi, bu tartışmalı bilim, uçan tepelerin süpersonik hızla hareket etmesini sağlar, "Bang" yapmadan.
Bu bilimi gizle, ben göremem
Kartondaki bir "kubun ters çevirme" versiyonum var, muhteşem bir merkez modeliyle birlikte, Morin'un varyantının poliedrik versiyonu değil. Tümü benim kendi eserim. Bir gün...
22 Ekim 2003: Sayfalarımda bir kalabalık yok, sayaçtaki rakama göre. 13 Ekim 2003'te CMI (Marsilya-Çâteau-Gombert Matematik ve Bilgisayar Merkezi) tarafından davet edilerek bir seminer verdim. Bu fırsatı değerlendirerek, Christophe Tardy tarafından fotoğraflanmış, yaklaşık otuz adet karton modelin bir koleksiyonunu sergiledim.
Bir seminer verildiğinde, bir hava oluşur. Aşağıdaki fotoğrafta, bir geometri uzmanının tereddütünü ifade ettiği görülüyor.
Arka planda sergilenen modellerin bir kısmı görülüyor. Bir anda şu soruyu sordum:
*- Bu Steiner Romen yüzeyini daha önce kim gördü? El kaldırsın. *
Hiç kimse görmedi. Bu yüzden nesneyi, gerçek hayatta olmayan bir şekilde, getirdiğim dizüstü bilgisayarda sunmam gerekli görüldü; bu nesne Christophe Tardy, mühendis ve Grenoble'daki Laue Langevin Enstitüsü'nden Frédéric Descamp'ın katkılarıyla oluşturuldu. Açıkça, bu sunum, matematiksel yüzeylerin istedikleri gibi döndüğünü görenlere alışkın olmayan katılımcıları şaşırttı.
Ön plana alınan iki karton levha, modellerin mantıklı sırayla sunulmasını sağladı. "Yeşil ve sarı" modeller, kuspidal nokta çiftlerinin yaratılış- yok oluş aracı olarak poliedrik olarak nasıl kullanıldığını gösteriyor. En uzak, beyaz nesne, kuspidal noktaları olan bir Cross Cap'ın poliedrik versiyonudur; önce Steiner Romen yüzeyinin poliedrik versiyonuna, bir metre ileride, sonra isteğe bağlı olarak sağ veya sol Boy yüzeyine dönüşür.
Modellerin analizi, katılımcılar arasında farklı yorumlar doğurdu. Bir geometri uzmanı sordu:
*- Eğer bu modeli bu yönde takip edersek, Cross Cap'tan Boy'a geçebiliriz. O zaman tersi yaparsak, Boy'u Cross Cap'a dönüştürebilir miyiz? *
Cevabım evet oldu. Cesaretlenen konuşmacı şöyle devam etti:
*- Eğer Steiner Romen yüzeyine kadar gelirsek durursak, sonra aynalı bir Boy yüzeyine dönebiliriz. *
Bir kez daha onayladım. Ama ne yazık ki, bu garip dünyada kapalı yüzeylerin kuspidal noktalarla donatılmış, bu noktaların çiftler halinde yaratılıp yok edildiği, bu da bir tür gömülmüş immersiyonların genişlemesini oluşturan bir durum hakkında açıklama yapacak kimse çıkmadı. Bu durum için "submersiyon" kelimesi daha uygun görünüyor. Eğer bir okuyucu bu konuda bilgi bulursa, memnuniyetle karşılanacaktır.
Kuspidal bir noktada yoğunlaşan eğrilik
Kuspidal noktada açıların toplamını hesaplayıp bu toplamı Öklid toplamı olan 2π ile karşılaştırarak hesaplanır:
Sol üstte, kuspidal noktanın çoklu poliedrik temsillerinden biri gösterilmiştir. Nesnenin "açılımı" (sağda) sonucunda, Öklid toplamı 2π'yi aşan bir toplam elde edilir; bu toplam 2α kadar fazladır. Bu nedenle, bu nokta C civarında yoğunlaşan açısal eğrilik -2α'dır. Eğer α açısı π/2 ise, negatif eğrilik c'ye eşit olur (sağ altta). Aslında, bir kuspidal noktada yoğunlaşan eğrilik sonsuz sayıda değer alabilir. Sağ altta açısal toplam daha da artırılmış ve eğrilik 2α'dan küçük olacak şekilde ayarlanmıştır. Negatif eğrilik daha da artırılmıştır.
Ters yönde işlem yapmak, oldukça şaşırtıcı bir duruma yol açabilir: C noktasında yoğunlaşan (açısal) eğrilik ... sıfır olacak şekilde ayarlanabilir:
Şimdi, her biri -π'ye eşit negatif eğrilik taşıyan iki kuspidal noktaya sahip bir Cross Cap'ın poliedrik temsiline başlayabiliriz:
+π/2 değerine karşılık gelen sekiz "pozitif nokta" var. Dört adet +π/4 eğrilikli başka "pozitif nokta" ve dört adet -π/4 eğrilikli "negatif nokta" ekleyelim.
Ayrıca iki kuspidal nokta da -π eğrilikli.
Toplam: 2π
Bu toplam eğrilik 2π'ye bölünürse, Boy yüzeyi gibi tüm düzlem projeği temsillerinin Euler-Poincaré karakteristiği elde edilir.
Seminerim sırasında, küre dönüşümünü kullanarak bir Cross Cap'ın iki kuspidal noktasının yerini değiştirmenin sanatını anlattım. Bu konuyu web sitimde belki de bir yerde yayınladım. Ne yazık ki, bir karışıklık var. Bir gün bulmam gerekecek, yoksa bir yerde yayınlayacağım. Bu oldukça eğlenceli. Ancak bu sunum, seminer sırasında bir katılımcı tarafından pek beğenilmedi.
- Petit, bir Cross Cap'ın iki kuspidal noktası arasındaki simetriyi kanıtlamak için bu kadar karmaşık bir araç kullanıyor. Bu çok daha basit olabilir.
Ve tahtaya, iki çubukla sıkıştırılmış bir küre resmi çizdi; bu çubuklar birbirine bağlanarak, Cross Cap'ın aynısı olan, iki kuspidal nokta ile sınırlanmış bir çizgi şeklinde kesişme oluşturdu. Ne yazık ki, ve adam bunu fark etti, bu bir Cross Cap değil.
- Tanrım, o zaman ne oluyor? Birisi sordu.
Basitçe, iki kuspidal noktaya sahip bir küre. Bu noktalar birbirine yaklaştırılırsa, kesişme hattı basit bir çembere dönüşür. Aşağıda ve solda (kesit olarak) bir kürenin, daha sonra gömülmüş hâline dönüştürülebilecek bir immersiyonu elde ederiz. Ayrıca bu yüzeyin poliedrik bir temsiline de geçebiliriz:
Bu yüzey iki yüzlüdür ve eğrilik 2π'dir.
Bu tür "submersiyonlar" üzerinde oldukça eğlence yapabiliriz. Örneğin, sonsuz işareti veya bir "8" şekli bir ekseni etrafında döndürülerek bir torusun immersiyonunu oluşturabiliriz.
Kuspidal noktaların birleşmesi tekniği, çizimlerin devamında gösterildiği gibi, standart torus gömülmesine çok hızlı bir şekilde ulaşmamızı sağlar.
Ancak bazen bu kadar kolay ve açık olmaz. Örneğin, iki parçanın uzunluğu çapından daha kısa olan iki çizgi arasında sıkıştırılmış bir küre alalım. Yine iki kuspidal nokta elde ederiz.
Bu yüzeyin bir Möbius bantını içine alabileceğini görebiliriz; bu yüzden tek yüzlüdür. Poliedrik temsili gösterilmiştir ve toplam eğrilik hesaplanabilir. Sonuç sıfır çıkar. Yanılgımsa, bu bir Klein şişesi olur. Genellikle, kesişme hattı bir basit çember olan en klasik immersiyonu biliriz. Ama bunun dışındakiler de vardır, örneğin bu. Şunu itiraf etmeliyim ki, yukarıdaki nesneyi bir Klein şişesinin immersiyonuna nasıl dönüştürebileceğimi henüz bulamadım. Ayrıca, farklı immersiyonların aynı homotopi grubuna ait olup olmadığına dair bilgiye sahip değilim (küre için sadece bir tane var). Önceden, torusun dört farklı şekilde immersiyonu olabileceği ve bunların düzenli bir homotopi ile birbirine bağlanamayacağı düşünülüyor. Beklerken, bu yüzeyi iki ek kuspidal nokta oluşturarak değiştirdim ve iki Cross Cap'ın bir tüp ile birbirine bağlandığı bir yapı elde ettim. Bu yapıyı keserek Euler-Poincaré karakteristiğinin sıfıra eşit olduğunu tekrar buldum.
Bu "garip yüzey", muhtemelen bir Klein şişesinin bir immersiyonuna dönüşebilir. Ama hangisine? Her neyse, "8" şekli bir ekseni etrafında döndürülürken, ek olarak yarım tur atılarak elde edilen bir örnek:
Ana başlığa dön: "Cross Cap'tan Boy'a Dönüşüm"
İçindekiler'e dön Ana sayfaya dön
6 Ekim 2003'ten beri görüntülenme sayısı: