Kreis kapıdan Boy yüzeyine dönüşüm, Steiner Romen yüzeyi aracılığıyla
Kreis kapıyı, isteğe bağlı sağ veya sol Boy yüzeyine, Steiner Romen yüzeyi üzerinden nasıl dönüştürebiliriz?
27 Eylül 2003
Sayfa 4
Şimdi modeli başka bir açıdan sunuyoruz:
Plaka 14: Aynı işlemi, kesişim eğrisinin üçüncü "kulak"ını oluşturarak tekrarlıyoruz. Poliedrik halde bu, ortak bir köşesi olan üç karenin şeklindedir: üç katlı nokta T.
Plaka 15: Nesneyi döndürdüğünüzde, Topologicon'da (burada yapımını sağlayan bir kesim de bulunuyor) tanıttığım ve başlattığım poliedrik Boy yüzeyini bulacaksınız.
Son plaka: Steiner yüzeyini (Boy yüzeyinin altıncı derecedenken, bu dördüncü dereceden) kıvırmaya ve Boy yüzeyine dönüşmeye çalışıyorum.
"Yuvarlak" bir şekilde, nesneyi anlamak için oldukça alışkanlık gerektirdiğini görüyorsunuz. Gözümüz, aynı görünüş çizgisi üzerinde iki'nin üzerinde kaplamaların üst üste gelmesi durumunda nesneyi anlamakta oldukça rahatsız hisseder. Bu yüzden poliedrik modelin önemi ortaya çıkar; çünkü insanlara, kendi elleriyle modelleri inşa etme çabasında, geometride sofistike olarak kabul edilen dönüşümleri erişilebilir hâle getirir. Arada şunu da fark ediyoruz: seçilen kuspidal nokta çiftlerine göre, sağ veya sol Boy yüzeyi elde ediyoruz (tamamen rastgele terimler). Düzlem projeği, iki "enantiomorf" temsile göre yansıtılmaktadır. Sağ Boy yüzeyinden sol Boy yüzeyine geçişin, Steiner Romen yüzeyi olan merkezi bir model aracılığıyla mümkün olduğunu görüyorsunuz.
Böyle resimlerin, Pour la Science ya da La Recherche gibi dergilerde yayımlanması muhtemelen hoş olurdu. Ancak son yirmi yıldır, UFO izleyiciliğiyle ilgili "sapkınlık" nedeniyle bu dergilerde yayın yapmama yasaklanmışım. Saygılarımla, Hervé This ve Philippe Boulanger'ın. Bu dergilere gönderdiğim bu tür makalelerin sayısını sayamıyorum; hepsi nazikçe geri döndürüldü. Sonunda kendi durumumuzun bir dışlanma olduğunu kabul etmeye başladık.
Anekdotik bir şekilde, Fransa'da matematik popülerleştirme kitaplarının yazarlarını ödüllendirmek amacıyla "Alembert Ödülü" vardır. Bu hikâyeyi, ödülün kimlere verileceğini belirleyen komisyon üyesi biri tarafından anlattı (elbette bir miktar para da var). Diyalog:
-
Ama yine de, Petit'e ödül verilemez mi? Géométricon, Karanlık Delik ve Topologicon gibi dikkat çekici eserler verdi.
-
Evet, ama sadece bu albümleri yapmadı.
-
Ne demek istiyorsun?
-
Ayrıca "Sessizlik Duvarı" adlı kitabı da yazdı.
-
Ah, bu durumda...
Evet, 1983'te çıkan Sessizlik Duvarı, MHD'ye (Magnetohidrodinamik) adanmış bir albümdür. Ve herkesin bildiği gibi, bu tartışmalı bilim, uçan tepelerin süpersonik hızla hareket etmesini, "Bang" yapmadan sağlayabilme özelliğine sahiptir.
Bu bilimi saklayın, ben göremem
Kartondaki bir "kubun ters çevirme" versiyonum var, merkezi modeli çok güzel, Morin varyantının poliedrik versiyonu değil. Tümü kendi icadım. Bir gün bunu göreceksiniz.....
22 Ekim 2003: Sayfalarımda bir kalabalık olmadığını, sayacın gösterdiği rakama göre anlıyorum. 13 Ekim 2003'te, Château-Gombert-Marseille Matematik ve Bilgisayar Merkezi'nde (CMI) Trotman'ın davetiyle bir seminer verdim. Bu fırsatı değerlendirerek, Christophe Tardy tarafından fotoğraflanmış, yaklaşık otuz adet karton modelimden bir koleksiyon sergiledim.
Bir seminer verildiğinde, etrafında bir atmosfer oluşur. Aşağıdaki fotoğrafta, kendi belirsizliğini ifade eden bir geometri uzmanı var.
Arka planda sergilenen modellerin bir kısmı görülüyor. Bir anda şu soruyu sordum:
*- Bu Steiner Romen yüzeyini daha önce kim gördü? El kaldırsın. *
Hiç kimse görmedi. Bu yüzden nesneyi, kendi getirdiğim dizüstü bilgisayarda, gerçek hayatta olmayan bir şekilde sunmam gerekiyordu. Bu çalışma, Christophe Tardy (mühendis) ve Grenoble'deki Laue Langevin Enstitüsü'nden Frédéric Descamp'ın katkılarıyla yapıldı. Açıkça, bu sunum, matematiksel yüzeylerin istedikleri gibi döndüğünü gören, bu tür bir şeyden uzak olan izleyicileri şaşırttı.
Ön planda görünen iki karton levha, modellerin mantıklı sırayla sunulmasını sağladı. "Yeşil ve sarı" modeller, kuspidal nokta çiftlerinin yaratım- yok edim aracı olarak poliedrik olarak temsil edilmiştir. En uzak, beyaz nesne, kuspidal noktaları olan bir Kreis Kap'ın poliedrik versiyonudur; önce Steiner Romen yüzeyinin poliedrik versiyonuna, bir metre daha ileride, sonra isteğe bağlı olarak sağ veya sol Boy yüzeyine dönüşür.
Modellerin analizinde, izleyiciler arasında farklı yorumlar ortaya çıktı. Bir geometri uzmanı sordu:
*- Eğer bu modeli bu yönde takip edersek, Kreis Kap'tan Boy yüzeyine geçebiliriz. Bu durumda tersi yapılırsa, Boy yüzeyini Kreis Kap'a dönüştürebilir miyiz? *
Cevabım evet oldu. Cesaretlenen konuşmacı şöyle devam etti:
*- Eğer Steiner Romen yüzeyine gelinirken durulursa, bu durumda aynalı bir Boy yüzeyine geri dönülebilir mi? *
Yine onayladım. Ama ne yazık ki, bu garip dünyada kapalı yüzeylerin, kuspidal noktalarla donatılmış, bu noktaların çiftler halinde yaratılıp yok edildiği, bu da bir tür gömme dünyasının genişlemesini oluşturan dönüşümleri anlatan bir sunum için kimse açıklama yapmaya hazır olmadı. Bu kavram için "alt gömme" (submersions) terimi daha uygun geliyor. Eğer bir okuyucu bu konuda bilgi bulursa, memnuniyetle karşılanacaktır.
Kuspidal bir noktada yoğunlaşan eğrilik
Kuspidal noktada açıların toplamını hesaplayıp, bu toplamı Öklidyen toplam 2p ile karşılaştıracağız:
Solda ve yukarıda, kuspidal noktanın çok sayıda poliedrik temsillerinden biri gösterilmiştir. Nesnenin "açılımı" (sağda) sonucunda, Öklidyen toplam 2p'yi aşan bir toplam elde edilir: 2a. Bu durumda, C noktası civarında yoğunlaşan açısal eğrilik -2a olur. Eğer a açısı p/2 ise, negatif eğrilik c değerini alır (aşağıda ve solda). Aslında, bir kuspidal noktada yoğunlaşan eğrilik sonsuz sayıda değer alabilir. Aşağıda ve sağda, açısal toplam daha da artırılmış ve eğrilik < 2a olacak şekilde ayarlanmıştır. Negatif eğrilik artmaktadır.
Ters yönde işlem yapılırsa, oldukça şaşırtıcı bir duruma ulaşılabilir: C noktasında yoğunlaşan (açısal) eğrilik ... sıfır olacak şekilde ayarlanabilir:
Şimdi, iki kuspidal noktaya sahip, her biri -p eğrilikli olan bir Kreis Kap'ın poliedrik temsiline başlayabiliriz:
- p/2 değerine sahip sekiz "pozitif nokta" var. Dört tane daha +p/4 eğrilikli "pozitif nokta" ve dört tane -p/4 eğrilikli "negatif nokta" ekleyelim.
Ayrıca iki tane -p eğrilikli kuspidal nokta.
Toplam: 2p
Bu toplam eğrilik 2p'ye bölündüğünde, Boy yüzeyi gibi tüm düzlem projeği temsillerinin Euler-Poincaré karakteristiğini elde ederiz.
Seminerim sırasında, küre dönüşümü kullanarak Kreis Kap'ın iki kuspidal noktasının yerini değiştirmenin sanatını anlattım. Bu konuyu web sitemde belki de bir yere koymuştum. Ama ne yazık ki, o kadar karışık bir yapıya sahip ki, bir daha aramam gerekecek, yoksa bir yerde yayınlayacağım. Bu oldukça eğlenceli. Her ne kadar bu sunum, seminer sırasında bir katılımcı tarafından beğenilmedi.
- Petit, Kreis Kap'ın iki kuspidal noktası arasındaki simetriyi göstermek için neden bu kadar karmaşık bir alet kullanıyor? Çok daha basit bir yol var.
Ve tahtaya, iki çubukla ezilmiş bir küre resmi çizdi; bu çubuklar birbirine bağlanmıştı ve gerçekten de, Kreis Kap gibi, iki kuspidal nokta ile sınırlı bir kesişim çizgisi veriyordu. Ne yazık ki, bu bir Kreis Kap değildi.
- Tanrım, ama bu ne oluyor? diye sordu biri.
Sadece iki kuspidal noktaya sahip bir küre. Bu iki nokta birbirine yaklaştırılırsa, kesişim çizgisi basit bir çember haline gelir. Aşağıda ve solda (kesit halinde) bir kürenin gömülmesi elde edilir; bunu normal gömme haline getirmek yeterlidir. Ayrıca bu yüzeyin poliedrik bir temsiline de geçilebilir:
Bu yüzey iki yüzlüdür ve eğrilik 2p'dir.
Bu tür "alt gömme" işlemlerinde oldukça eğlence yapabiliriz. Örneğin, sonsuz işareti veya "8" şekli bir ekseni etrafında döndürülerek bir torusun gömülmesi oluşturabiliriz.
Kuspidal noktaların birleşmesi tekniği, çizimlerin devamında gösterildiği gibi, torusun standart gömülmesine çok hızlı bir şekilde ulaşmamızı sağlar.
Ancak bazen bu kadar kolay ve açık olmaz. Örneğin, bir küreyi iki parçanın uzunluğu çapından daha kısa olacak şekilde ezdiğimde, yine iki kuspidal nokta elde ederiz.
Bu yüzeyin içine bir Möbius bantını yerleştirebileceğimiz için, tek yüzlüdür. Poliedrik temsili gösterilmiştir ve toplam eğrilik hesaplanabilir. Sonuç sıfır çıkar. Yanılgımsa, bu bir Klein şişesi olur. Genellikle, kesişim çizgisi sadece bir çember olan en klasik gömülme bilinir. Ama başka gömülme şekilleri de vardır, bunlardan biri budur. Açıkça, bu nesneyi bir Klein şişesinin gömülmesine dönüştürmenin yolunu henüz bulamadım. Ayrıca, farklı gömülme şekillerinin aynı homotopi grubuna ait olup olmadığına dair bir bilgim yok (küre için sadece bir homotopi grubu vardır). Önceden, torusun dört farklı şekilde gömülebileceğini ve bunların düzenli bir homotopi ile birbirine bağlanamayacağını düşünüyorum. Beklerken, bu yüzeyi iki ek kuspidal nokta oluşturarak değiştirdim ve iki Kreis Kap'ın bir tüp ile birbirine bağlandığı bir yapı elde ettim. Bu yapıyı kesip parçaladığımızda, Euler-Poincaré karakteristiğinin sıfıra eşit olduğunu bulduk.
Bu "garip yüzey", muhtemelen bir Klein şişesinin gömülmesine dönüştürülebilir. Ama hangisine? Her ne kadar, "8" şeklini bir eksen etrafında döndürerek ve ek olarak yarım tur döndürerek elde edilen biri de var:
Ana başlığa dön: "Kreis Kap'tan Boy Yüzeyine Dönüşüm"
İçindekiler'e dön Ana sayfaya dön
6 Ekim 2003'ten bu yana ziyaret sayısı: