- Groupes d'isométrie.
Appelons a une matrice de rotation en 3D. Écrivons : (78)
Un élément du groupe SO3 × R peut être représenté par la matrice : (79)
qui est le produit de deux matrices. La première : (80)
appartient à SO3.
et la seconde : (81)
appartient au groupe R des translations temporelles. Introduisons les symétries P et T. Nous obtenons un groupe à quatre composantes, dont l'élément est : (82)
Il s'agit du produit de deux matrices : (83)
et :
(84)
Appelons ce deuxième sous-groupe E1 (groupe euclidien unidimensionnel). Dans la représentation [t, r, q, j], le groupe d'isométrie est O3 × E1. Revenons à l'expression de l'élément de ligne dans le système de coordonnées [t, r, q, j] : (85)
... Classiquement, on considère que le groupe d'isométrie associé est SO3 × R, ce qui n'est pas le plus grand. Il s'agit en réalité de O3 × E1, car l'élément de ligne est également invariant sous les inversions spatiale et temporelle.
Considérons maintenant l'élément de ligne exprimé sous la forme "étendue d'Eddington" (86)
que nous écrivons : (87)
Introduisons les coordonnées cartésiennes spatiales [x1, x2, x3] : (88)
(89)
(90)
L'élément de ligne peut alors être exprimé en fonction des coordonnées [x, x1, x2, x3]. (91)
Nous cherchons maintenant le groupe d'isométrie de la métrique, telle qu'elle est exprimée dans ce système de coordonnées particulier. Nous avons d'abord la symétrie P. L'élément de ligne est invariant sous : (92)
x1 → -x1
x2 → -x2
x3 → -x3
Il est également invariant sous le changement : (93)
x → -x
d → -d
Et sous les translations temporelles : x = x + ε. Cela correspond au groupe à quatre composantes suivant :
Son élément est le produit de deux matrices. La première : (94)
correspond à O3 et la seconde forme un deuxième sous-groupe dont l'élément est : (95)
Appelons ce deuxième sous-groupe "TF".
Le groupe d'isométrie de (86) est donc :
O3 × TF
Considérons maintenant la métrique de Schwarzschild exprimée dans le système de coordonnées [t = x/c, r, q, j]. Nous pouvons regrouper les deux expressions (76) et (77) en : (96)
Rappelons que d = -1 traite la moitié de l'espace-temps r > 0 tandis que d = +1 traite la seconde moitié de l'espace-temps r < 0, si l'on suppose que le "trou noir" se trouve dans notre repli, et la "fontaine blanche" dans le "repli jumeau".
Si la situation est inversée, c'est-à-dire si le "trou noir" se trouve dans le repli jumeau, et la "fontaine blanche" dans le nôtre, nous obtenons :
d = +1 traite la moitié de l'espace-temps r > 0
d = -1 traite la moitié de l'espace-temps r < 0
Considérons le premier cas (le "trou noir" est dans notre univers, et la "fontaine blanche" dans le repli jumeau). Dans ce cas, la métrique est : (97)
En effectuant le changement :
r → -r
t → -t
d → -d
nous obtenons la deuxième métrique : (98)
Remarquons que la nullité du déterminant lorsque r = 0 correspondrait à l'inversion locale de l'espace (l'enantiomorphisme) et de la coordonnée temporelle au point (r = 0). En effet, nous avons besoin d'un déterminant non nul pour définir les coordonnées gaussiennes. Voir la référence [1] 2.4
Si le déterminant est non nul, il devient possible de définir une série de hypersurfaces (x° ou x, ou t = constante) (correspondant à une valeur constante du marqueur chronologique choisi), orthogonales aux lignes géodésiques des coordonnées x° ou x ou t ("lignes mondes" pour les "points stables").
Fig.15 : Après la fig. 2.1 de la référence [1]
Nous pourrions exprimer (97) et (98) en coordonnées cartésiennes, comme précédemment, et retrouver (92) et (93). Le groupe d'isométrie de (96) devient : (99)
Les deux replis d'espace-temps demi sont PT-symétriques.
Rappelez-vous qu'Andrei Sakharov fut le premier, en 1967 (références [26] à [30]), à suggérer qu'un univers pourrait être composé de deux univers jumeaux, le nôtre et un univers jumeau, avec des "temps opposés". Plus tard, il suggéra que le repli jumeau pourrait être enantiomorphe.
- Le sens physique de l'inversion du temps cosmique t.
Cette inversion du temps est troublante. Cela signifie que le marqueur temporel t est inversé lorsqu'on suit une géodésique, du repli à l'autre. Cela implique-t-il que l'horloge d'un "passager", traversant ce pont hypertorique, serait inversée ?
Plus haut, nous avons dit qu'un couple "trou noir - fontaine blanche" pourrait exister, où le "trou noir" serait situé dans le repli jumeau et la "fontaine blanche" dans l'autre. Cela signifierait que ce "passager-test" pourrait plonger dans le premier pont hypertorique et ressortir par le second. Pourrait-il revenir à son point de départ spatial et "tuer son père" ?
**
Fig.16 : Un voyage (schématique) paradoxal.
**
La réponse est non, car le signe de l'incrément élémentaire ds de son temps propre ne change pas le long de la géodésique qu'il suit. Alors, quel est le sens physique de t ? Aucun. Il s'agit simplement d'une coordonnée. *
Seul le temps propre a un sens physique. *
Alors, quelle est la conséquence de l'inversion de cette coordonnée temporelle ?
Nous devons étudier l'action coadjointe du groupe sur son espace d'impulsion (références [11] et [12]). L'élément du groupe est (100)
Il s'agit d'un groupe à deux composantes (m = ±1), de dimension 4.
La matrice inverse est : (101)
Calculons l'élément de l'algèbre de Lie. Écrivons : (102)
da = w d e = e
Calculons maintenant : dg' = g⁻¹ × dg × g (103)
(104)
Afin de calculer l'action coadjointe (voir référence [11]), introduisons le scalaire : (105)
dont l'invariance est assurée si : (106)
c'est-à-dire : (107)
L'identification fournit l'action coadjointe du groupe sur son impulsion à quatre composantes : (108)
( l, m )
Rappelons que le nombre de composantes de l'impulsion est égal à la dimension du groupe. (109)
(110)
m' = m m
Nous pouvons identifier m à la masse (ou à l'énergie E = mc², indifféremment). (110) signifie que lorsque une particule traverse la "sphère du col", sa masse est inversée (m' = -m). Ce n'est pas surprenant et donne un sens très physique à cette "inversion de la coordonnée temporelle". ... Suivant J.M. Souriau [12], nous pouvons appeler la composante (m = +1) du groupe les "orthochrones", et la composante (m = -1) les "antichrones". Les éléments de la composante antichrone inversent la masse. La symétrie temporelle est équivalente à la symétrie m, comme le montre J.M. Souriau ( [12] p.197, chapitre inversion du temps et de l'espace).
- Équations de champ couplées ultérieures.
Nous sommes partis d'une équation de champ à membre second nul unique : (111)
S = 0
qui était censée découler d'une équation complète (d'Einstein) : (112)
S = c T
appliquée au vide (T = 0). Nous pouvons supposer que la géométrie complète peut être décrite par deux "métriques conjuguées" g et g*, à partir desquelles nous pouvons construire deux tenseurs géométriques d'Einstein S et S*. Voir les références [13] à [15].
Si les deux demi-espace-temps sont vides, le couple ( g, g*) est solution du système : (113)
S = 0
(114)
S* = 0
(Une solution exacte stationnaire du système (113) et (114) est donnée dans la référence [16]). Nous pouvons maintenant remplir le premier repli d'espace-temps par une masse positive (énergie et pression positives), correspondant à un champ tensoriel T, et le second par une masse négative (énergie négative), et nous supposons que le champ dépend des deux champs tensoriels, selon le formalisme suivant : (115)
S = c ( T - T* )
(116)
S* = c ( T* - T )
ce qui correspond à des géométries conjuguées : (117)
S* = - S
Notez que cela ne signifie absolument pas que g* = - g !
Les tenseurs T et T* peuvent être représentés par des densités de masse ρ et ρ* et des pressions p et p*.
Ici, nous supposons que ρ, ρ*, p et p* sont tous positifs, afin de montrer que "c'est le même type de matière". Le signe moins indique que la "matière jumelle" se comporte comme une masse négative (et une énergie et une pression négatives). Ce système d'équations de champ a été présenté et étudié dans des articles antérieurs (références [13] à [15]).
- Un projet : le modèle de transfert hyperspatial.
Dans les articles référencés, des solutions stationnaires couplées [16] et des solutions uniformes non stationnaires ([14], [15] et [17]) ont été présentées. Nous entendons construire des solutions non stationnaires et non uniformes du système (115) plus (116). Par exemple, considérons des conditions initiales où la matière est présente dans notre repli d'espace-temps F, le second repli F* étant vide. Le système correspondant serait : (118)
S = c T (119)
S* = - c T
... Une solution stationnaire de ce système a été présentée dans un article précédent [16]. Dans ces conditions, la matière est présente uniquement dans le repli F. Elle pourrait décrire les géométries conjuguées correspondant à la présence d'une étoile à neutrons dans ce repli, le nôtre, la portion adjacente du second (jumeau) repli F* étant vide. Initialement, les deux replis ne sont pas connectés. La solution, en dehors de l'étoile à neutrons, obéit à : (120)
S = 0
(121)
S* = 0
... Ensuite, de la matière est versée dans l'étoile à neutrons, jusqu'à atteindre la criticité. Les spécialistes savent que le premier symptôme de criticité est la montée soudaine de la pression jusqu'à l'infini au centre de l'étoile à neutrons (supposée sphériquement symétrique), selon le modèle de Tolmann-Oppenheimer-Volkov (TOV) (réf. [1], équation 144.22). Nous pensons que cette montée agit sur les valeurs locales des constantes de la physique (vitesse de la lumière, constante gravitationnelle, masse). Des modèles à "constantes variables" ont été initialement introduits par les auteurs ([18], [19], [20], et [14]). Par la suite, d'autres auteurs ont développé ce nouveau concept, d'une manière quelque peu différente [17].
... Nous pensons que cela provoquerait la naissance d'un pont hypertorique reliant les deux replis. Ensuite, la matière s'écoulerait (rapidement, à vitesse relativiste) du repli F vers le repli F*, à travers ce passage. Comme indiqué plus haut, ce phénomène inverse la masse, voir la section 14, équation (110), de sorte que la solution non stationnaire dépend du système : (122)
S = c ( T - T* )
(123)
S* = c ( T* - T )
À "mi-parcours", T = T*. Alors la solution obéit à : (124)
S = 0
(125)
S* = 0
... Nous pensons que c'est le véritable sens de la géométrie de Schwarzschild. Elle correspondrait à un cadre appartenant à un processus non stationnaire.
... Cette solution non stationnaire n'est qu'un projet de solution. Elle n'est pas encore construite. Nous ne savons pas ce qui en découlerait, ni à quoi ressemblerait le processus complet.
Version originale (anglais)
- **Isometry groups. **
Call **a **a 3d rotation matrix. Write : (78)
The SO3 x R group's element can be figured by the matrix : (79)
which is the product of two matrixes. The first : (80)
belongs to SO3.
and the second : (81)
belongs to the R time-translation group. Introduce P and T symetries. We get a four components group, whose element is : (82)
It is the product of two matrixes : (83)
and :
(84)
Let us call this second sub group E1 (one-dimenional Euclid's group). In the [ t , r , q , j ] representation the isometry group is O3 x E1 Let us return to the expression of line-element in the [t , r ,q, j] coordinate system : (85)
...Classically, one considers that the associated isometry group is SO3 x R , which is not the largest one. It is O3 x E1, for the line-element is also invariant under space and time inversions.
Now, consider the line element expresed into the "extended Eddington" form (86)
that we write : (87)
Introducing cartesian space-coordinates [ x1, x2, x3] : (88)
(89)
(90)
Then the line element can be expressed in terms of [x ,x1,x2,x3] coordinates. (91)
Now we search the isometric group of the metric, as expressed is this peculiar coordinate system. We first have P-symmetry. The line element is invariant under : (92)
x1 ® - x1
x2 ® - x2
x3 ® - x3
It is also invariant through the change : (93)
x ® - x
d ® - d
And through time-translations : x = x + e. It corresponds to the following four components group :
Its element is the product of two matrixes. The first set (94)
corresponds to O3 and the second forms a second sub group whose element is : (95)
Call this second sub-group " TF ".
Then the isometry group of (86) is :
O3 x TF
Consider now the Schwarzschild's metric expressed in [t = x/c , r , q , j ] coordinate system. We can group the two expressions (76) and (77) into : (96)
Remember that d = -1 takes in charge the half space-time r > 0 while d = +1 takes in charge the second half space-time r < 0 , if we consider that the "black hole" is located in our fold, and the "white foutain" in the "twin fold".
If the situation is reversed, i.e. if the "black hole" is located in the twin fold, and the "white foutain" in ours, we get :
d = +1 takes in charge the half space-time r > 0
d = -1 takes in charge the half space-time r < 0
Consider the first case (the "black hole" is in ours universe and the "white foutain" is in the twin fold). There, the metric is : (97)
Changing :
r ® -r
t ® -t
d ® -d
we get the second metric : (98)
Notice that the nullity of the determinant when r = 0 would corresponds to the local inversion of space (enantiomorphy) and time-coordinate at the point ( r = 0 ). In effect we need a non-zero determinant to define gaussian coordinates. See reference [1] 2.4
If the determinant is non zero, it makes possible to define a series of hypersurfaces( x° or x, or t = constant) (corresponding to a constant value of the chosen chronological marker), orthogonal to the geodesic x° or x or t coordinate lines ("world-lines" for "steady points").
Fig.15 : After fig. 2.1 of reference [1]
We could express (97) and (98) in cartesian coordinates, as before, and refind (92) and (93). The isometry group of (96) becomes : (99)
The two half space-time folds are PT-symmetric.
Remeber Andrei Sakharov was the first, in 1967 (references [26] to [30]) to suggest that une Universe could be composed by two twin Universes, ours and a twin one, with "opposite times". Later he suggested that the twin fold could be enantiomorphic.
- **The phyical meaning of the inversion of cosmic time t. **
This time-inversion is puzzling. It means that the time marker t is inversed when one follows a geodesic, from or fold to the twin one. Does it means that the clock of a "passenger", passing through this hypertoric bridge would be reversed ?
Above, we said that a couple "black hole - white foutain" could exist, where the "black hole" would be located in the twin fold and the "white foutain" in the other. It would mean that this "test passenger" could dive into the first hypertoric bridge and rise out from the second one. Could he come back at his space starting point and "kill his father" ?
**
Fig.16 : A (schematic) paradoxical journey.
**
The answer is no, for the sign of the elementary increment ds of his proper time does not change, along the geodesic he follows. So, what is the physical meaning of t ? None. It is just a coordinate. *
Only proper time has a physical meaning. *
So, what is the consequence of the inversion of this time-coordinate ?
We must study the coadjoint action of the group on its space momentum (references [11] and [12]). The element of the group is (100)
This is a two components group ( m = ± 1 ), whose dimension is 4.
The inverse matrix is : (101)
Compute the Lie algebra element. Write : (102)
d** a **= **w ** d e = e
Let us compute : dg' = g-1 x dg x g (103)
(104)
In order to compute the coadjoint action (see ref. [11] ), introduce the scalar : (105)
whose invariance is ensured if : (106)
i.e. : (107)
The identification provides the coadjoint action of the group ont its four components momentum : (108)
( l , m )
Remember the number of momentum's components is equal to the group's dimension. (109)
(110)
m' = m m
We can identify m to the mass (or to the energy E = mc2, indifferently).(110) means that when a particle passes through the "throat sphere" its mass is inversed (m' = -m). This is not surprinzing and gives the very physical meaning of this "inversion of the time-coordinate". ... Following J.M.Souriau [12] we may call the (m = +1) component of the group the "orthochron ones", and (m = -1) the "antichron component". The elements of the antichron component reverse the mass. Time-symmetry is equivalent to m-symmetry, as shown by J.M.Souriau ( [12] p.197, chapter time and space inversions).
- **Subsequent coupled field equations. **
We started from a single zero second member field equation : (111)
S = 0
which was supposed to come from a complete (Einstein's) equation : (112)
S = c **T **
applying to vacuum (T=0). We may assume that the complete geometry may be described by two "conjugated metrics" g and g*, from which we can build two Einstein's geometric tensors S and S*. See references [13] to [15].
If the two half space-times are empty, the set ( **g *, g) is solution of the system : (113)
S = 0
(114)
S* = 0
(A steady exact solution of the system (113) and (114) is given in reference [16]). Now we can fill the first space time fold by positive mass (positive energy and pressure) corresponding to a tensor field T and the second one by negative mass (negative energy) and we assume that the field depends on boths tensor fields, through the following formalism : (115)
S = c ( **T *- T )
(116)
S* = c ( T*** **- T )
which corresponds to conjugated geometries : (117)
S* = - S
Notice that it definitively does not mean that g* = - g !
Tensors T ans T* can be figured with mass densities r and r* and pressures p and p*.
Here we consider that r, r*, p and p* are all positive, in order to show that "this is the same sort of matter". The minus sign indicates that the "twin matter" behaves like a negative mass (and negative energy and pressure) matter. This system of field equations has been presented and studied in previous papers (references [13] to [15]).
- **A project : the hyperspace transfer model. **
In referenced papers, steady state coupled solutions [16] and non-steady uniform solutions ([14], [15] and [17]) have been presented. We intend to build non-steady and non-uniform solutions of the system (115) plus (116). For example, consider initial conditions where matter is present in our space-time fold F, the second one, F*, being empty. The corresponding system would be : (118)
S = c T (119)
S* = - c T
...A steady state solution of such a system was presented in a previous paper [16]. In such conditions matter is only present in the fold F. It may describe the conjugated geometries corresponding to the presence of a neutron star in this fold, ours, the adjacent portion of the second (twin) one F* being empty. Initially, the two folds are not connected. The solution, outside the neutron star obeys : (120)
S = 0
(121)
S* = 0
...Then matter is poured into the neutron star, up to criticity. Specialists know that the first symptom of criticity if the suddent raise of the pressure up to infinite at the center of the (supposes spherically symmetric) neutron star, according to the Tolmann-Oppenheimer-Volkov (TOV) model (ref.[1], equation 144.22). We think that this rise acts on the local values of the constants of physics (light velocity, gravitational constant, mass). Models with "variable constants" were initially introduced by the authors ([18], [19], [20], and [14]). Later, others authors developped this new concept, in a somewhat different way [17].
...We think that this would cause the birth of an hypertoroidal bridge, linking the two folds. Then matter would (rapidly, at relativistic velocity) flow from fold F to fold F*, through this passage. As shown above, this phenomenon inverses the mass, see section 14, equation (110), so that the non-steady solution depends on the system : (122)
S = c ( **T *- T )
(123)
S* = c ( T*** **- T )
At "the middle of the process" T = T* . Then the solution obeys : (124)
S = 0
(125)
S* = 0
...We think it's the real meaning of the Schwarzschild's geometry. It would correspond to a frame which belongs to a non-steady process.
...This non-steady solution is only a project of solution. It is not built yet. We don't know what would come from, how the complete process would look like.