Küre Dönüşümü ve Klein Şişesi İmmerzyonu
Küre Dönüşümü
7 Aralık 2004
Sayfa 1
Giriş.
Aşağıda ele alacağımız kapalı yüzeyler, küre, torus ve bazı diğerleri gibi olacak. Bu yüzeyler, bir insanın anladığı anlamda yüzeylerdir; yani üç boyutlu Öklid uzayında, R3’de, yani temsili zihinsel uzayımızda temsil edilen iki boyutlu nesnelerdir. Bu yüzeylerin birkaç farklı temsili olabilir. Kendileriyle kesişmeyen yüzeylere R3’de gömülü (immersed) denir. Kendileriyle kesişen yüzeyler ise immerzyon olarak adlandırılır ve bu kesişim, kendine kesişim kümesi (self-intersection) olarak ortaya çıkar.
Gömüllerimizde teğet düzlemin sürekli değiştiğini ve yüzeyin, bir koninin tepe noktasına benzer gibi olabilecek tekil noktaları olmadığını varsayıyoruz. Yüzeylerimiz düzgün olacak.
İmmerzyon durumunda, kendine kesişim çizgileri boyunca kesişen iki yüzeyin teğet düzlemlerinin birbirinden farklı olmasına dikkat edeceğiz.
Matematikçi tarafından kavranan geometri dünyası, fiziksel dünyadan oldukça farklıdır. Yüzeylerin kendilerini geçebilmesi onu rahatsız etmez. Fiziksel dünyada bu tür bir şey mümkün değildir. Ancak metafizik dünyada bu mümkün olabilir. Kutsal Kitap’da, ölüler dirilenecek zaman, "gökyüzüne yükselen bedenler" halinde olacaklarını okuyoruz. Bu durumda, her şeyin içinden geçebilir ve kendi kendilerini geçebilirler. Bu nedenle, Son Mahşer zamanı gelmişse, gökyüzüne yükselen bedenler halinde Roma’da dolaşırken, bir yerde kaybolmuşsanız ve Navona Meydanı’na gitmeye çalışıyorsanız, aynı görünüme sahip başka bir dirilmiş insanın yolunu sormanız istenebilir. Şunu varsayalım ki, sizi sorguladığınız kişi, meydana gelen yerin tam tersi yöne doğru ilerliyor. Fiziksel uzayda, doğru yolu göstermek için kendi etrafında dönmek zorunda kalacaktır. Ancak gökyüzüne yükselen bedenler halinde yürüyorsa, bu dönme artık gerekli değildir. Parmaklarını göbeğine doğru uzatıp kendini geçebilir. Elinin sırtından çıkarken geri döneceği zaman, sadece size "oradan" diyebilir. Karın bölgesinden kolunu geçirdiğinde, beden kabuğunda iki daireden oluşan bir kendine kesişim kümesi oluşturmuş olur; bu da normal konfigürasyonuna döndüğünde kaybolur.
Bir insan ağzını kapatıp burunlarını bir çamaşır askısıyla kapatırsa ve diğer doğal deliklerini göz ardı edersek, beden kabuğumuz S2 küresi topolojisine sahip olur. Şimdi, doğal delikleri kapatılmış bir gökyüzüne yükselen bedenler halinde dirilmiş bir varlık düşünelim. Biliyoruz ki, kendini geçebilir; yani beden kabuğunu bir gömülme durumundan bir immerzyon durumuna geçirebilir. Bu durumda ortaya çıkan metafizik sorunlardan biri, gökyüzüne yükselen bedenler halinde dirilmiş bir kişinin, katlanmalar yapmadan kendi içine dönüp dönemeyeceğiydi.
Bir küçük not: Büyücüler, birbirlerini "süper magik" şekilde geçebilen "sihirli daireler" kullanmayı bilirler. Yüzeyleri, burada siyah ve pembe olarak temsil edilen iki yüzeyin kolayca geçebilmesi için bir tür "sihirli ızgara" ile temsil edebiliriz.
Sihirli ızgara
Her ne kadar olsa, matematik ile sihir arasında genellikle çok büyük bir fark olmadığını kabul etmek gerekir. Yirmi yıl önce bir çizgi roman tasarladım: Topologicon. Şimdi bu kitap tükenmiş ve nadiren bulunabiliyor, sadece bir koleksiyon nesnesi olarak. Sayfalarından birinde şunu görebilirsiniz:
Bu koleksiyonun bırakılmasından dolayı Belin yayınevleri çok üzücü bir karar aldı. Üretim maliyeti bir eurodan biraz fazla olan bu kitapları, kargo dahil 13 euroya satmak, satıştan elde edilen 12 euroluk kâr, yani satış fiyatının %92’den fazlası, özellikle siyah beyaz bir kitap için oldukça mantıklı bir ticari strateji değildir.
R3’te gömülmüş bir S2 küresi düşünelim. Dış yüzeyinin gri, iç kısmının eski pembe olduğunu varsayalım. İki antipodal noktaya (kabul edilen "kuzey kutbu" ve "güney kutbu") baskı uygulayarak bu iki noktayı bir noktada temas ettirebiliriz. Örneğin, bir çörek ile bunu yapabiliriz. Matematiksel bir çörek için (çöreklerin gökyüzüne yükselen bedenler halinde dirilip dirilmediğini bilmiyoruz), bu iki kutup bölgesi, bir noktada temas ettikten sonra, bir kendine kesişim eğrisi boyunca birbirlerini geçebilirler; bu eğri bir çember şeklindedir. Önceden söyleyelim ki, bu yüzey Do türü bir kaza geçirmiştir.
Sonra bu işlemi sürdürerek çöreği, küreyi, döndürmeye çalışmak isteyebiliriz. Ancak bu durumda bir kabartma oluşur, bu da kötü bir katlanmaya dönüşür, daha doğrusu bir geri dönüş yüzeyi (d figürü) oluşur.
1950’lerin sonlarında, metafizik çörekleri katlanmalar olmadan döndürebilip edilemeyeceği sorusu hâlâ cevapsızdı. Gerçekten, herkes bunun kesinlikle imkânsız olduğunu düşünüyordu. Ancak 1957 yılında, bir matematikçi olan Stephen Smale (farklı bir çalışma için Fields madalyasını aldı) S2 küresinin R3’teki farklı immerzyonlarının tek bir kümeyi oluşturduğunu ve her zaman bir sürekli deformasyon dizisini (daha sonra düzenli homotopi olarak adlandırılacak) kullanarak bir durumdan diğerine geçilebileceğini kanıtladı. Bu sonuç, standart S2 küresinin gömülmesinden antipodal gömülmesine geçilebileceğini gösterdi. Daha basit bir şekilde ifade edersek: bir küreyi katlanmalar yapmadan döndürebiliriz, ama bunun için kendini döndürebilmesine izin vermemiz gerekir.
Smale’in danışmanı Raoul Bott’tu. Bu kişi öğrencisine nasıl yapacağını sorduğunda, Smale cevap vermedi, ama teoreminin tamamen sarsılmaz olduğunu söyledi. Smale uzayda hiçbir şey göremiyordu ama bunun farkında değildi (çok sayıda geometriste olduğu gibi). Ve, tamamen açık olmak gerekirse, teoremini kanıtladıktan sonra, bunu nasıl gerçekleştireceğimizi düşünmekten tamamen umursamadı ve hemen başka bir konuya geçti; bu da matematikçilerini büyük bir şaşkınlık içinde bıraktı. Bence bu oldukça adil olmayan bir davranıştır; böyle bir problem yaratıp, onu on yıl sonra başka biri çözmek zorunda bırakmak.
Gerçekten, zihninizde immerzyonları hayal etmek oldukça zordur. Ancak R3’te bu şekilde temsil edilebilecek yüzeyler vardır. Klein şişesi örneğin.
Klein Şişesi
Burada, torus gibi iki kapanış eğrisi kümesinden oluşan bir ağ sistemine sahip bir koordinat sistemiyle temsil edilmiştir. Bu şekilde, bir Klein şişesini tekil bir noktaya sahip olmadan ağlayabiliriz. Ancak görüldüğü gibi, bu yüzeyin kendi kendini bir kapalı eğri boyunca geçmesi kaçınılmazdır; yani bir çember boyunca geçer. Bu yüzden, bir Klein şişesini R3’te gömülemez. Denedim, olmadı. Sadece immerze edebiliriz. Çizim becerilerim sayesinde bu nesneyi yaklaşık olarak hayal edebilirsiniz. Ancak bir küreyi döndürmek için çok daha karmaşık yapılar düşünmek gerekir. Bunların temsili oldukça zorlu bir yöntemdir. Bazıları model yapım malzemesi kullanıyordu. Konferanslarda birbirleriyle konuşurlarken genellikle bir kenara çekilir ve arkadaşlarına sandalye kutuları veya şapka kutuları açarlar; içlerinde daha veya daha az korkunç nesneler bulunur. Yukarıdaki çizim, bu tür nesneleri yapmak ve manipüle etmek için en kolay yolu çağrıştırır: "bakır tel" olarak bilinen bir alaşım, kolayca bükülebilir ama hâlâ esnekliğini korur. En iyi yöntem, çizgilerin kesiştiği noktaları (2 mm çapında çubuklar önerilir) tel bağlarla sabitlemek ve bu noktaları kaydırabilir hâle getirmektir; en azından nesnenin son halini alması kadar. Sonra bir damla yapıştırıcı ile kaydırmayı tamamen engelleyebilirsiniz.
Pratikte, Klein şişeleri kullanmak oldukça nadirdir. Aşağıda, kişisel ihtiyaçlarım için kullandığım bir Klein şişesi fotoğrafı var.
Bu nesneler, biraz şekil anlayışı varsa, oldukça güzel. Aix-en-Provence’da Beaux-Arts Okulu’nda heykel öğretmeni olduğum dönemde birkaç tanesini inşa ettim. Ancak bu teknikten önce, bakır tel ve karton karışımını deneyerek birçok deneme yaptıktık; bu da oldukça tartışmalı bir estetik sonuç verdi. Bir gün, Marseilles’ten Paris’e giderken, kendi kendime yapmış olduğum, yeterince anlamlı temsilleri olan birkaç yüzeyi, sevdiğim matematikçi arkadaşım André Lichnérowicz’e götürmeliydim. Özellikle, Boy yüzeyi vardı; bu yüzeyde tek bir kutup merkezli bir harita yerleştirilmişti. Sonuçta, Paris’teki Découverte Palas’ında yirmi yıl boyunca sergilenen, gerçekten harika bir nesne elde ettim. Ancak bir yıl önce müze yönetimi bu yüzeyin modasının geçtiğini düşündü ve şu anda bir bodrumda ya da bir depoda duruyor. Umarım taşınırken ezilmedi. Bunu anlatmak için, artık hiçbir yerde Boy yüzeyini göremezsiniz, sadece kitaplarda ya da benim 18 bilimsel çizgi romanımı içeren PDF formatında bir CD-ROM’da görebilirsiniz. Topologicon da dahil. Bu CD-ROM’u nasıl edinebilirsiniz.
Ancak geri dönelim, Marseilles’ten Paris’e yaptığım bu yolculuğa. Zaten iki valizle doluydum ve üç modeli de yanımdaydı. Tek çözüm, bunları boyuma asmak oldu. Ancak tren istasyonu geçerken insanların bana nasıl baktığını gördüğümde, bir hastaneden izinli çıkmış bir delinin olduğunu sandıklarını anladım. Bunun aksini açıklayacak hiçbir şeyim yoktu ve bu acımasız durumu mümkün olduğu kadar onurla yaşadım.
Şaşırtıcı olan, bu tür şeyler yapan insanların oldukça nadir olmasıdır. Amerika’da, Berkeley Üniversitesi Matematik Bölümü’nde çalışan Charles Pugh adında bir matematikçi vardı. Daha sonra ondan bahsedeceğim. Pugh, tavuk kafesleri için tel örgüleri yaparken harika bir yeteneğe sahipti; ama ben kişisel olarak bakır tel tekniğini daha çok tercih ederim.
Şimdi, küre dönüşümü hikâyesine dönelim. Bu sorunu ilk çözen geometri uzmanı Anthony Phillips oldu. 1967’de, Scientific American dergisinde bir dizi çizimle yayınlanan çalışmasını yayımladı. Küre döndürme yöntemleri bir kaç farklı şekildedir. Bunlardan biri, kürenin her noktasını antipodal noktasına getirmektir. Bu durumda, Boy yüzeyi şeklinde bir yapı oluşur. Daha önce de belirttiğim gibi, bir harika bir Heykel yapmak için bir sponsor bulmayı hayal ediyorum; bu heykel, Boy yüzeyine katlanmış bir Dünya haritası şeklinde olacak. Gerçek nesneyi yapamadığım için, Topologicon’un kapak resmini bu şekilde çizdim:
Boy yüzeyine katlanmış Dünya küresi
Bu yapıda, kuzey kutbunda bir delik açarsanız, hemen karşı kutbunda, güney kutbunda çıkarsınız, çünkü bu iki nokta antipodal noktalardır. Bir Fransızın kuyusunu kazması, New Zealand’de bulunmasını sağlar, vb.
Anthony Phillips’in bulduğu yöntem, aslında kürenin Boy yüzeyinin iki katlı bir kaplamasına nasıl dönüşeceğini açıklamaktır; bu yüzey, elbette, tek yüzeylidir. Eğer bir sihirli ürün, geçiş tel, yüzeylere kendilerini geçebilme yeteneği verseydi, her noktayı antipodal noktasına bir tel ile bağlayıp, telin uzunluğunu sıfıra indirerek yapabilirdik. Bu dönüşümü kolayca temsil edemeyebiliriz; ancak kürenin ekvatoral komşuluğunu, örneğin, ele alabiliriz. Bu, aşağıdaki animasyonlarda yapıldı. Bu yüzey, iki daire kenarına sahip, bisiklet tekerleğinin bir halkasına benzer. Üç ışın, karşılıklı noktalarla birleştirilmiştir. Bu ışınların uzunlukları sıfıra doğru uzatıldığında, bu iki yüzeyli bant, üç yarım dönüşlü bir Möbius şeridine iki katlı bir kaplamaya dönüşür. Aşağıda, iki oldukça basit animasyon var. Sol taraftaki yavaş, sağdaki hızlı.
Üç yarım dönüşlü Möbius şeridi, Boy yüzeyinin "ekvatoral komşuluğudur". Bu şerit, kürenin ekvatorunun sarmalanması için kullanılır.
Boy yüzeyinin "ekvatoru"
Kürenin iki kutbu ise, yüzeyin tek kutbuna denk gelir. Bu yüzey, Klein şişesi gibi, R3’te gömülemez. Sadece immerzyon şeklinde temsil edilebilir. Bu durumda, kendine kesişim kümesi, üç kanatlı bir helis şeklinde olur; uçları, üç "kulak" gibi görünür. Aşağıdaki sayfalarda, bu yüzeyi daha iyi anlamak için bazı öğeler yer alır. Sorun yaşarsanız, bir Topologicon edinin.
Yukarı ve solda, bir Boy yüzeyi. Bu yüzey tek yüzlü olduğundan, iki renk kullanılamaz. b’de, helis kanatlarını andıran üç dalaklı kendine kesişim kümesi b’de gösterilmiştir. Eğri, bir üçlü noktada kesişir: T. Sonraki çizimler, okuyucunun bu yapıyı anlamasına yardımcı olmak için yapılır.
Bir yüzeyin yapısını anlatmak için her şey kabul edilir: bantlar, ek parçalarla bir montaj. Bu gerçekten büyüleyici bir nesneyle, bir heykeltıraşın mutluluk bulacağı açıktır. Hikâyesi hakkında bir not: 1901 yılında, Alman büyük matematikçi Hilbert’in öğrencisi Werner Boy, daha önce kimse düşünmediği bir yüzeyi ona sundu. Tatil çok yakındı. Hilbert öğrencisine dedi:
- Bu sorun bana ilginç geliyor. İstersen, dönüşte bana gel, birlikte konuşuruz.
Tatil geçti, ancak dönüşte Boy geri dönmeyi unuttu. İki ay sonra Hilbert onu aramaya çalıştı. Diğer öğrencilerin adresini vermesi üzerine, oraya gitti. Ancak ev sahibesi, genç Werner Boy’un yazdan önce anahtarları geri verdiğini ve artık geri gelmediğini söyledi. Onu bulmak için yapılan tüm aramalar sonuçsuz kaldı, ailesinin üyelerini bulmak da mümkün olmadı. Gerçekten, yok oldu. Almanya’ya giderseniz, bu büyük mucitinin mezarına gitmeniz için umut beslemeyin: mezarı yok.
Son resimde, aşağı ve sağda, beyaz renkli olarak doğrudan Boy yüzeyi gösterilmiştir; gri ve pembe renklerle, bu yüzeyi kaplayan kürenin iki yüzü gösterilmiştir. A ve A’ noktaları, bu kürede antipodal noktalardır. Bu şekilde, Boy yüzeyinin iki katlı kaplamasının küreyi nasıl döndürdüğü anlaşılır. Düşünelim ki, içi gri, dışı pembe olan bir küreyi, aşağı ve sağdaki şekildeki yapıya dönüştüren düzenli homotopi, yani dönüşüm dizisi elimizde olsun. Sonra, iki yüzeyi (A ve A’ noktalarını da dahil ederek) birbirlerini geçecek şekilde değiştirmek ve aynı dönüşümleri tersine çevirerek, dış yüzeyi gri olan antipodal gömülme durumuna ulaşabiliriz.
Aynı mantıkla, bir torusun da iki katlı bir kaplaması olarak bir ... Klein şişesi haline gelebileceğini bekleyebiliriz. İşte bu kaplamanın görünümü:
Klein şişesinin iki katlı kaplaması
Eğer bir torusu bu şekilde yapılandırabilirsek, yine iki yüzeyi, Klein şişesinin (burada temsil edilmemiş) iki yanında bulunan yüzeyleri değiştirmek ve işlemleri tersine çevirerek, ters çevrilmiş bir torusu elde edebiliriz. Bu çalışma, 1979 Ocak sayısında Pour la Science dergisinde B. Morin ve J.P. Petit’in imzasıyla yayımlanmıştır. Ben çizim kısmını üstlendim, Morin metni yazdı. Bu makalede çok sayıda kişiye atıf yapmasına rağmen, beni bir kenara bıraktı ve 46 ve 47. sayfalarda yer alan çalışmanın benim icat ettiğimi belirtmemesini de unuttu. Ancak bu, bir meslektaşla sıkı bir iş birliği yaparken olabilecek şeylerdir. Biliyorsunuz, yıllardır birlikte çalıştığınız biriyle bu kadar alışkın olunca, herkesi unutmamak için çok dikkatli olursunuz; sonunda onu, mobilya gibi bir şeymiş gibi unutursunuz. Daha fazla bilgi için, bu çalışma 20 Kasım 1978 tarihinde Paris Bilimler Akademisi’nin Comptes Rendus’unda, "Torus’un Trivial Olmayan Dönüşümü" başlığıyla benim adıma yayınlandı; makale, Akademisyen André Lichnérowicz tarafından sunuldu.