Küre Dönüşümü ve Klein Şişesi İmgesi

Küre Dönüşümü

7 Aralık 2004

Sayfa 1

Giriş

Aşağıda ele alacağımız kapalı yüzeyler, küre, torus ve bazı diğerleri gibi olacak. Bu yüzeyler, bir insanın anladığı anlamda yüzeylerdir; yani üç boyutlu Öklid uzayında R3, yani temsili olarak kullandığımız uzayımızda temsil edilen iki boyutlu nesnelerdir. Bu yüzeyler farklı türde temsiller alabilir. Kendileriyle kesişmeyen yüzeylere gömülü (R3 içinde) denir. Kendileriyle kesişen yüzeyler ise immersiyon olarak adlandırılır ve bu kesişim, kendine kesişim kümesi (self-intersection) olarak ortaya çıkar.

Gömülme durumunda, teğet düzlemin sürekli değiştiğini ve yüzeyin, bir koninin tepe noktası gibi olabilecek bazı tekilliklere sahip olmadığını varsayıyoruz. Yüzeylerimiz düzenli olacak.

İmersiyon durumunda, kendine kesişim çizgileri boyunca, kesişen iki yüzeyin teğet düzlemlerinin birbirinden farklı olması istenir.

Matematikçi tarafından kavranan geometri dünyası, fiziksel dünyadan oldukça farklıdır. Yüzeylerin kendilerini geçebilmesi onu hiç rahatsız etmez. Fiziksel dünya bu tür şeyleri mümkün kılmaz. Ancak metafizik dünyada bu mümkün olur. Kutsal Kitap'ta ölüler dirilirken "gökyüzünde bir beden" şeklinde olacakları yazmaktadır. Bu durumda, herhangi bir şeyin içinden geçebilir ve kendilerini bile geçebilirler. Bu yüzden, Son Mahşer zamanı gelmişse, gökyüzünde bir beden olarak Roma'da dolaşırken, kimsenin yolunu sormak istiyorsanız, aynı görünüşe sahip başka bir dirilmiş insanla konuşabilirsiniz. Şöyle bir durum düşünelim: Sorduğunuz kişi, piazza Navona'ya karşı yöne doğru yürüyorsa, fiziksel uzayda doğru yolu göstermek için kendi etrafında dönmek zorundadır. Ama gökyüzünde bir beden olarak yürüyorsa, bu dönmeye gerek kalmaz. Parmaklarını karın bölgesine doğru uzatıp kendini geçebilir. Eli sırtından çıkarken, sadece size "oradan gideceksin" demek kalır. Karın bölgesinden kolunu geçirdiğinde, bedeninde iki çemberden oluşan bir kendine kesişim kümesi oluşturur. Daha sonra normal durumuna döndüğünde bu kesişim kümesi kaybolur.

Bir insan ağzını kapatır, burunlarını tıkmak için bir çamaşır kapağı takar ve diğer doğal deliklerini göz ardı ederse, beden kabuğu S2 küresi topolojisine sahip olur. Şimdi, doğal delikleri tıkanmış bir gökyüzünde beden olarak dirilmiş bir varlık düşünelim. Biliyoruz ki kendini geçebilir; yani beden kabuğunun gömülmüş durumdan imersiyon durumuna geçebilir. Bu durumda ortaya çıkan metafizik sorulardan biri, gökyüzünde beden olarak dirilmiş birinin kendini katlamadan döndürebilir miydi?

Bir küçük not: Süper kahinler, "sihirli daireler" kullanarak birbirlerini "sihirli" bir şekilde içine alabilirler. Yüzeyleri bir tür "sihirli ızgara" ile temsil edebiliriz; burada siyah ve pembe renkte iki yüzeyin birbirlerini zorlanmadan geçmesi sağlanabilir.

Sihirli ızgara

Her ne kadar matematik ile sihir arasında pek çok fark olmasa da, bunun farkı nadiren görülür. Yirmi yıl önce bir çizgi roman tasarladım: Topologicon. Şimdi bu çizgi roman tükenmiş ve nadiren bulunabiliyor, sadece bir koleksiyon nesnesi olarak. Sayfalarından birinde şöyle bir şey vardı:

Ne yazık ki Belin yayıncılığı bu koleksiyonu bırakma kararı aldı. Üretim maliyeti sadece bir eurodan biraz fazla olsa da, 13 euro (ek olarak kargo) fiyatla, posta yoluyla satılması, 12 euro kar sağladığı, yani satış fiyatının %92'den fazlasını kar olarak elde ettiği için, özellikle siyah beyaz bir çizgi roman için oldukça açık olmayan bir ticari stratejiydi.

R3 içinde gömülmüş bir S2 küresi düşünelim. Dış yüzeyinin gri, iç yüzeyinin eski pembe renkte olduğunu varsayalım. İki antipodal noktaya, "kuzey kutbu" ve "güney kutbu" olarak adlandırdığımız noktalara baskı yaparak, bu iki noktayı bir noktada birleştirebiliriz. Örneğin bir çörek ile bunu yapabiliriz. Matematiksel bir çörek için (çöreklerin gökyüzünde beden olarak dirilip dirilmediğini bilmiyoruz) bu iki kutup bölgesi, bir noktada temas ettikten sonra, bir kesişim eğrisi boyunca kendilerini geçebilir. Bu eğri, bir çember şeklindedir. Önceden tahmin ederek, bu yüzeyin Do türü bir kaza geçirdiğini söyleyebiliriz.

Daha sonra çöreği, küreyi, işlemi sürdürerek döndürmeye çalışmak isteyebiliriz. Ama bu durumda bir kıvrım oluşur ve kötü bir katlanma, daha doğrusu bir geri dönüş yüzeyi (d şekli) olarak bozulur.

1950'lerin sonlarında, metafizik çöreklerin katlanmalar olmadan döndürülebilir olup olmadığı sorusu hâlâ cevapsızdı. Gerçekten, herkes bunun kesinlikle imkânsız olduğunu düşünüyordu. Ama 1957'de bir matematikçi, Stephen Smale (farklı bir çalışma için Fields Madalyası aldı), S2 küresinin R3 içindeki farklı imersiyonlarının tek bir küme oluşturduğunu ve her zaman bir sürekli deformasyon dizisi (daha doğrusu düzenli homotopi) ile bir durumdan diğerine geçilebileceğini kanıtladı. Bu sonuç, standart S2 küresi gömülmesinden antipodal gömülmesine geçilebileceğini gösterdi. Daha sade bir şekilde ifade edersek: bir kürenin katlanmalar olmadan döndürülebileceğini, ancak kendini döndürebilmesine izin verilmesi koşuluyla mümkündür.

Smale'in danışmanı Raoul Bott'tu. Bu, öğrencisine nasıl hareket edileceğini sordu. Smale, bununla ilgili hiçbir fikri olmadığını, ama teoreminin tamamen sağlam olduğunu cevapladı. Smale uzayda göremiyordu, ama bu onu ilgilendirmedi (çok sayıda geometri uzmanında olduğu gibi). Ve, tam olarak dürüst olmak gerekirse, teoremini kanıtladıktan sonra, bunu gerçekleştirmek için nasıl hareket edileceğini hiç umursamadı ve hemen başka bir konuya geçti. Bu da matematikçileri büyük bir şaşkınlık içinde bıraktı. Bence bu, böyle bir problem yaratıp, onu on yıl sonra başka birine bırakmak oldukça adil olmayan bir davranıştır.

Gerçekten, zihninizde imersiyonları hayal etmek oldukça zordur. Ancak, R3 içinde bu şekilde temsil edilebilecek yüzeyler vardır. Klein şişesi örneğin.

Klein Şişesi

Burada, torus gibi iki kapanış eğrisi kümesinden oluşan bir ağ sistemiyle temsil edilmiştir. Bu şekilde, bir Klein şişesini, ağda tekillik oluşturmadan döşeyebiliriz. Ancak görüldüğü gibi, bu yüzeyin kendini zorunlu olarak bir kapalı eğri, bir çember boyunca geçmesi gerekir. Bu yüzden, bir Klein şişesini R3 içinde gömülemez. Denedim, olmadı. Sadece imersiyonu mümkün olur. Çizim becerilerim sayesinde bu nesneyi yaklaşık olarak hayal edebilirsiniz. Ama bir küreyi döndürmek için çok daha karmaşık yapılar düşünmek gerekir. Bunların temsilleri oldukça zorlu bir şekilde yapılmıştır. Bazıları plastik hamur kullanıyordu. Konferanslarda birbirleriyle konuşurken genellikle kenara çekilir ve arkadaşlarına ayakkabı kutuları ya da şapka kutuları açarlardı, içlerinde daha çok korkunç görünen nesneler bulunurdu. Yukarıdaki çizim, bu tür nesneleri kurma ve manipüle etmenin en kolay yolunu çağrıştırır: "bakır tel" kullanmak. Bu alaşım, kolayca bükülebilir ama hâlâ esnekliğini korur. En iyi yöntem, çizgilerin kesiştiği noktaları (2 mm çaplı çubuklar önerilir) tel bağlarla sabitlemek. Avantajı, bu noktaları, nesnenin son halini aldıktan sonra kaydırabilmektir. Daha sonra bir damla yapıştırıcı ile kaydırmayı durdurabilirsiniz.

Pratikte, Klein şişesi kullanma durumu oldukça nadirdir. Aşağıda, kişisel ihtiyaçlarım için kullandığım bir Klein şişesinin fotoğrafı yer alıyor.

Bu nesneler, biraz şekil anlayışı varsa oldukça güzeldir. Aix-en-Provence'de Güzel Sanatlar Akademisi'nde heykel öğretmeni iken, belli sayıda tane yaptırdım. Ama bu teknikte başlamadan önce, bakır tel ve karton karıştırarak denemeler yaptık, bu da oldukça tartışmalı bir estetik sonuç verdi. Bir gün, Marseilles'ten Paris'e, sevdiğim matematikçi André Lichnérowicz'e bazı yüzeyleri götürmek için tren almak zorunda kaldım. Özellikle, Boy yüzeyi için yeterince anlaşılır temsiller yapmayı başardım. Bu yüzeyde, tek bir kutup etrafında harita yerleştirdim. Sonuçta, Paris'teki Découverte Palasında yirmi yıl boyunca sergilenen, gerçekten muhteşem bir nesne elde ettim. Ancak bir yıl önce müze yönetimi bu yüzeyin artık moda olmadığını düşündü ve şimdi bir bodrumda ya da bir depoda duruyor. Umarım taşınırken ezilmedi. Bununla birlikte, şimdi Boy yüzeyini başka yerde göremeyeceksiniz, sadece kitaplarda ya da benim 18 bilimsel çizgi romanımı PDF formatında kaydettiğim bir CD-ROM'da bulacaksınız. Topologicon da dahil. Bu CD-ROM'u nasıl edinebilirsiniz.

Ama yine de, Marseilles'ten Paris'e yaptığım bu yolculuğa dönelim. Zaten iki valizle yüklenmişti ve üç modeli de yanımdaydı. Tek çözüm, bunları boyuma asmak oldu. Ama tren istasyonu geçerken insanların bana nasıl baktığını görünce, beni bir hastaneden izinli çıkan deli sandıklarını anladım. Bunun aksini açıklamak için uğraşmanın hiçbir anlamı yoktu ve mümkün olduğu kadar saygıyla bu zorluğu yaşadım.

Şaşırtıcı olan, bu tür şeyleri yapan insanların nadir olmasıdır. Amerika'da, Berkeley Üniversitesi Matematik Bölümü'nde çalışan Charles Pugh adında bir matematikçi vardı. Daha sonra ondan bahsedeceğim. Pugh, tavuk kafesleri için harika biriydi, ama ben kişisel olarak bakır tel tekniğini tercih ettim.

Küre dönüşümü hikâyesine geri dönelim. Bu sorunu ilk çözen geometri uzmanı Anthony Phillips'ti. 1967 yılında Scientific American dergisinde bir dizi çizimle çalışmasını yayımladı. Küreyi döndürmenin birkaç yolu vardır. Bunlardan biri, kürenin her noktasını antipodal noktasına getirmektir. Böylece Boy yüzey