Küre Dönüşümü
Küre Dönüşümü
7 Aralık 2004
sayfa 3
Temel kaza.
Yukarıda belirttiğimiz gibi, incelediğimiz gömmeler, kendi kesişim kümeleri varsa, bu kümeler boyunca teğet düzlemlerin birbirinden ayrı kalması koşuluyla tanımlanır. Bu durumda, dört temel kaza yardımıyla bir gömmeden diğerine geçmek mümkündür. Morin bunlara isim verdi ve aşağıdaki resimlerde yer alıyorlar. İlk kaza, kapalı bir eğri oluşumuna (ve tersi olan yok oluşuna) yol açar. Bu, bir kabın suyunun sıcaklığını ölçmek için dirseğin suya batırıldığında meydana gelen durumdur (solda). a4 resmi: yüzeyler bir noktada temas halindedir. a5 resminde kesişim eğrisi oluşmuştur. Metnin ilerleyen kısmında bu işlemi "dirsek kaza" olarak adlandıracağız.
"Dirsek kaza": Kapalı bir eğrinin oluşumu - yok oluşu
İkinci kaza, "mandalina dilimi" kaza olarak bilinir:
"Mandalina dilimi" oluşumu - yok oluşuna ilişkin kaza
Resimlere sağdan sola doğru bakıldığında, bir parabolik silindir bir dihedralin yakınına yaklaşır. Kesişim kümesi, birbirinden ayrı, parabolik biçimli iki eğri ve açıkça dihedralin kenarıdır. Ortadaki resimde dihedralin kenarı silindirin bir doğrusuyla temas halindedir. Bu noktada kenar silindire teğettir. Kesişim kümesi, bir noktada teğet olan iki parabolik eğri ve dihedralin kenarıdır. Sağdaki resimde parabolik silindir hareketini sürdürmüştür. Kesişim eğrisi değişmiştir. Bu eğri, dihedralin kenarı ile kenarın üzerinde iki noktada kesişen parabolik eğrilerden oluşur. Aksine, parabolik silindir sabit durur ve iki "kesim düzlemi" hareket eder gibi düşünebiliriz. Sağdaki resim, iki kırık ya da iki testereyle yapılan kesimleri çağrıştırır. Kesilen parça da gösterilmiştir. Morin bunu "mandalina dilimi" olarak karşılaştırıyordu; oldukça açıklayıcı bir benzetmedir.
Üçüncü kaza "pantolon kaza" olarak bilinir.
"Pantolon kaza"
Resimler yeterince açıklayıcıdır. Sol taraftan sağa doğru bir pantolon suya daldırılır. Solda kuş bacakların arasından geçer ama balık bir bacağı içinde kalmıştır. Sağda balık geçer ama kuşun geçtiği yol yok olmuştur. Ortada ise ara durum. Önemli olan, kesişim eğrisinin yerel olarak değişmesidir; bu, eğri parçalarının birbirine bağlanmasında yapılan bir "cerrahi müdahale" olarak adlandırılır. Bu dönüşümü, küre dönüşümünün homotopisinde en zor uygulanacak ve en zor görülecek olanı olarak iyi anlamaya çalışın. Bu kaza, aynı anda bir geçidi kapatırken, dik bir yönde başka bir geçidi açtığını unutmayın.
Dördüncü ve son kaza, "dört yüzlünün ters çevrilmesi" kaza olarak bilinir:
Dört yüzlünün ters çevrilmesi kaza
Kesişim eğrisi, dört yüzlünün dört kenarının uzantıları olan dört "doğrudan" oluşur. Soldaki resimde dört yüzlü ayrılmıştır ve gri yüzleri dışa dönüktür. Sağdaki resimde tam tersi durum söz konusudur: yüzler pembe. Ortada ara durum: dört yüzlü Q noktası haline gelmiştir (dört yüzeyin kesiştiği nokta olduğu için dörtlü bir noktadır).
Bu dört kaza yardımıyla, kesintisiz bir dizi keskin gömmelerle bir kürenin dönüşümünü inceleyeceğiz. Bu varyant, (körlükten dolayı) matematikçi Bernard Morin'a aittir. Bu karşılaşmamız anlatılması değer bir hikâyedir. Bir gün, edebiyat fakültesinin bir teknisyeni, geometri konulu bir konferans vermek üzere gelen bir konuşmacıya çizim becerilerimi sunmamı istedi. Hiçbir şüpheyle gitmiştim. Her zaman uzayda nesneleri görebilme yeteneğim vardı ve yüksek matematik öğretmenimiz bize geometrik çizim problemleri verdiğinde, onun ifade ettiği şeyi çizerek aynı anda izdüşüm görünümünü de sunardım. Ancak bu sefer işler farklı geçti.
Yukarıdaki resimleri çizmek için hiçbir zorluk yaşamadım. Ancak küre dönüşümünü içeren bir şemaya bu resimleri entegre etmeye çalıştığım anda, birbirinin ardında bulunan yüzeylerin oluşturduğu karmaşık yapıyla karşı karşıya kalmak zorunda kaldım. Hemen hemen çılgına döndüm ve bu garip kişiye tekrar gittim; görsel engeli olmasına rağmen, biçimlerin bu dağılımında benimden daha rahat hissettiğini fark ettim. Sonraki aylarda onun derslerine katıldım. Diyalog oldukça zordu. Onun tarafında sadece sözlü iletişim vardı. Benim tarafımdan ise resimlerimi tanımlamak ya da eve döndükten sonra ya da orada yapılmış modelleri onun eline vermek mümkün oluyordu. Bu diyalogları kaydetmek gerekirdi; tamamen gerçeküstü bir şeydi. Örneğin şöyle bir konuşma olurdu:
- İki eğrinin birbirine, bir yumurta çırpma çubuğu gibi birleşmesini hayal etmeye çalış.
Bu kişilik zorluğuna rağmen, bu karşılaşmalar benim için unutulmaz kaldı. Sonunda, çalıştığımız oturumlar öncesinde iki aspirin yemeyi alışkanlık haline getirdim. Morin'in karakteri, karısının ona verdiği lakapla özetlenebilir: "İyi bir şimşek", Hergé'nin "Tintin Tibet'te" adlı çizgi romanında geçen bir karakter. Morin'in düşmanlarına karşı duyduğu düşmanlık, efsanevi ve geri dönüşü olmayan bir nitelik taşıyordu. Bazı düşmanlarını, "öldüklerini" düşünerek şöyle söylerdi:
- Bazen onlara öteki dünyada küçük bir lanet atarım; eğer zarar vermiyorsa, en azından fayda da sağlamazlar.
İçindekiler'e geri dön Ana sayfaya geri dön
8 Aralık 2004'ten bu yana bu sayfa kaç kez ziyaret edildi: