Matematiksel Felaket Kavramı ile Küre Dönüşümü
Küre Dönüşümü
8 Aralık 2004
Sayfa 4
Bernard Morin'un Sürümü
1979'da B. Morin ve J.P. Petit'in Pour la Science'da yayımlanan makalesinin PDF sürümünü indirmek için:
Küre Dönüşümü (2,8 MB)
Dışarıda gri yüzeyi, içte ise pembe yüzeyi gösteren bir küreyle başlıyoruz. b ve c'de kutuplar birbirine temas ettiriliyor. Ardından kılıflar "dirsek felaketine" göre iç içe giriyor. Kapalı bir kesişme eğrisi oluşuyor. Aşağı sağda, elde edilen yapıyı daha iyi anlayabilmek için üç yarım kesim yer alıyor. Bu aşamada küre, "pamuklu bir kano" gibi, çift duvarlı "bodrum" ve "bodrum" ile birlikte dairesel bir yapıya benziyor.
Birinci aşama: "Dirsek Felaketi". Kapalı bir kesişme eğrisinin oluşumu
İkinci işlem: Yeni bir "dirsek felaketi", ikinci kapalı bir kesişme eğrisinin oluşumu.
İkinci kapalı bir kesişme eğrisinin oluşumu
Bunun için "pamuklu kano", bir sarmal hareketle bükülmüş, karşılıklı iki "bodrum" parçasının birbirine temas ettirilmesini sağlamıştır. Aşağıdaki resim, iki felaketin sonucu oluşan "mandalina dilimleri"ni göstermektedir.
İki "mandalina dilimi" oluştuğunda
Solda modelde kesimler yapılmıştır. Merkezde, yerel olarak "gamma" harfi şeklinde kesimi etkileyen iki silindirin iç içe girmesi gösterilmiştir. "Mandalina dilimi" oluşumunun, iki dihedral düzlemle kesilmiş bir "ağaç kesiti" ile gerçekleştiğini hatırlayalım. "Gamma" kesimli her bir silindirik yapı, hem yuvarlak kesimi hem de dihedral yapısını içerir. i numaralı resme dikkatlice bakın. j'de, kesişme kümesi çizilmiştir. En büyük kapalı eğri, küreyi "pamuklu kano" haline getiren ilk "dirsek felaketinden" gelmektedir. İki mandalina dilimi oluştuğunda, daha karmaşık bir küme elde edilir ve j' bu kümenin bir alt kümesidir. j" de, bu yapının, bir tetrahedronun karşılıklı olmayan iki kenarına yerleştirilmiş iki "mandalina dilimi" gibi bir yapıya benzediği görülmektedir.
Bir gün animasyonlar yapabilirim, o zaman bunlar çok daha kolay anlaşılacaktır. Teknik olarak hiçbir sorunum yok. Sadece zaman sorunu. Uzayda görebilen, yani çizgiler, noktalı çizgiler, renkler, gölgeler ve yansımalar kullanılarak kodlanmış bilgileri okuyabilen, aynı zamanda bu bilgileri hareketi ima eden dönüşümleri zihinlerinde birbirine zincirleyebilen nadir insanlar vardır. Bir gün bunları yapma zamanım olacağını umuyorum. Arada bir, polihedral modelleri kullanabileceğimizi fark ediyoruz. Ben, Crosscap'ın Boy yüzeyine nasıl dönüştürüleceğini göstermek için bunu yapmıştım. Bu, geleceğin yolu. Ama bu modelleri icat etmek gerekir. Aşağıda, Bernard Morin tarafından hayal edilen dönüşümün merkez modelinin, optimize edilmiş polihedral sürümü ve kendinizin bir kesimden nasıl yapabileceğiniz gösterilmiştir. (Hatırlatmak gerekir ki, Morin kördür!)
Neden bu konuları daha ileri götürmedim? Şöyle diyebilirim: "çıkış yolu" eksikliği yüzünden. Matematik dergilerinden biri bile bu tür çalışmalara yer vermiyor. 1975-1978 yıllarında Paris Bilim Akademisi'nin "Comptes Rendus" dergisinde birkaç notum yayımlanabilmişti. Ama muhtemelen bu notalar çok az kişi tarafından okunmuştu. Bunun nedeni, akademisyen André Lichnérowicz'in bu çalışmalarla ilgilenmesiydi. O artık ölmüştür. Bu çalışmalar 1975'te tamamlanmıştı. Bu yüzden, çizimlerimden bir animasyon filmi yapmak istenirdi. Animasyon çizimlerinde çalıştığım için bu işi koordine etmek için tamamen yetenekliydim. Ama CNRS'den finansman sağlayamadım. Sonunda Amerikalı matematikçi Nelson Max, koleğinin Charles Pugh tarafından yapılan maketlerden esinlenerek, güçlü bir bilgisayar kullanarak ilk filmi üretti. Ama bu, Fransızların, çabalarına hiçbir tepki almadan, daha iyi organizasyonlu ve daha iyi desteklenmiş yabancı meslektaşları tarafından önceden geçilmesi için ilk değil, sonuncu örnek değil.
Şimdi üçüncü aşamaya geçiyoruz, en zor anlaşılan aşamaya.
İki "pantolon felaketinin" hazırlanması
k resminde iki "pantolon bacağı" net bir şekilde görülüyor. Detaylar k' resminde gösterilmiştir. Beyaz ok, "bilekler arasında" geçişi gösteriyor. Bu dönüşüm gerçekten anlaşılmak zordur. Daha iyi anlaşılmamı sağlamak için m resmini ekledim. l'de, noktalı çizgilerle kesişme eğrisi gösterilmiştir; bu eğri tamamı l' de yer alır. Okla gösterilen geçiş kapanacak. Bu kapanma hareketi, kesişme eğrisinin iki yerinde yükselmeyle birlikte olacak. Bu eğri parçaları, her biri "mandalina dilimi"ne ait bir çizgi üzerinde temas edecek. Temas sağlandığında cerrahi işlem gerçekleşecek. Zorluk, önceki sayfada dört temel felaket görüldüğünde, bunları boyun kavislerini döndürerek, gerektiğinde boyun kemiklerini bile döndürerek tüm açılarla yorumlayabilmek gerektiği gerçeğindedir. n'de, cerrahi işlemin gerçekleştiği kritik an ("dönüşümün orta durumu") gösterilmiştir. Bu an, eğri parçalarının birbirine bağlanma şekli değişir. Bilindiği gibi, bu "pantolon felaketi", bir geçidi kapatır ve başka birini açar. Başlangıç geçidi beyaz okla gösterilmiştir. Ama aynı açıdan modeli dikey bir eksen etrafında 180 derece döndürürseniz, başka bir geçidin de görüleceğini fark edersiniz. Bu oklar tek bir geçidi temsil eder. Bu felaketler gerçekleşmeden önce, bu "bükülmüş pamuklu kano" içinde dolaşmak mümkün. Ancak bu felaketler etkisini gösterdikten sonra bu geçit artık mümkün olmayacak. Bunun yerine, iki yeni geçit oluşacak. Ama nerede? Hangi uzay bölgeleri etkilenecek? Bu geçitler, "mandalina dilimlerinin" iç kısmını, dışa bağlayacak. l' de, "mandalina dilimlerini" görüyorsunuz. Bir sonraki aşamaya geçelim.
Geçidin kapatılması. İkili kritik duruma doğru
o'da, iki "pantolon felaketinin" farklı iki aşaması gösterilmiştir. Bir geçit tamamen kapanmıştır. Kritik durumdayız, eğri parçalarının birbirine bağlanma şekli değişmeden önceki an. Sağda ( o'nın detayı), geçit hâlâ kapanıyor. Bu yüzden o" deki kesişme eğrisinin görünümü sağ ve sol tarafta farklıdır. p, p' ve p" resimlerinde, dönüşümün orta durumu (kritik durum) her iki tarafta da sağlanmıştır. Bir sonraki sayfada, cerrahilerin etkisi görülmektedir. p" de görünen, "mandalina dilimlerini" dışa bağlayan tüpler artık oluşmuştur:
İki "pantolon felaketinin" etkisi. Geçitler (beyaz oklar) açık.
Şimdi modelin alt kısmında çalışacağız. Detaylar r'de gösterilmiştir. Bu yüzey parçasına dikkatlice bakalım. İki parabolik silindirin birbirini keserek, dik iki yönde yöneldiğini görüyoruz. r'nin alt kısmında, okuyucuya karşı açık bir geçit var. Bu iki silindiri birbirine göre kaydırmayı düşünüyoruz. Bu hareket, bu geçidi kapatır ve dik yönde (sağdan sola) başka bir geçit açar. Burada yeni bir "pantolon felaketi" görüyoruz. Eğer bu parabolik silindir parçalarının dikey kayması gerçekleşirse, tekrar kritik bir duruma ulaşırız; kılıfların birbirine bağlanma şekli değişir. Ancak, sadece ekonomik nedenlerle, bu "işlemi" kritik durumda, okuyucuya doğru olan geçit kapanırken, dik yönde olan geçit henüz açılmamışken durduracağız. Bunu yapalım.
Yeni bir "pantolon felaketi", L şeklinde başlatıldı, sağda kritik durumda durduruldu.
L'de, dışarıda pembe yüzeyi gösteren silindire "basınç" uygulayarak yukarı doğru hareket ettireceğiz. c'de, bu hareketin kesişme kümesi üzerindeki etkisi görülüyor: eğri parçaları birbirine yaklaşmaya başlıyor. Kritik durum ulaşıldığında, bu kısım "yumurta çırpma çubuğu"na benziyor, resimde gösterilmiştir. Sağdaki resimler, t, t', t": kritik durum, yani "felaketin orta anı" gerçekleşmiştir. t" de, alt kısmı yumurta çırpma çubuğumuzun alt kısmına benzer bir kesişme kümesi görülmektedir. t' küçük dört yüzlü hacmi gösterir. t''' dört kılıfın kesişimi gösterilmiştir.
Şu an bir aspirin yiyin.
Bu küre dönüşümü sürümünde, tüm dönüşümler ve felaketler tamamlanmalıdır. Ancak, yeni bahsettiğimiz felaketin orta konumunda, "kritik" durumda durduracağız. Daha sonra henüz kullanmadığımız bir felaket başlatılacak: dörtgenin tersine çevirme felaketi. Yine, "orta durumda" durduracağız; dörtgen bir noktaya indirgenmişken. Hadi yapalım!
Son felaket, orta aşamada durduruldu: Dörtgen dört katlı bir noktaya indirgenmiş.
t''' de, kesişme kümesi içinde bir dörtgenin şekline sahip bir hacim içeren dört kılıfın konfigürasyonu gösterilmiştir. u" de bu dörtgen bir noktaya (dört katlı, çünkü dört kılıf kesişiyor) indirgenmiştir. Solda, "Morin'un dört kulaklı modeli" oluşturulmuştur. Ön planda, kesişme kümesi yer alır; altta "yumurta çırpma çubuğu", üstte dört "tavşan kulakları"na benzer dört kancalar vardır. Yüzeyi biraz bükerek, yeni bir felaket oluşturmaksızın, sağ tarafta Morin'un dört kulaklı merkez modeline ulaşırız. Bu model dört katlı simetriye sahiptir. Eksenine göre 90 derece döndürülürse, aynı resim elde edilir, ancak renkler yer değiştirir. Gri, pembe olur ve tam tersi. Bu yüzden, işin bittiğini söyleyebiliriz. Çünkü, tam bir homotopi çizmek isteseydik, bir animasyonla bu merkez modeli 90 derece döndürmek yeterli olurdu. Daha sonra, yaptığımız tüm çizimleri, renkler değiştirilerek, tersine döndürerek tekrarlayabilirdik. Sonuçta, dışarıda pembe yüzeyi gösteren bir küre gömülecekti. Ama matematik, bir yorgunluk ya da ekonomi okulu olarak kabul edilebilir. İşimiz, dört katlı simetriye sahip bir nesneye ulaştığımız için, burada durup, işlemin başarıyla tamamlandığını söyleyebiliriz.
Bir sonraki sayfada, Morin'un açık merkez modelini mümkün olduğu kadar detaylı bir şekilde tanımlamaya çalıştım. "Kapalı kulaklar"la bir model de, başka bir Akademi notumda tanımladım, ama sizinle paylaşmayacağım.
Morin'un dört kulaklı merkez modelinin detaylı açıklaması
Daha sonra, dört kulaklı merkez modelin bir polihedral temsiline ulaştım. Aslında bu modelin "yukarı" veya "aşağı" bir yönü yoktur. Görünüm ve animasyon açısından kolaylık sağlamak amacıyla (20'lerin başlarında geliştirdiğim, bilgisayar destekli tasarım yazılımıyla bu resimleri elde ettim) aşağıdaki animasyonlu GIF, bu modeli dört katlı noktayı yukarıda göstererek gösteriyor. Dört katlı nokta da görülebilir:
Dört kulaklı modelin polihedral sürümüm
Bu modeli bir kesimle nasıl yapacağınızı öğrenin
Kesim parçaları (dört sayfaya, iki renkli, kalın kağıda yazdırıp fotokopi edin)
İlk animasyonda nesne, yukarıdaki görünüme göre "aynalı"ydı. Bu yüzden, "üstten bakıldığında" bir "gamma kesişimi" şekli alıyordu; toplamı, bir tür "neo-nazist parti için kültürel ev" gibi bir şey çağrıştırıyordu. Daha iyi bir şey yapmak istedim ve nesneyi tersine çevirdim, böylece sağcı mimarların kötü fikirler almalarını önlemek istedim. Buraya tıklayarak bu nesneyi kendiniz yapma konusunda tüm açıklamaları edinebilirsiniz. Son olarak, bu nesnenin birkaç görünüşü:
Küre dönüşümünü anlatırken, inanılmaz ama tamamen doğru bir anekdotla bitireceğim. Bu dönüşümler, çok az kişi tarafından bilinirken, bir patron bir milyon dolarlık ödül vaat etti: yeterince açıklayıcı modelleri yapabilen kişiye. Berkeley'de matematikçi Charles Pugh bu işe girişti ve başarıyla tamamladı. Bu parayla bir ev aldı. Bu modeller, tavuk teliyle yapılmış ve her biri iyi bir metre çapında (Pugh, inanılmaz bir ustalıkla yapılarının kesişmesini sağlayarak telleri kesip birbirine bağlayabilmişti) yıllarca Berkeley Matematik Bölümü'nün kantininde tavana asılı kaldı. Sonra bir gece çalındı ve hiçbir iz bırakmadı. Kimin çaldığı bilinmedi. Ticari olarak, Louvre'daki Mona Lisa'dan daha zor satılabilirdi. Belki bir koleksiyoner, bir sırda bir mağarada saklıyor ve her akşam, "sadece ben bunları görebiliyorum" diye düşünerek onlara inançla bakıyor.
Başka bir anekdot, benim ilk kez meridyen eğrilerini tanımladığım Boy yüzeyiyle ilgilidir; bunları bir elips ailesi olarak tanımladım. Bu çalışma tamamen deneysel olarak, benim yaptığım metal modelden yola çıkarak yapıldı. O dönemde fizikçi olarak okuyan matematikçi Jean-Marie Souriau'nun oğlu Jérôme, babasının Apple II bilgisayarını kullanarak, şu tür parametrik bir temsilin ilkini üretti:
X = X ( alpha , mu )
Y = Y ( alpha , mu )
Z = Z ( alpha , mu )
Dreamweaver'da "Symbol" yazı tipini ekleyemiyorum; bu da, bir HTML sayfasına Yunan harfleri eklememi sağlayamıyor. Kimse bana bunu nasıl yapacağımı anlatabilir mi?
On satır BASIC programıyla, 1981 yılında ilk kez "tel modeli" şeklinde Boy yüzeyinin görüntüleri ekrana geldi. Eğer bu nesnenin bazı sitelerde sentetik görüntüleri görürseniz, hepsi bu Akademi'de yayımlanan çalışmadan türetilmiştir (293. cilt, 5 Ekim 1981, 1. seride, ss. 269-272). Bu çalışmayı imzalayanlar J.P. Petit ve J. Souriau olduğundan, (az sayıda) okuyucular J. Souriau'nun tanınmış bir matematikçi olduğunu düşünür. Aslında bu, oğlu Jérôme'dur; fizik lisansını tamamlamadı ve bilgisayar uzmanı olmayı tercih etti. Görüntülerin sentetik olarak üretildiğini, özellikle Politeknik'te çalışan Colonna tarafından yapılan birçok görüntüyü, Jérôme ve benim bulduğumuz bu denklemlere dayandığını görmek kolaydır. Bu görüntüleri iyileştirmek gerekir; bu eksiklik yüzünden, kutup yakınında yüzey üç oldukça estetik olmayan katlanma gösterir. Bu "tel modeli" oluşturmak için gerekli program aşağıdadır.
**
Program, Topologicon'dan alındı**:
Son anekdot daha da etkileyici. Yaklaşık yirmi yıl önce, denizaltı keşif gezisine, dalışcı Jacques Mayol ile birlikte Bahamalar'ın güneyinde katıldım. Amacımız, Charles Berlitz'in ünlü "Bermuda Üçgeni" kitabında bahsedilen "s