Matematiksel Felaketin Küresel Dönüşümü
Kürenin Dönüşümü
8 Aralık 2004
sayfa 4
Bernard Morin'un Sürümü
1979'da B. Morin ve J.P. Petit'in Pour la Science'da yayımlanan makalesinin PDF sürümünü indirmek için
Kürenin Dönüşümü (2,8 MB)
Dışa doğru gri yüzeyi, içe doğru pembe yüzeyi gösteren bir küreyle başlıyoruz. b ve c'de kutuplar birbirine temas ettiriliyor. Ardından yüzeyler "dirsek felaketine" göre birbirini kesiyor. Kapalı bir kesişim eğrisi oluşuyor. Aşağı sağda üç yarım kesim, elde edilen yapıyı daha iyi anlamanıza yardımcı oluyor. Bu aşamada küre, "pamuklu bir kano" gibi, çift duvarlı bir "bodrum" ve bir "bodrum" içeren bir yapıya benziyor.
İlk aşama: "Dirsek Felaketi". Kapalı bir kesişim eğrisi oluşumu
İkinci işlem: Yeni bir "dirsek felaketi", ikinci kapalı bir kesişim eğrisi oluşumu.
İkinci kapalı kesişim eğrisi oluşumu
Bunun için "pamuklu kano" bir sarmal hareketle bükülüyor, böylece "bodrum"un karşılıklı iki parçası birbirine temas ettiriliyor. Sonraki resim, iki felaket sonucu "portakal dilimi" oluşumunu gösteriyor.
İki "portakal dilimi" oluşumundan sonra
Solda modelde kesimler yapıldı. Ortada, yerel olarak "gamma" harfi şeklinde kesimi etkileyen iki silindirin birbirini nasıl kestiği gösteriliyor. "Portakal dilimi" oluşumunun, iki düzlemle bir "dihedral" oluşturarak bir "kütük" kesilmesiyle gerçekleştiğini hatırlayalım. "Gamma" kesimine sahip her bir silindirik yapı hem yuvarlak kesimi hem de dihedrali içerir. i numaralı resme dikkatlice bakın. j'de tüm kesişimlerin birleşimi çizildi. En büyük kapalı eğri parçası, küreyi "pamuklu kano" haline getiren ilk "dirsek felaketinden" kaynaklanıyor. İki portakal dilimi oluştuğunda, daha karmaşık bir yapı elde ediliyor ve j'nin bir alt kümesi haline geliyor. j" de bu yapının, bir tetrahedronun karşılıklı olmayan iki kenarına yerleştirilmiş iki "portakal dilimine" benzediği görülüyor.
Bir gün animasyonlar yapabileceğim zaman bu konular çok daha kolay anlaşılacaktır. Teknik olarak hiçbir sorunum yok. Sadece zaman sorunu. Uzayda görebilen, yani çizgiler, noktalı çizgiler, renkler, gölgeler ve yansımalar kullanılarak kodlanmış yapıları okuyabilen, aynı zamanda bu yapıların hareketini hayal ederek zihninde dönüşümleri zincirleyebilen nadir insanlar vardır. Bir gün bunları yapacak zamanım olacağını umuyorum. Arada bir, polihedral modeller kullanılabileceğini fark ediyoruz. Ben, bir Crosscap'ın Boy yüzeyine nasıl dönüştürüleceğini göstermek için bunu yapmıştım. İşte geleceğin yolu burada. Ama bu modelleri icat etmek gerekiyor. Aşağıda Bernard Morin'un hayal ettiği dönüşümün merkez modelinin optimize edilmiş polihedral sürümü ve kendinizin bir kesimden nasıl yapacağını gösteren yöntem yer alıyor. (Unutmayın ki Morin, bir körlükten dolayı!) Neden bunu daha ileri götürmedim? Şunu diyebilirim: "çıkış yolu" eksikliği yüzünden. Matematik dergileri bu tür çalışmaların yayınlanmasını kabul etmiyor. 1975-1978 yılları arasında Paris Bilim Akademisi'nin "Comptes Rendus" dergisinde birkaç notum yayınlandı. Ama bu notaların büyük bir kitle tarafından okunmuş olma ihtimali yok. Bunun nedeni, akademisyen André Lichnérowicz'un bu çalışmalara kişisel ilgi göstermesiydi. O artık ölmüştür. Bu çalışmalar 1975 yılında tamamlanmıştı. Bu yüzden, çizimlerimden bir animasyon filmi yapmak istenmeliydi. Animasyon çizimleriyle çalıştığım için bu işi koordine edebileceğim biri olurdum. Ama CNRS'den finansman sağlayamadık. Sonunda Amerikalı matematikçi Nelson Max, aynı dönüşümün bir modeli olan Charles Pugh tarafından yapılan maketlerden ilham alarak güçlü bir bilgisayar kullanarak ilk filmi üretti. Ama bu, Fransızların, hiçbir tepki alamadan, daha iyi organize edilmiş ve daha iyi desteklenen yabancı meslektaşları tarafından bir kez daha geride bırakıldıklarının ilk ve son değil.
Üçüncü aşamaya geçelim, en zor anlaşılan.
İki "pantolon felaketinin" hazırlanması
k resminde iki "pantolon bacağı" net bir şekilde görülüyor. Detaylar k' resminde gösteriliyor. Beyaz ok, "bilekler arasında" geçişi gösteriyor. Bu dönüşüm gerçekten anlaşılmak zor. Daha iyi anlaşılması için m resmini ekledim. l'de noktalı çizgilerle kesişim eğrisi gösterildi, bu eğri l'de tam olarak görülüyor. Okla gösterilen geçiş kapanacak. Bu kapanma hareketi, kesişim eğrisinin iki noktasında yükselerek gerçekleşecek. Bu eğri parçaları, karşılıklı olarak "portakal dilimlerine" ait çizgiler üzerinde birbirine temas edecek. Temas sağlandığında, cerrahi işlem gerçekleşecek. Zorluk, önceki sayfada dört temel felaket görüldükten sonra, boyun kemiklerinizi bile döndürerek, tüm açılarla bu felaketleri zihinde canlandırmak zorunda olmanızdır. n'de cerrahi işlemin gerçekleştiği, dönüşümün "ortadaki durumunu" gösteren kritik anı görüyorsunuz. Bu noktada, eğri parçalarının birbirine bağlanma şekli değişiyor. Bu "pantolon felaketi"nin bir geçidi kapatıp başka birini açtığını biliyoruz. Başlangıçtaki geçit beyaz okla gösteriliyor. Ama aynı açıdan modeli dikey bir eksen etrafında 180 derece döndürürseniz, başka bir geçidin de görülebileceğini fark edersiniz. Bu oklar birbirini oluşturuyor. Bu felaketler gerçekleşmeden önce, bu "bükülmüş pamuklu kano" içinde dolaşmak mümkün. Ancak bu felaketler işlevini yerine getirdiğinde, bu geçit artık mümkün olmayacak. Bunun yerine, iki yeni geçit oluşacak. Ama nerede? Hangi uzay bölgeleri etkileniyor? Bu geçitler, portakal dilimlerinin içini dışa bağlayacak. l'de portakal dilimlerini görüyorsunuz. Bir sonraki aşamaya geçelim.
Geçidin kapanması. Çift kritik duruma doğru
o'da iki "pantolon felaketinin" farklı iki aşaması gösteriliyor. Bir geçit tamamen kapanmış. Kritik durumdayız, eğri parçalarının birbirine bağlanma şekli değişmeden önceki an. Sağda ( o'nın ayrıntısı), geçit sadece kapanmaya başlıyor. Bu yüzden o"deki kesişim eğrisinin sağ ve sol taraflarında farklı görünümler var. p, p' ve p" resimlerinde dönüşümün "ortadaki durumu" (kritik durum) her iki tarafta da gerçekleşmiş. Sonraki sayfada cerrahilerin etkisi görülmektedir. p"de görünen, portakal dilimlerini dışa bağlayan tüpler artık oluşmuş:
İki "pantolon felaketinin" etkisi. Geçitler (beyaz oklar) açık.
Şimdi modelin alt kısmında çalışacağız. Detaylar r'de gösteriliyor. Bu yüzey parçasına dikkatlice bakalım. İki parabolik silindirin birbirini keserek, dik yönlerde yönlendiğini görüyoruz. r'nin alt kısmında, okuyucuya karşı bir geçit var. Şimdi bu iki silindiri birbirine göre kaydırmayı düşünelim. Bu hareket, bu geçidi kapatıp, dik yönde (sağdan sola) başka bir geçit açacaktır. Burada yeni bir "pantolon felaketini" tanıyoruz. Eğer bu parabolik silindir parçalarının dikey kayması gerçekleşirse, tekrar kritik bir duruma ulaşırız, yüzeylerin birbirine bağlanma şekli değişecektir. Ama aslında, sadece maliyetten dolayı, geçit okuyucuya doğru kapanırken ve dik yöndeki geçit henüz açılmamışken, bu "işlemi" kritik durumda, "ortadaki durumda" durduracağız. Bunu yapalım.
Yeni bir pantolon felaketi, L şeklinde başlattık, sağda kritik durumda durdurduk.
L'de, dışa doğru pembe yüzeyi gösteren silindire "basınç" uygulayacağız ve yükseltelim. c'de bu hareketin tüm kesişim üzerindeki etkisi görülüyor: eğri parçaları birbirine yaklaşmaya başlıyor. Kritik durum ulaşıldığında, bu kısım "yumurtayı çırpacak bir fırçaya" benziyor, resimde gösterildiği gibi. Sağdaki resimler, t, t', t": kritik durum gerçekleşti, yani felaketin "ortadaki anı". t" de, alt kısmı yumurtayı çırpacak fırçaya benzer olan kesişim yapısının görünümü görülüyor. t'de küçük bir dört yüzlü hacim görülüyor. t''' de dört yüzeyin kesişimi gösteriliyor.
Şu an bir aspirin yiyin.
Bu kürenin dönüşümü sürümünde tüm dönüşümler ve felaketler tamamlanmalı. Ama biz son olarak ele aldığımız felaketin orta konumunda, "kritik" durumda durduracağız. Sonra henüz kullanmadığımız bir felaket başlatacağız: dörtgeni tersine çeviren felaket. Ama yine de, bu dörtgen bir noktaya indirgenmişken, "ortadaki durumda" durduracağız. Hadi yapalım!
Son felaket, orta aşamada durduruldu: Dörtgen, dört katlı bir Q noktasına indirgenmiş
t''' de dört yüzeyin konfigürasyonu, kesişimlerin bir dörtgen şeklinde bir hacim içerdiği görülüyor. u" de bu dörtgen, dört yüzeyin kesiştiği dört katlı bir noktaya indirgenmiş. Solda, "Morin'un dört kulaklı modeli" oluşturuldu. Ön planda, altta "yumurtayı çırpacak fırça", üstte dört "tavşan kulakları"na benzer dört kısım görülmektedir. Yüzeyi biraz bükerek, yeni bir felaket yapmadan, sağda "Morin'un dört kulaklı merkez modeline" ulaşılıyor. Bu model dört katlı simetriye sahiptir. Dörtgenin dikey simetri eksenine göre 90 derece döndürülürse, aynı resim elde edilir, ama renkler yer değiştirir. Gri renk pembe olur ve tam tersi. Bu yüzden işin bittiğini söyleyebiliriz. Çünkü, tam bir homotopi çizmek isteseydik, bir animasyonla bu merkez modeli 90 derece döndürmek yeterli olurdu. Daha sonra, yaptığımız tüm resimleri, renkler değiştirilerek, tersine döndürerek tekrarlayabilirdik. Sonuçta, dışa doğru pembe yüzeyi gösteren bir küre gömülecek. Ama matematik, tembellik ya da ekonomi okulu. Bu nedenle, çalışmanın bize dört katlı simetriye sahip bir nesne getirdiğini gördükçe, işin bittiğini söyleyip durabiliriz.
Bir sonraki sayfada, Morin'un açık merkez modelini mümkün olduğunca detaylı olarak tanımlamaya çalıştım. "Kapalı kulakları" olan bir model de var, bunu başka bir Akademi notumda tanımladım, ama size bunu sunmayacağım.
Morin'un dört kulaklı merkez modelinin detaylı açıklaması
Daha sonra, dört kulaklı merkez modelin bir polihedral gösterimini buldum. Aslında bu modelin "üst" ya da "alt" tarafı yoktur. Görselleştirme ve animasyon açısından kolaylık sağlamak amacıyla (20'lerin başlarında geliştirdiğim, bilgisayar destekli tasarım yazılımıyla bu resimleri elde ettim), aşağıdaki animasyon, dört katlı noktayı yukarıda gösteren bu modeli gösteriyor. Dört katlı nokta da görülebilir:
Dört kulaklı modelin polihedral sürümüm
Kesimle bu modeli nasıl yapacağınızı
Kesim parçaları (dört sayfaya, iki renkli, kalın kâğıda yazdırıp fotokopi edin)
İlk animasyonda nesne yukarıdaki görünüme göre "aynalı"ydı. Yani, "üstten bakıldığında" bir "gamma çaprazı" şeklindeydi, tüm yapı bir tür "neo-nasyonalist parti için kültür evi" gibi bir şey çağrıştırıyordu. Bu yüzden, sağcı mimarlar için kötü fikirler üretmesin diye nesneyi ters çevirmeyi tercih ettim. Buraya tıklayarak, bu nesneyi kendiniz kurma yöntemini tüm açıklamalarıyla öğrenebilirsiniz. Son olarak, bu nesnenin birkaç görünümü.
Kürenin dönüşümünü anlatırken, inanılmaz ama tamamen doğru bir anekdotla bitireceğim. Bu dönüşümler, çok az kişi tarafından bilinirken, bir patron, yeterince açıklayıcı modeller yapmayı başaran kişiye bir milyon dolarlık ödül vaat etti. Berkeley'de matematikçi Charles Pugh bu işe girişti ve başarıyla tamamladı. Para ile bir ev aldı. Bu modeller, tavuk teliyle yapılmış ve her biri iyi bir metre çapta idi (Pugh, yapısının kesişimlerini sağlayacak şekilde, inanılmaz bir ustalıkla telleri kesip birbirine bağlayabiliyordu). Bu modeller, Berkeley Matematik Bölümü'nün kafeteryasında yıllarca tavana asılı kaldı. Sonra bir gece çalındılar ve hiçbir izleri bulunamadı. Kimin çaldığı bilinmedi. Ticari açıdan, Louvre'daki Mona Lisa'dan daha zor satılacaktı. Belki bir amatör, bir sır tıraşında saklı tutuyor ve her akşam, "Sadece ben bunları görebiliyorum" diyerek gurur duyuyor.
Başka bir anekdot da, benim ilk kez meridyen eğrilerini tanımladığım Boy yüzeyiyle ilgili. Bu eğrileri, bir elips ailesi olarak tanımladım. Bu çalışma tamamen deneysel olarak, benim yaptığı metal modelden yola çıkarak yapıldı. Matematikçi Jean-Marie Souriau'nun oğlu Jérôme, o zamanlar fizik öğrencisiydi. Babasının Apple II mikro bilgisayarını kullanarak, bu nesnenin ilk parametrik temsili olan şu tür bir temsili elde etti:
X = X ( alpha , mu )
Y = Y ( alpha , mu )
Z = Z ( alpha , mu )
Dreamweaver'da "Symbol" fontunu dahil edemiyorum, bu yüzden sayfaya Yunan harfleri ekleyemiyorum. Kimse bana bunu nasıl yapacağımı anlatırsa sevinirim...
On satır BASIC programıyla, 1981 yılında ilk kez "tel modeli" şeklinde Boy yüzeyinin görüntülerini ekran üzerinde görebildik. Eğer bu nesnenin bir yerde sentetik görüntülerini bulursanız, hepsi bu Akademi'de yayımlanan çalışmadan türetilmiştir (293. cilt, 5 Ekim 1981, 1. seride, sayfa 269-272). Bu çalışma J.P. Petit ve J. Souriau tarafından imzalanmış. (Nadir) okuyucular, J. Souriau'nun bilinen bir matematikçi olduğunu düşünür. Aslında bu, oğlu Jérôme'dur, fizik lisansını tamamlamadı ve bilgisayar uzmanı olmayı tercih etti. Görüntülerin sentetik olarak oluşturulmasında, özellikle École Polytechnique'de çalışan polihedral Colonna'nın yaptığı birçok çalışma, Jérôme ve benim bulduğumuz bu denklemlere dayanmaktadır. Bu çalışmalar geliştirilmeye ihtiyaç duyar ve tamamlanmamış olmasından dolayı, yüzeyin kutup bölgesinde üç gölge oldukça estetik olmayan görünümü vardır. Bu "tel modeli" temsillerini oluşturmak için gerekli program aşağıdadır.
**
Program, Topologicon'dan alındı:**
Son anekdot daha da şaşırtıcı. Yaklaşık yirmi yıl önce, Bahamalar'ın güneyinde bir deniz altı keşif gezisine, dalışçı Jacques Mayol ile katıldım. Amacımız, Charles Berlitz'in ünlü "Bermuda Üçgeni" adlı kitabında bahsettiği "batmış bir piramit"i bulmak. Daha net ifade edersek, bu piramit Cay Sal Bank kıyısının güneyinde, Florida ile Kuba arasında bir yerde olmalıydı. Bu bölge, yüksek denizdeki balıkçılara dolu, oldukça tehlikeliydi. A