Klein'in Tornu Dönüşümü
Tornun Dönüşümü
9 Aralık 2004
sayfa 6
Tornun Trivial Olmayan Dönüşümü
J.P. Petit:
Akademie des Sciences, Cilt 293, 5 Ekim 1981, Seri 1, ss. 269-272
Yalnızca resimlerin devamını sunmaya yetineceğim, yorum yapmayacağım.
Tornun Trivial Olmayan Dönüşümü. Dönüşümün Birinci Kısımı
Tornun Trivial Olmayan Dönüşümü. Dönüşümün İkinci Kısımı
v figürüne ulaşıldığında, gri ve pembe yapıların birbirine oturmasıyla bu cismin Klein şişesinin iki katlı bir kaplamasına dönüştürülebileceğini görebiliriz.
Bu noktada, karşılıklı yüzeylerin yer değiştirmesiyle dönüşüm gerçekleşir. Aşağıda aynı resim, renk kodlamalı olarak verilmiştir.
Renk Kodlamalı İki Katlı Klein Şişesi Kaplaması
(Bu resim, CNRS'ye yıllık raporumun bir parçası değildir. Topologicon'da bulacaksınız.)
Tornların Farklı Aileleri
1957'de Stephen Smale, kürenin sadece bir tane gömme ailesi olduğunu ve bu gömme türlerinin hepsinin bir homotopi ile birbirine bağlanabileceğini göstermişti. Bu gömme türleri, nötr elemanı cismin durumunu değiştirmeyen bir grup oluşturuyordu. Tornun da aynı durumda olup olmadığı merak edildi. Matematikçiler Ioan James ve Emery Thomas, tornun gömme türlerinin dört kıtaya dağıldığını ve bu kıtalar arasında düzgün bir homotopi ile geçişin mümkün olmadığını gösterdiler.
Dört Tornu Ailesi
Sayfanın ortasında çizilen "standart torn", b'deki cisimle aynı aileye aittir. 1980'de icat ettiğim tornun dönüşüm versiyonunda bunu geçici olarak göstermiştim. a'da bahsedilen aile, 360°'lik bir sarmalama geçirmiş bir tornu temsil eder. Standart torna benzer görünse de, ikisi de iki eğri ailesiyle tanımlanır. Standart tornada, birbirine paralel ve birbirine dik meridyenler ve paraleller olarak kabul edilen iki çember ailesi kullanılır. a'daki tornu için, üzerine yapıştırılmış çember ailesini, ters yönde sarmalayan ikinci bir çember ailesiyle tamamlamak gerekir. Bu durumda, düzgün bir homotopi ile bu a tornunun örgüsüyle standart tornun örgüsü (meridyenler ve paraleller) birbirine oturamaz. Bu anlamda, bu cisimler farklıdır. Bu tür tüm cisimler, elbette Klein şişesinin iki katlı bir kaplaması olarak da yapılandırılabilir.
Geometrinin güçlü aracı, mümkün olanı ve olmayanı önceden tahmin edebilme kapasitesidir. Standart tornu b'deki torna dönüştürmek: evet. c'den d'ye geçmek: hayır.
Bu, gereğinden fazla zaman kaybetmeyi önler ve özellikle, küreyi döndürmek gibi açıkça görünmeyen şeyleri aramaya teşvik eder. Tüm bilimlerde aynı durum geçerlidir. İnsanlar, yıllarca hatta yüzyıllarca, bunları yapmanın imkânsız olduğunu düşündükleri için verimli yollara göz atamamışlardır. Hava akımı içinde süpersonik hızla hareket eden bir cismin etrafında şok dalgalarını yok etme teorisi üzerine, Laplace kuvvet alanı ve "MHD" ile birkaç yıl harcadım. Bir öğrenci benim yönlendirmemle bu konuda doktora tezi yazdı ve çalışmalarımız çeşitli hakemli dergilerde ve bilimsel kongrelerde yayınlandı. Bu konu, 30 yıl sonra hâlâ yeni başlamış gibi görünüyor. Amerikalıların, şok dalgası oluşturmadan (özellikle bu "patlamalar"ın arkasında kalan hava sıkıştırılmasından kaynaklanan büyük termal gerilmeleri yaşamadan) Mach 10 hızında uçabilen hipersonik uçaklara sahip olduğu tahmin ediliyor. Bu, ünlü "Aurora" hikâyesiyle ilgilidir; 80 ile 150 km yükseklikte, kutup ışıklarının oluştuğu yerlerde seyahat eden bir uçağın. Aurora, aynı zamanda, hava ile yürüyen ve CNES roketlerinden çok daha ekonomik olacak olan geleceğin uzay fırlatıcılarının öncüsüdür. 1975'te bu fikirleri benimsemiş olsam da, Fransa'da bunun gibi araştırmalar başlatmak mümkün olmadı; özellikle CNRS'de bu fikirler tamamen mantıksız bulunuyordu. Bu durum, bence ABD'ye göre 30 yıllık bir gerilik anlamına geliyor ve bu geriliği tamamen kapatmak imkânsız.
Tütün Poşeti Şakası
Tamam olmak için, kürenin dönüşümünü merkeze alan tütün poşeti temalı versiyonları da belirtmek gerekir. Ben gençken yaygın olan bu nesnelerin günümüzde nadiren görüldüğünü düşünüyorum. Bu dizileri ilk çizen kişi Georges Francis'ti. Son birkaç yıldır, bu versiyonların çok yüzlü bir versiyonu üzerinde çalışıyorum ve zaten oldukça güzel bir merkez model elde ettim. Ama bunu size gösterebilmem için, tekrar elime geçirmemi beklemem gerekiyor. Umuyorum ki yakında bu mümkün olur, çünkü bu, benim hiç yarattığım en büyüleyici nesnelerden biri.
Önceki Sayfa Sonraki Sayfa
İçindekiler'e Dön Ana Sayfaya Dön
8 Aralık 2004'ten bu yana bu sayfaya yapılan ziyaret sayısı: