Klein'in Tornu Dönüşümü
Tornun Dönüşümü
9 Aralık 2004
sayfa 6
Tornun Düzgün Olmayan Dönüşümü
J.P. Petit:
Bilim Akademisi Dergisi, cilt 293, 5 Ekim 1981 tarihli oturum, 1. seride, ss. 269-272
Sadece çizimlerin devamını sunmaya yetineceğim, yorum yapmayacağım.
Tornun Düzgün Olmayan Dönüşümü. Dönüşümün Birinci Kısmı
Tornun Düzgün Olmayan Dönüşümü. Dönüşümün İkinci Kısmı
Şekil v'ye geldiğimizde gri ve pembe yapıların birbirine oturması oldukça kolay olduğunu görürüz; bu da bu nesnenin Klein şişesinin iki katlı bir kaplamasına dönüşmesini sağlar.
Bu noktada, karşılıklı yüzeylerin yer değiştirilmesiyle dönüşüm gerçekleşir. Aşağıda, aynı çizim, renk kodlamalı olarak verilmiştir.
Klein şişesinin iki katlı kaplaması, renk kodlamalı
(Bu çizim, CNRS'ye yıllık raporumun bir parçası değildir. Topologicon'da bulacaksınız.)
Tornun Farklı Aileleri
1957'de Stephen Smale, kürenin sadece bir tane gömme ailesi olduğunu ve bunların tümünün bir homotopi ile birbirine bağlanabileceğini göstermişti. Bu aileler, nesnenin durumunu değiştirmeyen birim elemanı olan bir grup oluşturuyordu. Tornun durumunun da aynı olup olmadığı merak edildi. Matematikçiler Ioan James ve Emery Thomas, tornun gömme yapılarının dört kıtaya dağıldığını ve bunlar arasında düzgün bir homotopi ile geçişin mümkün olmadığını gösterdiler.
Tornun Dört Ailesi
Sayfa ortasında çizilen "standart torn", b'deki nesneyle aynı aileye aittir. 1980'de icat ettiğim torn dönüşümünün versiyonunda bunu geçici olarak göstermiştim. a'da bahsedilen aile, 360 derece döndürülmemiş bir tornu temsil eder. Standart torna benzer ama ikisi de haritalama sistemleriyle tanımlanır; iki tür eğri ailesi kullanılır. Standart tornada, meridyenler ve paraleller olarak kabul edilen iki çember ailesi kullanılır. a'daki tornun üzerindeki çember ailesini tamamlamak için, ters yönde dönen ikinci bir çember ailesi eklenmelidir. Bu durumda, düzgün bir homotopi ile a tornunun örgüsüyle standart tornun örgüsünü (meridyenler ve paraleller) eşleştirmenin mümkün olmadığını gösterebiliriz. Bu anlamda, farklı nesnelerdir. Bu tür tüm nesneler, elbette Klein şişesinin iki katlı bir kaplaması olarak yapılandırılabilir.
Geometrinin güçlü aracı, mümkün olanı ve olmayanı önceden tahmin edebilme yeteneğidir. Standart tornu b'deki torna dönüştürmek: evet. c'den d'ye geçmek: hayır.
Bu, gereğinden fazla zaman kaybetmeyi engeller ve özellikle, küreyi döndürmek gibi açıkça görünmeyen şeyleri araştırmaya teşvik eder. Bu, tüm bilimlerde geçerlidir. İnsanlar, yıllar veya hatta yüzyıllar boyunca verimli yöntemlerden uzak durabilirler; çünkü bunların mümkün olmadığını sanırlar. 1975'te, Laplace kuvvet alanları ve "MHD" (Magnetohidrodinamik) kullanarak, bir gaz içinde süpersonik hızla hareket eden bir nesnenin etrafındaki şok dalgalarının yok edilmesi üzerine bir teori geliştirmek için birkaç yılımı harcadım. Bir öğrenci, bu konuda benim yönlendirmem altında doktora tezi hazırladı ve bu çalışmalarımı çeşitli hakemli dergilerde ve bilimsel kongrelerde yayımladık. Bu konu, otuz yıl sonra hâlâ yeni başlamış gibi görünüyor. Amerikalıların, şok dalgası oluşturmadan (özellikle bu "patlamaların" arkasında kalan hava sıkıştırmasından kaynaklanan büyük termal gerilmelerden korunmadan) Mach 10 hızında uçabilen hipersonik uçaklara sahip oldukları tahmin ediliyor. Bu, 80 ile 150 km arasında, kutup ışıklarının meydana geldiği yükseklikte seyahat eden ünlü "Aurora" uçağıdır. Aurora ayrıca, hava üzerinde durarak çok daha ekonomik olan, CNES füzesinden çok daha iyi olan geleceğin uzay fırlatıcılarının öncüsüdür. Fransa'da bu tür araştırmaları başlatmak mümkün değildi (1975'te bu fikirlerimi geliştirdim); çünkü özellikle CNRS'te insanlar bunu tamamen mantıksız buluyordu. Bu durum, bana göre ABD'ye göre otuz yıllık bir gerilik yaratmış ve bu geriliği tamamen kapatmak mümkün görünmüyor.
Tütün şişesi şakası
Tamamlanmış bir açıklama için, merkezinde bir tütün şişesi olan küre dönüşümü versiyonlarını da belirtmek gerekir. Ben gençken yaygın olan bu nesne, günümüzde pek görülmemektedir. Bu dizileri ilk çizen kişi Georges Francis'tir. Son birkaç yıldır, bu versiyonların çok yüzlü bir versiyonu üzerinde çalışıyorum ve zaten oldukça güzel bir merkezi model elde ettim. Ancak bunu size göstermek için, elime tekrar ulaşmam gerekiyor. Umuyorum ki, yakında bunu başarabilirim; çünkü bu, hayatım boyunca yarattığım en büyüleyici nesnelerden biridir.
Önceki sayfa Sonraki sayfa
İçindekiler'e geri dön Ana sayfaya geri dön
Bu sayfaya 8 Aralık 2004'ten beri toplamda erişim sayısı: