6
Bargmann grubunun moment bileşenlerini yazmayacağız. Şematik olarak Bargmann grubunun momentini şöyle yazalım:
J B = { bir skaler m, momentin diğer bileşenleri }
Ko-eksen eylem
momentin farklı bileşenlerinin nasıl dönüştüğünü gösterir. Ancak bu ko-eksen eylem basit bir ilişkiyle başlar:
(63)
m' = m
Bargmann grubunun momentine uyguladığı ko-eksen eylem, kütleyi koruyarak başlar ve bu da kütleyi saf bir geometrik statüye taşır.
Poincaré grubunun moment uzayına J p üzerindeki ko-eksen eyleminin inşası.
Eğer tamamen kaybolmuşsanız, bırakın. Bu normaldir ve sayfalar ilerledikçe giderek daha zorlaşacaktır. Bu noktada, bunun kimlere hitap ettiğini tam olarak bilmiyorum. Muhtemelen teorik fizikçiler veya matematikçiler için olacak, ancak muhtemelen bir çatı ustası veya demirci için değil. Ama bir Lisans veya Büyük Okul öğrencisi, tutunmaya kararlıysa, takip edebilir. Sadece matrislerden ibarettirler.
Her şey, 4x4 boyutunda matrislerden oluşan Lorentz grubundan başlar. Bu grubun elemanı L'dir.
Bu matrisler, bir G matrisi üzerinden aksiyomatik olarak tanımlanır:
(64)
şu şekilde:
(65)
t L G L = G
burada L matrisinin transpozu yer alır.
L matrisleri bir grup oluşturur.
Kanıt.
Birim eleman L = 1'dir:
L1 ve L2, kümenin iki elemanı olsun. L1L2'nin grubun bir elemanı olup olmadığını kontrol edelim. Eğer öyleyse:
t (L1L2) G L1L2 = G
Ancak:
t (A B) = t B t A
Dolayısıyla:
t (L1L2) G L1L2 = t L2 t L1 G L1L2 = t L2 (t L1 G L1) L2 = t L2 G L2
Şimdi L matrisinin tersini hesaplayalım. L elemanlarının aksiyomatik tanımından başlıyoruz:
t L G L = G
Sağa L⁻¹ ile çarpalım:
t L G L L⁻¹ = G L⁻¹ → t L G = G L⁻¹
Sola G ile çarpalım:
G t L G = G G L⁻¹ → G t L G = L⁻¹
Dolayısıyla L'nin ters matrisi:
L⁻¹ = G t L G
Yani:
(66)
uzay-zaman vektörü. G matrisi Minkowski metriğinden gelir ve c = 1 alındığında şu şekilde yazılabilir:
(67)
Alıştırma: Matrisin tersinin şu eşitliği sağladığını gösterin:
(68)
Şimdi bir uzay-zaman öteleme vektörü tanımlayalım:
(69)
Bu vektörden yola çıkarak Poincaré grubunun elemanı gp'yi oluşturuyoruz:
(70)
Alıştırma: Bu elemanların bir grup oluşturduğunu gösterin ve ters matrisi hesaplayın:
(71)
Aşağıdaki "grubun teğet vektörü, Lie cebirinin bir elemanı":
(72)
Bu bilgilerle anti-eylemi hesaplayacağız:
(73)
d g p' = g p⁻¹ x d g p x g p
Hesaplama kolaylığı açısından şunu gözlemleyelim:
(74)
G d L bir ters simetrik matristir. Buna şöyle diyelim:
(75)
Dolayısıyla:
(76)
Şunu tanımlayalım:
(77)
Bu bilgilerle anti-eylemi oluşturacağız:
(78)
d g p' = g p⁻¹ x d g p x g p
Tüm hesaplamalar yapıldığında şu dönüşüm elde edilecektir:
(79)
Bu basit matris hesaplamasını atlamak isterseniz, sayfanın altındaki denklem (80)'a geçin.
(79a)
(79b)
bu yüzden anti-eylemin bileşenleri:
(79c)
ancak:
(79d)
bu yüzden:
(79e)
ancak GG = 1, dolayısıyla:
(79f)
bundan şu dönüşüm çıkar:
(79g)
Bu, aradığımız anti-eylemdir, şu dönüşüm:
(80)
"Gruplar ve Fizik" alt başlığına geri dönün