7
Bir öğe
g
p Poincaré grubu Gp, {p
i} parametrelerinden oluşan bir diziyle tanımlanır. Daha önce belirttiğimiz gibi, bu parametrelerin sayısı grubun
boyutunu temsil eder.
d g
(g = e)
matrisi {dp
i} nicelikleriyle oluşturulur. Bu nedenle yukarıdaki uygulama şu şekildedir:
(81)
Yani, bir {dp
i} skalerler kümesine aynı sayıda {dp
i
'} skaleri karşılık gelir.
Çiftlik, şu şekilde tanımlanan bir skalerin değişmezliğini varsayar:
(82)
n, grubun boyutudur (Poincaré grubu için on). Ji skalerleri, aynı sayıda bileşenleri olan momentumun bileşenlerini temsil eder.
Bu momentu iki nesneye ayırma kararını veriyoruz. Birincisi, (4,4) boyutunda, bu yüzden altı bileşeni olan bir Mantisimetrik matris olacak ve ikincisi, (4,1) boyutunda bir "dört vektör"
P olacaktır:
(83)
(84) J = {M, p, E} = {M, P}
Skaler çarpımı şu şekilde yazacağız:
(85)
Tr, "iz" anlamına gelir ve ayrıca şu şekilde olur:
(86)
Bu, dualiteyi sağlayan doğrusal formdur.
burada:
(87)
(87b)
(87c)
ancak GG
= 1
bu yüzden bu şu anlama gelir:
(88)
y terimlerini tanımlayalım (89)
Yani:
(90)
----> Burada matris hesaplamalarına ilişkin detaylar gelir. İsterseniz,
buraya tıklayarak doğrudan sonuca ulaşabilirsiniz.
İz içinde terimlerin dairesel bir permütasyonu yapılabilir.
(90a)
(90b)
(90c)
ikinci terim, bir satır matris ile bir sütun matrisin çarpımına eşittir.
Bu, ters çarpımın izine eşittir (aşağıda, bir satır matrisin bir sütun matrisle çarpımı şematik olarak gösterilmiştir):
(90d)
Bu iz içinde dairesel bir permütasyon yapabilirim:
(90e)
Böylece:
(90f)
(90g)
Burada, başka bir matrisin simetrik bir matrisle çarpımının iziyle ilgili teoremi yeniden uygulayacağız.
Herhangi bir matris simetrik veya antisimetrik hâle getirilebilir. Ayrıca, bir matrisin simetrik bir matrisle çarpımının izi sıfırdır.
(90h)
Bu durumu (90i) matrisine uygulayabilirim,
çünkü iz alıyoruz:
(90j)
(90k) = sim ( ) + antisim ( )
ancak:
(90l)
bu yüzden:
(90m)
(90n)
(90o)
(90p)
ve:
(90q)
sonunda:
(90r)
Terimleri birleştirip üsleri yer değiştirerek grubun eylemini elde ederim:
Resimler
"Gruplar ve Fizik" alt başlığına geri dön