8
(91)
Bu eşdönüşüm eylemi matris biçiminde yazılabilir.
Poincaré grubunun matrisi:
(92)
transpozu:
(93)
Şu matrisi ele alalım:
(94)
Yani momentumu
(95)
Jp = {
M,
P }
matris biçiminde yazacağız ve şu çarpımı oluşturacağız:
(96)
(97)
(98)
Bunu şu matrise eşdeğer olarak gösterebilirim:
(99)
Bu yüzden Jp, matris biçiminde ifade edilmiş Poincaré grubunun momentumudur. Eşdönüşüm eylemi şu şekilde yazılır:
(100)
Bir alıştırma olarak, okuyucu aksiyomlara dayanarak bunun gerçekten bir eylem olduğunu doğrulayabilir.
Poincaré grubunun momentumu şu şekilde açıkça ifade edilebilir:
(101)
Bu matris ters simetriktir (bu da ana köşegenin sıfırlardan oluştuğunu gösterir).
M matrisi:
(102)
Açıkça yazalım:
(103)
Bu gerçekten ters simetrik bir matristir, başlangıçta kabul edilen varsayım, altı parametreye bağlıdır:
(104)
( lx , ly , lz , fx , fy , fz )
Son üçü (fx, fy, fz), f geçiş vektörünün bileşenleridir:
(105)
İlk üçü (lx, ly, lz), (3,3) boyutlu ters simetrik bir matrisin bağımsız bileşenleridir, bu da l dönme vektörüdür:
(106)
Böylece:
(107)
Vektör P, dört boyutlu momentum-enerji vektörüdür:
(108)
Bu durumda, Poincaré grubunun momentumunu genel biçimde açıkça ifade edebiliriz:
(109)
Bu nesnenin on bileşeni olduğunu doğrulayabiliriz (grubun boyutuyla eşit sayıda).
(110)
Jp = { E , p
x
, p
y
, p
z
, f
x
, f
y
, f
z
, l
x
, l
y
, l
z
} = { E ,
p , f , l
}
Alt başlığa "gruplar ve fizik" geri dönülür