9
Spinli parçacıklar.
Poincaré grubu, nokta bir cismin izdüşümsel hareketini tanımlar. Benzer şekilde, daha sonra verilecek ifadesiyle, Bargmann grubu, nokta bir cismin izdüşümsel hareketini tanımlar ve bu cisim "kütle noktası" olarak adlandırılır.
Bu yüzden, grubun moment uzayında koyduğu eşlenik eylemin hesaplanması gibi bir teknik, gizli olan unsurları, cismin özelliklerini ortaya çıkarmıştır: momentin bileşenleri.
Şunu dikkat çekici bulunan, bu yöntemin, Souriau'ya ait olmasıdır ve fizikçinin temel nesnelerini, saf olarak geometrik nesneler olarak ortaya çıkarmıştır. Bu yüzden, fiziksel dünyayı geometrik hâle getirme açısından, hiç görülmemiş bir çalışma gerçekleştirmiştir.
Enerji ve momentum dışında kalan diğer bileşenler, "dönmek" ve "geçmek" fizikçi için oldukça kafa karıştırıcıdır. Peki bu ne anlama gelir?
Momentin bileşenlerinin ifadesi, elbette seçilen koordinat sisteminin bir fonksiyonudur.
En basit olan, muhtemelen, izdüşümsel fizikteki duruma geri dönmek, yani Bargmann grubunun analizinden ortaya çıkan eşlenik eylem ifadesine geri dönmek olabilir.
(111)
Bir gizemli formül. Ne işe yarar? Nasıl çalışır?
Yukarıdaki kutucukta fizikçi bazı tanıdık nesneleri tanıyacaktır:
(112)
sadece hız vektörü { vx , vy , vz }nin iki farklı ifadesidir: birincisi sütun matrisi, ikincisi satır matrisi şeklinde. Bu iki matrisin çarpımı bir skalerdir:
(113)
bunun bir kinetik enerjiye benzer bir şey olduğu görülür.
m v momentumdur.
Geleneksel fizikçi, nokta bir cismin dinamiğiyle ilgilenirken sadece üç şeyi bilir:
-
Kütle m
-
Momentum m v
-
Kinetik enerji 1/2 mv²
Evet ama hız, neye göre?
Bir grup, aynı zamanda bir bakış açısıdır. Bu yüzden, ya grubun yardımıyla nesneleri (Öklid grubuyla gördüğümüz gibi) sabit bir gözlemciye göre taşıyabiliriz ya da, nesnenin sabit olduğunu kabul edip, onu başka bir şekilde gözlemleyebiliriz.
Dinamik gruplar (Öklid grubundan farklı olarak zamanın ortaya çıktığı gruplar) açısından bu taşıma hareketini benimsersek, nesnelerin hareketlendirildiğini, yani hız v ve enerji E kazandırıldığını söylemeliyiz.
Aksine bir bakış açısı benimsenirse: nesnenin sabit olduğunu düşünüp, kendimizi hareket ettirmeyi düşünürsek, gruplara ne anlam vermemiz gerekir?
Öklid grubu bu durumda "başka bir yerden ve farklı bir açıdan bakmak" anlamına gelir.
"Başka bir yer" öteleme vektörüdür:
(114)
"Başka bir açıdan bakmak" ise rotasyon matrisi a, yani uzaydaki bir dönmeyi ifade eder (Euler açılarıyla açıklayabiliriz, ama bunu yapmayacağız).
Dinamik gruplar açısından, bu "bakış açısı" daha da zenginleştirilmelidir. Bargmann grubu bağlamında, hız v'nin dahil edilmesi, gözlemcinin, başka bir yerde (öteleme vektörü c) ve farklı bir açıdan (rotasyon matrisi a) bu kütle noktasını gözlemesinin, aynı zamanda, bu sabit kabul edilen kütle noktasına göre hız v ile hareket ettiğini anlamına gelir.
Ve tamamlamak gerekirse, bu durumun daha da karmaşık hâle getirilmesi için, parçacıkla aynı zamanda değil, bir zaman farkı Δt kadar gecikmeli bir şekilde evrimleştiğini belirtmeliyiz. Başka bir deyişle: o, başka bir yerde, ama bu başka yer hem uzay hem de zaman açısından, şu öteleme vektörüne karşılık gelir:
(115)
Bu kütle noktasına göre böyle bir "uzak duruş" alındığında ne fark ediyorum? İlk olarak: m' = m
Kütle değişmedi.
Dönüşümü sıfırlayarak hayatı kolaylaştırabilirim. Başka bir yerde, farklı bir zamanda, gecikmeli olarak, hız v ile hareket eden bir bisikletin üzerinde oturmak zaten yeterince karmaşık. Başka bir deyişle, boynumu kırmak gerçekten gerekli mi?
Hayır. a = 1 alalım.
Ama genelde bu detay hesaplamalarda ihmal edilir. Bu şekilde özel durumda eşlenik eylem şöyle olur:
(117)
"İncelemek" kelimesi burada etimolojik anlamda alınmalıdır. Bir durumu, gökyüzünü, bir savaş alanını, bir istihbarat uçağı tarafından çekilen filmi nasıl inceliyorum?
Bir noter şöyle yazar:
- Durumun incelenmesi sırasında...
Bu, Öklid grubuna karşılık gelen, statik bir görsel. Noter nesneleri bir mesafe c kadar uzakta, aynı anda (Δt = 0), temelde hareketsiz (v = 0) gözlemektedir. İhtiyaç duyulursa, özel bir açıdan, "belirli bir açıdan" bakar.
Bir general, bir gözetleme uçağında dolaşırken, hareket eden bir noter gibidir (v ≠ 0).
Ama bir general, bir istihbarat uçağı tarafından çekilen filmi izleyen, bir "drone" (insansız hava aracı) izleyen bir general, zaman içinde kaymış bir durumla karşı karşıyadır. Kendi kendine şöyle düşünmek zorundadır:
- Hedefi, belirli bir noktadan, eğik bir dönüşle, belirli bir hızla, ayrıca iki saat önceki halini göz önünde bulundurarak inceleyelim...
Hedefin kendine özgü bir hızı yoktur. Hatta "sabit bir tesis" olsa bile, sabit kabul edilemez. Hatta Dünya hareket eder, Güneş de, galaksi da, vs.
"Gruplar ve fizik" alt başlığına geri dönülmesi