Evocation
Jean-Marie Souriau'nun güneş sistemi dinamiği üzerine çalışmasının anılması.
Bu çalışma, yazar tarafından 1989'da Cenevre gözlemevinde düzenlenen ve teması şu olan bir kolokyumda sunulmuştur:
"Güneş sisteminde rezonanslar ve rezonanssızlıklar"
Souriau'nun çıkış noktası, farklı gezegenlerin yörünge periyotlarının analizidir. Ardından Dünya'nın periyodunu (365 gün) ve Venüs'ün periyodunu (225 gün) alır ve buna karşılık gelen Fibonacci dizisini (veya her terimin kendinden önceki iki terimin toplamı olduğu Fibonacci tipi diziyi) hem ileri hem de geri yönde hesaplar. Bu koşullarda böyle bir dizinin ardışık iki sayısının oranının altın orana yaklaştığı bilinmektedir.
Souriau bunun üzerine şunu elde eder:
30
Güneş
(29 gün)
55 Hiçbir şey
85
Merkür
(88 gün)
140 Hiçbir şey
225 Venüs 365 Dünya
590 (1 yıl yedi ay)
Mars
(1 yıl 10 ay)
955 Hiçbir şey
1545 (4 yıl 3 ay)
Ceres-Pallas
(asteroit kuşağı)
2500 Hiçbir şey
4045 (11 yıl)
Jüpiter
(11 yıl 10 ay)
6545 Hiçbir şey
10590 (29 yıl)
Satürn
(29 yıl 5 ay)
17135 Hiçbir şey
27725 (76 yıl)
Uranüs
(84 yıl)
44860 Hiçbir şey
72585 (199 yıl)
Neptün
(165 yıl), Plüton (248 yıl)
Kabul edelim ki oldukça şaşırtıcı bir rastlantı. Souriau daha sonra gezegenler arasındaki rezonansları inceler. Bunun için, sıfır ile 1 arasında yer alan iki periyodun x oranının indirgenemez bir kesire "yakın" olup olmadığını ölçen bir teste sahip olmak gerekir:
Böyle bir test matematikçiler tarafından (Liouville, Hurwitz, Borel, vb.) çok uzun zaman önce geliştirilmiştir. Söz konusu olan şu sayıdır:
q
( x , q) = (payda)
2 x I
x - q
I
q
(x) ile, q rasyoneller kümesini tarif ettiğinde bunun alt sınırını göstererek; q, x rasyonel ise sıfırdır, x bir rasyonele yakınsa küçüktür; dolayısıyla x'in irrasyonelliğini ölçer. O halde "en irrasyonel" sayılar altın oran:
ve onun karesidir:
w 2
= 1 -
w
= 0,3820...
Bu, q fonksiyonunu veren diyagramda görülebilir
Şek.1: q fonksiyonunun diyagramı, "en az rezonanslı" olanlara, yani altın oran ve karesine karşılık gelen iki tepesiyle.
Bu q fonksiyonu (gözlem verileriyle hiçbir ilgisi yoktur) saf bir "matematiksel nesne", gerçek sayılar dizisinden doğan bir özelliktir. Bu sürekli dizi, ardından tam sayıların oranlarının, yani q = 0 olan rasyonel sayıların bulunduğu yerlerde bir tür boşluklarla dolu bu tuhaf tayfı üretir.
Aşağıda güneş sisteminin başlıca gezegenlerinin yıl cinsinden devir periyotları verilmiştir:
Merkür: 0,2408425
Venüs: 0,6151866
Dünya: 1,0000000
Mars: 1,8808155
Ceres-Pallas: 4,604
Jüpiter: 11,86178
Satürn: 29,45665
Uranüs: 84,0189
Neptün: 164,765
Plüton: 247,68
Plüton ile Neptün'ün periyotları arasındaki oranın şu olduğuna dikkat ediniz:
Bu terimlerden birinin bir sonrakine oranı 1/3 ile 2/3 arasında kalır. Bu dokuz orandan beşi 0,35 ile 0,40 arasındadır. Souriau bunun üzerine farklı gezegenlerin periyotları arasındaki oranları incelemeye girişir. Tam rezonans durumundaki iki gezegen, periyotlarının oranının rasyonel bir sayı, yani iki tam sayının bölümü olmasına yol açardı.
Souriau, güneş sistemindeki farklı rezonansları mevcut durumda analiz etmeye karar verir. Bunun için başlıca gezegenlerin dönme periyotlarının oranlarını ikişer ikişer alır ve yukarıda sözü edilen testi uygular.
Basit bir hesaplama, q testi 0,1'den küçük olan (payda ? 6) büyük gezegenler arasındaki rezonansların listesini (Ceres ve Pallas "küçük gezegenlerin" en büyükleridir ve periyotları yalnızca 3 gün farklıdır ve asteroit kuşağında yer alırlar) oluşturmasını sağlar:
Neptün-Plüton: x = 2/3 x 0,9980
q
= 0,01
Uranüs-Neptün: x = 1/2 x 1,0199 q
= 0,04
Uranüs Plüton: x = 1/3 x 1,0176
q
= 0,05
Venüs-Mars: x = 1/3 x 0,9812
q
= 0,06
Jüpiter-Satürn: x = 2/5 x 1,0067 q
= 0,07
Bu tablo, en uzak iki gezegen olan Neptün ve Plüton'un özellikle belirgin rezonanslar gösterdiğini ortaya koyar. Dolayısıyla diğerlerine göre "ayrı" bir çift oluştururlar ve Souriau, periyotların Fourier analizini yaparak izleyen analizde onları ihmal etmeye karar verir:
Pj, Merkür'den Uranüs'e kadar gezegenlerin periyotlarıdır. Ardışık periyot oranları 1/3 ile 2/3 arasındadır. Aşağıdaki şekil, a 1/3 ile 2/3 arasında değişirken IF(a)I eğrisinin görünümünü canlandırmaktadır. Daha fazla okunabilirlik için Souriau grafikte IF(a)I
4
değerini göstermiştir.
Şekil 2: F(a) Fonksiyonu
Şekil 1'in tepeleriyle (w = 0,618 ve w 2 = 0,380) tam bir çakışma içinde olacak biçimde 0,615 ve 0,380 değerleri için iki anlamlı tepe belirir. Souriau bunun üzerine bu tayfı q fonksiyonuyla üst üste koyar:
Şekil 3.
ve Neptün-Plüton rezonans çifti dışında, genel bir rezonanssızlık etkisi sonucuna varır. F'nin iki tepe arasındaki faz kayması, ters Fourier dönüşümüyle yorumlanabilir: F tayfında seçilen belirli sayıda ak çizgisinden yola çıkılarak F fonksiyonu kurulur:
Pj değerleri o zaman F'nin gerçek kısmının belirli maksimumlarına yakındır. Souriau bunun üzerine bu tayfı a1 = w ve a2 = w 2 olmak üzere iki çizgiyle sınırlar ve ayrıca gezegenlerin gerçek periyotlarının da işaretlendiği aşağıdaki şeklin eğrisini elde eder.
Şekil 4: w ve w 2 olmak üzere iki çizgiden kurulan bir tayftan yola çıkılarak gezegenlerin olası P konumlanmaları