Souriau, eski eski Aix'in eski bir evinde yaşıyor. Sokak kapısı harika. Girişte, biraz garip görünen, sahibi olan bir genç kadın, arkeolog, sanırım, bir taşıma sandalyesi duruyor. Sandalye duvara dayalı. Sadece iki taşıyıcı bulmak ve iki uzun ahşap çubukları halkalara yerleştirmek ve bir tur yapmak için yer almak kalıyor. Açıklıklar camlı: yan camlar bir kavrama ile değil, çocukluğumda tren vagonlarında gördüğümüz gibi deri kayışlarla aşağı indirilebiliyor.
Bunun ne kadar hayal kurmaya sevk ettiğini görüyorum. Hiçbir zaman taşıma sandalyesi kullanmadığımı fark ediyorum. Şu işsizlik dönemi içinde, eski Aix'da ilk düzenli taşıma sandalyesi hattını kuracak insanlar için bir gelir elde etmenin mümkün olabileceğine inanıyorum. Sadece eski sandalyeleri taklit eden bir taşıt yapmak yeterli. Bu oldukça zor olmayabilir. Sonra iki broşeli kıyafet ve iki peruk almak. Hadi gidelim. Rota: Mirabeau Coursu. Bu yeterli olur. Sonra sadece hayal kurmak ve biraz hayal gücü kullanmak yeterli.
Jean-Marie, büyük, altın işli, ahşap kaplamalı evinde yalnızca kedisini, Pioum'uyla yaşıyor. Pioum çok tatlı. Ama ben kediye pek çekici hissetmiyorum. Bu kedi ise çok samimi ve sevecen.
Genellikle, bir kat yukarıdaki mutfakta çalışıyoruz. Çatı katında küçük bir oda, aşağıdaki büyük odalardan çok küçük olmasıyla çelişiyor. Her seferinde Jean-Marie, beni en sevdiği içeceğine, artıchoke bazlı Fernet-Branca'ya ikna etmeye çalışır. Bana tamamen korkunç geliyor ama ona tüm faydaları verdiğini söylüyor.
Şehirde dolaşırken her zaman GPS'ini yanına alır, onu asla bırakmaz. Gerçekten, yolda ilerlerken 40.000 km uzaklıkta olan uydu tarafından yönlendirilmek oldukça büyüleyici. Daha iyi sinyal almak için Souriau, sokak ekseninde yürümeye eğilimlidir, kristal sıvı ekranına bakar. Etkili görünüyor ama yine de nispeten tehlikeli.
Bence iki birlikte iyi vakit geçiriyoruz. Aralık ayının bir akşamı, ona ziyarette bulundum ve şu konuşma oldu.
-
Seninle gruplar hakkında konuşacağım. Aksiyomları hatırlıyor musun?
-
Evet, altı tane var. Bunlar:
1 - Bir E kümesine ait olan a, b, c, ... elemanları vardır.
2 - Bir E kümesinin iki elemanını birleştirmek için kullanılan, o ("yuvarlak") olarak gösterilen bir iç işlem vardır.
a kümesine aittir.
b kümesine aittir.
a o b kümesine aittir.
3 - Bu işlem birleşmeli:
a o b o c = (a o b) o c = a o (b o c)
4 - Bir e elemanı vardır ki:
a o e = e o a = a
5 - Her a elemanı için, a⁻¹ olarak gösterilen, a⁻¹ o a = a o a⁻¹ = e koşulunu sağlayan bir tersi vardır.
Bu beş mi?
-
Sonuçta, beş, dört ya da bir. Aksiyom sayısında kesin bir kural yoktur. 1 ve 2 aksiyomlarını tek bir aksiyomda birleştirebiliriz:
-
Bir E kümesine ait olan a, b, c, ... elemanları vardır ve bu kümenin iç işlemi şu koşulu sağlar:
a kümesine aittir.
b kümesine aittir.
a o b kümesine aittir.
Bu eşdeğerdir.
-
Pekâlâ, beş, dört, önemli değil. Nereye varmak istiyorsun?
-
4 ve 5 aksiyomlarını, nötr eleman ve ters elemanı tanımlayanları, sandviç aksiyomu ile değiştireceğim. Toplamda aksiyomlar şu şekilde:
1 - Bir E kümesine ait olan a, b, c, ... elemanları vardır.
2 - Bir E kümesinin iki elemanını birleştirmek için kullanılan, o ("yuvarlak") olarak gösterilen bir iç işlem vardır.
a kümesine aittir.
b kümesine aittir.
a o b kümesine aittir.
3 - Bu işlem birleşmeli:
a o b o c = (a o b) o c = a o (b o c)
4 - E kümesine ait olan üç eleman a, b, c olsun.
a o y o b = c denklemi, tek bir çözümü vardır.
Buna sandviç aksiyomu diyeceğim. Burada "jambon" y, a ve b elemanları arasında yer alır ve c, sandviçin kendisidir. Aksiyom şu anlama gelir:
Bir sandviçten jambonu her zaman çıkarabilirsin.
Ve bunların grupları tanımladığını söylüyorum, önceki aksiyomlarla eşdeğerler.
-
Bu tek çözüm y, E kümesine ait, çünkü işlem iç içe ve birleşmeli.
-
Elbette, açık.
-
Ama bunu söylemek daha iyi. Nasıl bu nötr eleman ve ters eleman aksiyomlarını geri kazanacağın hakkında bir fikrim yok, ama en azından neden böyle bir fikir geldiğini anlıyorum.
-
"Neye yarar?" diye düşündüm.
-
Tam olarak. Nötr eleman ne işe yarar? Bu, "E kümesi ve bir nötr elemanım varsa, bu kümenin tüm elemanlarını bu nötr elemanla birleştirebilirim ve aynı sonucu elde edebilirim" anlamına gelir. Bu benim için hiçbir şey ifade etmiyor. Aynı şekilde, ters eleman ne işe yarar? Gruplarla hesap yaparken, her zaman sağa veya sola çarpma yaparak, a o a⁻¹ veya a⁻¹ o a ifadelerini elde ederiz, bunları e ile değiştiririz, sonra b o e veya e o b ifadelerini elde ederiz ve bunları b ile değiştiririz. Sandviç aksiyomun "işlevsel" bir yapıya sahip.
-
İstersen. Sandviç aksiyomundan çıkan teoremlere geçelim. İlk teorem:
I - Kendisiyle birleşimi kendisini veren bir nötr eleman vardır:
e = e o e
II - Bu nötr eleman tektir.
Kanıt:
Sandviç aksiyomundan başlayalım. a o y o b = c denkleminin tek bir çözümü vardır.
Bu, b = c = a olduğunda da geçerlidir, dolayısıyla a o y o a = a denkleminin tek bir çözümü vardır. Sağ tarafa y ile çarpalım:
a o y o a o y = a o y
a o y = e olarak adlandıralım.
Bu, E kümesine ait bir elemandır çünkü a ve y E kümesine aittir ve işlem iç içedir. Dolayısıyla, e o e = e koşulunu sağlayan bir E kümesi elemanı vardır.
I. teorem kanıtlandı. II. teoremin tekliği için geçelim. Eğer teklik yoksa, başka bir f elemanı vardır ki:
f o f = f
olur.
e o e = e
olduğunu biliyoruz.
Sağa f ile çarpalım:
e o e o f = e o f
Tekrar sağa e ile çarpalım:
e o e o f o e = e o f o e
Birleşmeliği kullanalım:
e o (e o f) o e = e o f o e
İki sandviç elde ettik. Bunlara p = e o (e o f) ve q = e o f o e diyelim.
Sandviç aksiyomuna göre, jambonu çıkarabiliriz, yani (e o f) ve f ifadelerini hesaplayabiliriz ve bunlar eşit olur çünkü p = q. Dolayısıyla:
(e o f) = f
Şimdi ikinci eleman için verilen önermeyi kullanarak tekrarlayalım:
f o f = f
Sağa e ile iki kez çarpalım:
e o f o f = e o f
e o e o f o f = e o e o f
Birleşmeliği kullanalım:
e o (e o f) o f = e o e o f
İkinci kez sandviç aksiyomunu kullanarak:
e o f = e
dolayısıyla:
e = f
III. Teorem: Bu e elemanını "kendisiyle karesi eşit" olarak alırsak, a o e = a sonucunu elde ederiz.
Kanıt:
Yine sandviç aksiyomunu kullanıyoruz. e'nin tanımından başlıyoruz:
e o e = e
Sağa sırayla a ve e ile çarpalım:
e o e o a o e = e o a o e
Birleşmeliği kullanalım:
e o (e o a) o e = e o a o e
Dolayısıyla:
e o a = a
Şimdi e o e = e tanımından başlayıp, sola sırayla a ve e ile çarpalım:
e o a o e o e = e o a o e
Birleşmeliği kullanalım:
e o (a o e) o e = e o a o e
dolayısıyla:
a o e = a
III. teorem kanıtlandı.
IV. Teoreme geçelim (ters elemanın varlığı, a⁻¹ olarak gösterilir).
İfade: Bir E kümesinin bir elemanı verilsin. a o y o a = a denkleminin tek bir çözümü vardır.
Bu çözümü a⁻¹ olarak adlandıracağız ve a'nın tersi diyeceğiz. Bu eleman şu özellikleri sağlar:
a o a⁻¹ = e
a⁻¹ o a = e
Kanıt:
Bu elemanın varlığı ve tekliği, sandviç aksiyomunun şu şekilde ifade edilmesiyle doğrudan sonuçlanır:
Eğer ekmek dilimleri birbirine ve sandviçe eşitse, jambon ekmek dilimlerinin (veya sandviçin) tersidir.
a o y o a = a
Birleşmeliği iki şekilde kullanabiliriz:
(a o y) o a = a
a o (y o a) = a
Şimdi biliyoruz ki:
e o a = a
a o e = a
Dolayısıyla çözüm y şu koşulları sağlar:
a o y = e
y o a = e
Bu çözümün tekliğini gösterelim. Eğer tek değilse, başka bir z çözümü vardır ki:
a o z = e
z o a = e
İlk denklemi soldan y ile çarpalım:
y o a o z = y o e
(y o a) o z = y
Ama y o a = e olduğundan:
z = y
Bu çözümü a⁻¹ olarak adlandırıyoruz, tek çözümü olan:
a o a⁻¹ o a = a
Bu yeni aksiyom seti, geleneksel olarak grupları tanımlayan aynı özellikleri elde eder.
Dolayısıyla grupları şu yeni aksiyom setiyle tanımlayabiliriz:
Grup Tanımı:
1 - Bir E kümesine ait olan a, b, c, ... elemanları vardır.
2 - Bir E kümesinin iki elemanını birleştirmek için kullanılan, o ("yuvarlak") olarak gösterilen bir iç işlem vardır.
a kümesine aittir.
b kümesine aittir.
a o b kümesine aittir.
3 - Bu işlem birleşmeli:
a o b o c = (a o b) o c = a o (b o c)
4 - E kümesine ait olan üç eleman a, b, c olsun.
a o y o b = c denkleminin tek bir çözümü vardır.
E kümesi ve iç işlemi bu dört aksiyomu sağlıyorsa, bunların bir grup oluşturduğunu söylüyorum.
Teorem: Nötr eleman kendisinin tersidir. Bu yeni nötr eleman tanımı, tek bir denklemle