İtalyanca: Andrea Sambusetti, Roma Üniversitesi
Buraya tıklayın
1:1 ölçekli modelin çizimini görmek ve kesip çıkarmak için.
Farklı iki renkte bristol karton üzerine dört adet kopya yaparak, montaj talimatlarını takip ederek kendi modelinizi yapabilirsiniz.
Bu web sitesinin başlangıç sayfasının sol tarafında sürekli dönen tuhaf bir nesne görmüşsünüzdür. Bu ne?
Bir gün zaman bulduğumda, 1979 Ocak sayısında Pour la Science'da gösterdiğim gibi, kürenin ters çevirilmesiyle ilgili bir açıklama ekleyeceğim. Yani... 22 yıl önce! Bu, birçok detay ve bir giriş gerektirecek. "Küreyi ters çevirmek" ne demek? Ortak bir insan için küre, sabit bir O noktasından R uzaklıkta bulunan uzaydaki noktaların kümesidir. Geometri uzmanı ise, bir patates gibi "bozulmuş" bir küre de dahil olmak üzere, "küre" adını verir. Bu kavramları daha net anlamak için, "Topologicon" adlı çizgi romanı içeren Lanturlu CD'sini edinin. Ancak matematikçi daha da ileri gider. Bir yüzeyin her noktasında bir teğet düzlem tanımlanabiliyorsa, o yüzeye "düzgün" denir. Bu, patatesin sonsuz farklı şekillerindeki sonsuz sayıda düzgün bozulmaları düşünmeye imkan tanır ve bu yüzeyin alanı da istenildiği gibi değiştirilebilir. Ancak fiziksel evrenimizde, bir kişi küreyi ters çevirmeye (yani yüzeyin iç kısmını dışa dönük hâle getirmeye) çalışırsa, yüzeyinin kendini geçmesini engelleyen bir engelle karşılaşır. Bu varsayımı kabul edersek, yani yüzeyin kendini geçmesini veya sadece dokunmasını yasaklarsak, matematikçi S2 küresinin "gömülmesi"nden bahseder. Ancak matematikçi her şeyi yapabilir. O için bir küre, malzeme değil, "sanal" bir nesnedir ve bir yüzeyin geçmesi mümkün kabul edilir. Aşağıdaki çizimler, kendini geçerek bir küre gösterir. Böyle bir geçişe izin veren bir temsil, "gömülme" olarak adlandırılır.
Böyle bir gömülmenin kendini kesim noktaları vardır (burada basit bir dairesel eğri söz konusudur). Ancak teğet düzlem sürekli değişmelidir. Bu durumda, yukarıdaki çizime bakıldığında, yüzeyin iç kısmının (yeşil renkli olarak gösterilen) dışa taşındığı görülür. Ters çevirme tamamlanmak istenirse, bu tür bir ekvatoral tüp sıkıştırılmalıdır. Burada bir sorun görünür: Bu sıkıştırma teğet düzlemin sürekliliğini bozardı ve bu dönüşüm, gömülme olmayan bir adımdan oluşurdu.
Bir gün Amerikalı bir matematikçi, Stephen Smale, "S2 küresinin sadece bir gömülme sınıfı vardır" olduğunu kanıtladı. Bu kafa karıştırıcı ifade, standart küreden, her noktanın antipodal noktası ile değiştirildiği "antipodal" temsiline, sadece gerçek gömülme içeren bir dönüşümle geçilebileceğini gösteriyordu. Kısacası... ters çevrilmiş bir küre. Smale'in başı Raoul Bott'tu. Bu gerçekliğin formel kanıtı oldukça doğru görünse de, kimse bu ters çevirme işlemini somut olarak gerçekleştirebiliyordu. Bott Smale'e sürekli "Nasıl yapacağını gösterebilirsin?" diye soruyordu. Smale ise, bilinen gibi, kibarlık göstermeden, "Bununla ilgili hiçbir fikrim yok" diye cevap veriyordu. Daha sonra Smale, matematikteki Nobel'e denk gelen Field Madalyasını aldı. Şaka yapmak gerekirse, belki de matematik için Nobel ödülü olmamasının nedeni, onun eşi bir matematikçiyle kaçmasıdır.
Bu durum yıllarca böyle devam etti. Sonra 1967'de, Amerikalı matematikçi Anthony Phillips, Scientific American'da bu ters çevirme için çok karmaşık bir ilk versiyonu yayınladı. İkinci versiyonu, 1970'lerin başında, görme engelli Fransız matematikçi Bernard Morin tarafından icat edildi. Ben, bu dönüşümün sırasını çizmeye başladım ve bu, zaten sizlere duyurduğum gibi, bu web sitesinde yakında yayınlanacak bir makalenin konusu olacak, ayrıca oldukça zengin bir içerikle. Ancak bu, bizi şu düşüncenin önüne getiriyor: Yüzeyler çokgen biçimde temsil edilebilir. Bir küp veya tetrahedron, bu nesnelerin aynı topolojiye sahip olması nedeniyle, kürenin çokgen temsilleri olarak kabul edilebilir. Bu konuda, benim Topologicon'ma bakın. Ayrıca, eğer küre ters çevrilebiliyorsa, bir küpün de ters çevrilebileceğini anlıyoruz. Bernard Morin tarafından icat edilen dönüşüm, bir merkezi modele dayanır. Bu dizide bir simetri vardır. Bunu "dört kulaklı merkezi model" diye adlandırıyorum. Şimdiden bazı şeyleri öne çıkarıyorum. Ancak, küre çokgen biçimde temsil edilebiliyorsa, bu dönüşümün sonraki adımları da aynı şekilde olabilir. Benim başlangıç sayfamda dönen şey, yaklaşık on yıl önce icat ettiğim, kürenin ters çevirme merkezi modelinin çokgen hâli. Bu çokgen modellerin ilginç yanı, düz yüzeylerle yapılabilmesidir. Ayrıca kağıt ve makasla da yapılabilirler. Aşağıdaki çizime bir göz atın (öncelikle arkadaşım Christophe Tardy'ye teşekkür ederim, doğru ölçülerde elemanları üretti).
Büyük
Burada bir montaj planı var, genel görünümü burada görebilirsiniz. Ancak yazdırmak için, "kesim" sayfasına geçmeniz daha uygun olacaktır. O sayfayı yazdırın. Daha sonra, normal yazıcınızdan yazdırdığınız bir örneği alıp, onun üzerinden dört adet aynı kopya çıkarın: iki tane yeşil bristol karton, iki tane sarı. Bu kesilecek sayfalarla, küpün ters çevirme merkezi modelini inşa edebilirsiniz.
Kesilecek parçalarda, a, b, c, d, e, f, ... gibi harf çiftleri vardır. Aynı harfleri birbirine getirerek kağıdı katlamak yeterlidir ve ardından sayfaları şeffaf bantla sabitleyin. Aşağıdaki çizimler, dört parçadan birinin nasıl monte edileceğini gösterir. Öncelikle dört elemandan birinin nasıl katlanacağını görelim:
Aşağıda, dört elemandan iki tanesi farklı açıdan görünümü gösterilmektedir.
Daha sonra, dört katmanlı bir simetriye sahip bir nesne oluşturacak şekilde, yeşil ve sarı parçaları sırayla yerleştirin. Üç boyutlu görünümünü görmek için, Tardy'nin "sanal gerçeklik" bölümüne bakın. Merkezi model burada monte edilmiş ve ayrıca "vrml" formatında da oluşturulmuştur. Aşağıda, farklı açılardan bu modelin resimleri verilmiştir:
Bir noktanın "üst" diğerinin "alt" olduğunu söylemek mümkün değildir çünkü bu isimlendirmeler tamamen rastgeledir. Sol taraftaki resimde "merkez" noktası, Morin'in merkezi modelinde iki yüzeyin kesiştiği "çift noktaya" karşılık gelirken, sağ taraftaki merkez noktası aynı modelde dört yüzeyin kesiştiği "dört noktaya" karşılık gelir. Nesneyi çok dikkatli bir şekilde yönlendirmem gerekiyordu, çünkü sol taraftaki resim bir "swastika" çağrıştırmamalıydı. Bunun dışında, mimari açıdan, Morin'in merkezi modelinin bu çokgen hâli, Ulusal Sosyalist Kültür Evini projelendirmek için oldukça iyi bir fikir olabilirdi.
Son bir gözlem: Kürenin (veya küpün) ters çevirilmesi için iyi bir çokgen temsili yoktur. "İyi" kelimesi, yukarıdaki model gibi, kesilecek sayfalar halinde kolayca tanımlanabilecek, yeterince açıklayıcı bir dizi model anlamına gelir. Bu yönde bir çalışma yapılabilir, matematikçi olmayan biri bile, örneğin bir heykeltıraş, bu çalışmayı yapabilir. 20 yıl önce, Aix-en-Provence'deki Beaux-Arts Okulu'nda heykel dersi veriyordum, o zamanlar iyi arkadaşım Jacques Boullier'ın rektör olduğu dönemde. Bu yerde, Boy yüzeyinin ilk meridyen temsili, elipslerle yapıldı ve bu, Apéry'nin ilk açık denklemi oluşturmak için anahtar oldu. Şunu söylemeliyim ki, o dönemde sanat öğrencilerinin geometrik hayal gücü, hatta bazı durumlarda... geometrikçilerinkinden bile daha güçlüydü.
Sayım 31 Aralık 2001 tarihinde kuruldu. Bağlantı sayısı:
Yenilikler sayfasına dön
Ana sayfa
Resimler
