29 Şubat 2010

Adsız Belge

Yenge gibi düşünebilir miyiz?

27 Şubat 2009

Dil aracılığıyla ifade ederiz ve bu dil, mantıksal yapımızın bir yansıması olması gerekir. Dilde, evet ve hayır, doğru ve yanlış gibi ikili bir yapı oluşturduk; bu da “aristotelyen düşünce”ye yol açar: her ifade (bir mantıkçı “önerme” der) ancak ya doğru ya da yanlış olabilir. Buna üçüncü hariç tutma ilkesi denir.

Ne yazık ki, deneyim teoriyi takip etmez ve ifadelerimiz, ne doğru ne yanlış olan, örneğin

Yalan söylüyorum

gibi kararsız önermelerle doludur.

Yaklaşık bir yüzyıldır mantıkçılar, ikili olmayan mantıklar kurmaya çalışmak için büyük yaratıcılık göstermişlerdir. Örneğin bulanık mantık adı verilen üçlü bir mantık, doğruluk değerleri

Doğru Belirsiz Yanlış

olarak verilir ve otomasyonlarda, süreç kontrolünde (mühendislikte) işlevselliğini kanıtlamıştır.

Dörtlü mantık kurmaya yönelik de denemeler yapılmıştır; en klasikinin doğruluk değerleri şöyledir:

Ancak bu genişletme çabası verimli olmadı.

Kitabında:

Yazarla doğrudan iletişim kurmak için:

Düzeltme: Yazar, kitabında sunulan tablolardan birinde bir düzeltme gerektiğini bildiriyor. Bu, 29. sayfadaki tablodur ve renkli versiyonu 135. sayfada yer alır. İlk olarak, bu çalışmayı okumaya karar vermeniz ve kitabı satın almanız için teşekkür ederiz.

Böyle şeyler olur bazen… Büyük bir hata var! Üçüncü satır ve sütunda, 1 yerine yanlışlıkla 0 yazılmıştır. Bu düzeltme birkaç gün içinde tüm okuyuculara iletilecektir.

Ayrıca, = ve \ \ sembolleri çaprazlarda yer alır: bu çift çizgiler, çapraz olarak bakıldığında = sembolünü, diğer çaprazda ise \ \ sembolünü verir; burada \ \ “eşit değildir” anlamına gelmelidir.

Umarız bu düzeltme sayesinde okumaya devam edebilirsiniz; yeniden en samimi teşekkürlerimizi sunarız (ayrıca özür dileriz!) ve olası yeni bir hata veya belirsizlikle karşılaşırsanız bize ulaşmaktan çekinmeyin…

Şekil 2.2, yukarıdaki tablo ile değiştirilmelidir

Denis Seco de Lucena, okuyucunun zarar görmeden çıkamayacağı garip bir keşfe davet ediyor. Önce dili inceleyelim; bu, her mantıkçının izlediği yoldur. Yazar, çaprazlık kavramını tanıtmayı öneriyor. Bu bakış açısıyla, her önerme dört formda, ikişer ikişer simetrik “iki simetrik çiftten” oluşabilir. Dilde buna çok sayıda örnek vardır; ancak “dördüncü önerme” bazen ifade edilmesi zor olabilir veya dilde mevcut hiçbir nitelikle eşleşmeyebilir.

Önce bu “çaprazlık”ın açıkça ortaya çıktığı örnekleri verelim. Örneğin hareket kavramını alalım. Böylece hareket etmenin dört yolu vardır:

Hemen simetrileri oluşturan çiftler belirginleşir: Geri gitmek, ileri gitmenin tersidir ve tam tersi. Hareket etmek, durağan kalmamanın tersidir ve tam tersi.

Topolojiye başvurursak dört zarfsal ifade sunabiliriz:

29 Şubat 2010 : Arkadaşı Jacques Legalland, dördüncü önermenin şu şekilde ifade edilmesinin daha uygun olacağını öneriyor:

Renklere başvurursak:

27 Şubat 2010 : Jie önerisi:

Zaman üzerinde oynarsak:

“Asla” zarfı, yukarıda bahsedilen “hiçbir yerde” ifadesinin zamanla ilgili karşılığıdır.

Bu bakış açısı, mantıkla ilgili Ummite metnine hatırlatıyor; hatırladığım kadarıyla dört doğruluk değeri belirtiyordu:

Klasik dörtlü mantığın doğruluk değerlerini tekrar alalım:

27 Şubat 2010 : Dördüncü değeri şu şekilde yeniden yorumlamak gerekir: “Bu sınıflandırma türüne uymaz”:

Gerçek sayıları alalım:

Dördüncü önerme şöyle olabilir:

İmplikasyona geçersek:

Burada, yukarıda bahsedilen klasik dörtlü mantıktan farklı dört “söyleme” şekli belirginleşiyor. Son iki önermenin simetrisi farklıdır. Yazar, bu önerme çiftlerinin niteliklerinin “çapraz” olduğunu söylüyor.

Sunuş şeklimiz, yazarın kitabında kullandığı şekle uymuyor; kitabın okunmasını öneririm. Ancak hemen “Bunun altında ne gizli olabilir?” diye soruyu sormaya başlayacaksınız. Bu soru sizi çok uzağa götürebilir. Yazar, bilim insanı olarak, 1992 yılında Ryad, Suudi Arabistan’dan gelen ve bana ulaşan, “Ummite” olarak kendini tanıtan gizemli mektuptan yola çıkmıştır. Bu hikâyeyi bilmayanlar için bağlamı hatırlatalım: 1970’lerin ortalarından beri İspanyolya’dan getirilen belgelerin yazarları, aristotelyen mantığı terk edip dörtlü mantığa geçilmesi gerektiğini sıkça vurgulamıştır.

Yıllar boyu, farklı denemeler yaparak bu konuyla uğraştım. 1992 yılında ilk nesil bir Macintosh kullanıyordum; 2 MHz’de çalışıyordu ve tabii ki modem ya da dış dünya ile iletişim için hiçbir imkânı yoktu. Bu bilgisayarda, yalnızca bana ait olan düşüncelerimi not ettim. Gödel’in teoremiyle karşılaştığımda, bunun Peano’nun sonunda axiomatize ettiği aritmetiğe (doğal sayıların manipülasyonuna) dayandığını hatırladım. Gauss, o tarihte “Gauss tam sayıları” adını verdiği, tam sayı değerli karmaşık sayıları keşfetti.

Klasik olarak bu Gauss tam sayılarının (a, b) doğal sayı ikilileri olarak düşünüldüğünü ve bunların oluşturulması için başka bir axiomatizasyon denenmediğini, sadece “iki tam sayı” verilmesiyle oluşturulduklarını fark ettim.

Bu düşünceleri sabit diskimde birkaç gün sakladıktan sonra, Suudi Arabistan’dan gelen ve aynı düşünceleri içeren bir mektup almakta şaşırdım.

Bu mektubun içeriği

Denis, bilim insanı olarak, bu garip mektuptan yola çıkarak on yıl süren bir çalışma yapmış ve bu çalışmayı yeni yayımladığı kitabında anlatmıştır. Kaynağın egzotik, hatta kötü şöhretli olması nedeniyle, kitabını bir takma isimle yayımlamaya karar vermiştir.

Jules Verne’nin Dünyanın Merkezine Yolculuk adlı kitabını hatırlıyor musunuz? Kurguda kahramanlar, Aarne Saknudsen’in bıraktığı gizemli mesajla oynar ve bunu birleştirerek Dünyanın merkezine ulaşmak için izlenecek yolu bulurlar. Denis’in kitabında da benzer bir şey bekleyebilirsiniz.

Denis bu maceraya ilk olan değil; ancak şimdiye kadar tüm denemeler, bazen cazip görünüşlerine rağmen verimsiz kalmıştır. Örneğin Kanadalı Norman Mohlant’ın ummo.science sitesindeki denemesi. Bir matematikçi “sonsuz sayıda cebir oluşturulabilir” der ve bunlarla Lego parçaları gibi oynanabilir. Ancak yeni bir Lego kümesi için parçalar oluşturmak tamamen farklı bir iştir.

Denis’in çalışmasındaki “ekstra” nerede?

Denis önce, Ryad mektubunda izlenen yolda, 1843 yılında İrlandalı matematikçi Hamilton tarafından keşfedilen kvaterniyonlar adı verilen matematiksel nesnelere ulaşır. Klasik olarak bu nesneler karmaşık sayıların bir uzantısı olarak verilir:

Q = a + b i + c j + d k

şartlarıyla:

i² = - 1

j² = - 1

k² = - 1

i j = k

(i j)² = k j

i j = - j i

(anti-komütatiflik)

j k = i

j k = - k j

k i = j

k i = - i k

Çarpımlar anti-komütatiftir

Hamilton bu kvaterniyonları keşfettiğinde ve özelliklerinin ne kadar büyük olduğunu farkettiğinde şöyle demişti:

• Tüm bunların fizikte bir uygulaması olmalı kesin, ama hangisi olduğunu nasıl bileceğim?

Elbette, bunun bağlantısı kuantum mekaniğinin gelişmesiyle kurulacağını hayal edemezdi. Aslında, Pauli matrisleri kvaterniyonlardır.

Yazar, tamamen geometrik bakış açısıyla, Ryad mektubundaki içerikten yola çıkarak kvaterniyonların geometrik yapısına (iki dik yüzeyli bir “iki yüzlü karmaşık düzlem” üzerinden) ulaşır. Kitabın adı: Ryad Mektubunun Sırrı. Bu sırra burada değinilmiştir. Mektupta, Fermat’ın ünlü teoremi, yani

aⁿ = bⁿ + cⁿ

denklemi tam sayılarla sadece n ≤ 2 durumunda çözülebilir.

Lagrange, Fermat’ın daha önce bir varsayımla sunduğu benzer bir teorem ortaya koymuştur: her tam sayı dört karenin toplamıdır.

N (herhangi bir tam sayı) = a² + b² + c² + d²

Bu toplamda sıfır da dâhil olmalı, örneğin:

3 = 1² + 1² + 1² + 0²

Lagrange’ın teoreminin bir kanıtı, daha sonra kvaterniyonlar kullanılarak ve tümevarım yoluyla verilmiştir.

Umarım Denis, Lagrange teoreminin kanıtını kvaterniyonlarla bulup web sitesinde yayımlar.

Bir kvaterniyon için:

Q = (a, b, c, d)

Bunun eşleniğini şöyle tanımlıyoruz:

Q’nun eşleniği = Q̅(a, -b, -c, -d)

Denis, Fermat teoreminin, Fermat’ın ifade ettiği şekilde, bir kvaterniyon yazımıyla ilişkili olduğunu ve

(Q₁Q̅₁)ⁿ = (Q₂Q̅₂)ⁿ + (Q₃Q̅₃)ⁿ

denklemi tam sayı bileşenli kvaterniyonlar için sadece n ≤ 2 durumunda çözümü olduğunu öne süren bir varsayımda bulunuyor.

27 Şubat 2010 : Bu iki ifadenin eşdeğer olduğunu fark ediyorum, çünkü kvaterniyonun modülü (a, b, c, d) için a² + b² + c² + d²’dir ve bu, Lagrange teoremi gereği bir tam sayıdır.

Bu paragraf, sıradan bir okuyucuyu uzaklaştırabilir. Ancak kitabın tamamı oldukça erişilebilir. Verilen çok sayıda çaprazlık örneği, dille oynama olarak çok eğlenceli ve uyarıcıdır; okuyucu benzer örnekler bulmakla kendini meşgul edebilir. Geometrik şemalar da oldukça anlaşılırdır.

Bu kitap, daha geniş bir yapıya yönelik ilk adım ve farklı bir düşünceye açılış gibi görünüyor.

Kitabı sipariş etmek için (18 euro, kargo dahil, 144 sayfa):

http://quadrilogie.com

2 Mart 2009 : Bir okuyucu, Christian Pedro bey, Lagrange’in dört kare teoreminin kanıtını içeren bir pdf dosyası hazırladı.

Lagrange’in Dört Kare Teoremi

Başka bir not: İki kvaterniyonun modüllerinin çarpımı, çarpımın modülüne eşittir. Bu kanıt, matematikçi Euler (1750) tarafından verilmiştir.

(a₁² + a₂² + a₃² + a₄²) × (b₁² + b₂² + b₃² + b₄²) =

(a₁b₁ - a₂b₂ - a₃b₃ - a₄b₄)² + (a₁b₂ + a₂b₁ + a₃b₄ - a₄b₃)² + (a₁b₃ - a₁b₄ + a₃b₁ - a₄b₃)² + (a₁b₄ + a₂b₃ - a₃b₂ + a₄b₁)²

Yani iki kvaterniyonun çarpımının modülü:

A = (a₁, a₂, a₃, a₄), B = (b₁, b₂, b₃, b₄)

C = (a₁b₁ - a₂b₂ - a₃b₃ - a₄b₄, a₁b₂ + a₂b₁ + a₃b₄ - a₄b₃, a₁b₃ - a₁b₄ + a₃b₁ - a₄b₃, a₁b₄ + a₂b₃ - a₃b₂ + a₄b₁)

olarak verilen kvaterniyondur.

Sayın Pedro, binlerce matematikçinin problem üzerinde çalışıp dişlerini kırmasına rağmen, kvaterniyonlara dayalı bir yaklaşımın Wiles’ın yüzlerce sayfa süren kanıtına kıyasla nispeten basit bir kanıta yol açıp açmayacağını sorguluyor.

Ben kararsızım. Ancak iki not düşmek isterim.

Biliniyor ki doğal sayılar her tabanda yazılabilir ve özellikle asal sayılar, hangi tabanda yazılırlarsa yazılımlar, bu özelliği korurlar. Dolayısıyla en basit tabanı alalım: iki tabanı, yani 0 ve 1 elemanlarını.

İtalyan matematikçi Giuseppe Peano (1858–1932), beş aksiyomu vererek doğal sayıların aritmetiğinin temelini oluşturmuştur.

İtalyan matematikçi Giuseppe Peano

1. 0 bir doğal sayıdır.

2. Her n doğal sayısı için tek bir ardılı s(n) veya S n vardır.

3. Hiçbir doğal sayının ardılı 0 değildir.

4. Aynı ardılı olan iki doğal sayı eşittir.

5. Bir doğal sayı kümesi 0’ı içerir ve her elemanının ardılını içeriyorsa, bu küme N’ye eşittir.

İlk aksiyom, doğal sayılar kümesinin boş olmadığını; üçüncü aksiyom, birinci elemanının olduğunu; beşinci aksiyom, tümevarım ilkesini sağladığını ifade eder.

Bu beş aksiyom üzerine kurulan Peano aritmetiği, birinci dereceden mantığı verir; ancak bu mantık da Gödel’in eksiksizlik teoreminden etkilenmez. Ryad mektubunun gönderilmesine neden olan düşüncem, Gauss tam sayıları z = a + i b için, burada a ve b doğal sayılardır.

Bunun için Peano aritmetiğinin “iki katı” gibi görünen, kendine özgü bir axiomatizasyonunun olmadığını düşündüm; bu, farklıdır. Bu bakış açısıyla Gauss tam sayıları, “düzenli bir ızgaranın noktaları” değil, kesilmiş doğrular üzerinde alınmış (a, b) ikilileri haline gelir. Böylece Gauss tam sayılarının aritmetiği “iki kat Peano aritmetiği” olur.

Şimdi soruyu koyuyorum:

- Tam sayı kvaterniyonlarının aritmetiği için tanımlanmış bir aksiyomlar kümesi var mıdır? Varsa, bu durumda hangi mantık ortaya çıkmalı? Bu mantık dörtlü mü olmalı? Ayrıca, bu mantık eksiksiz olmalı mıdır? Yani bu dört doğruluk değerinin dışına çıkan bir beşinci değer, yani bu dört değerden oluşan dörtlü mantık çeperine girmeyen kararsız önerme olmamalıdır.

Bu sorularla ilgili okuyucularla tartışmalara girmekte, akışkanlar mekaniğine ilişkin yeni bir albüm hazırlama işiyle meşgul olduğum için şimdilik yaramaz olurum. Bu tür sorular için lütfen kitabın yazarı Denis’e başvurun.

Bununla birlikte, bu albümde, 1950’lerin sonlarına (Paris Ul