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Espace représentatif.
Nous avons vu, dans une section précédente, qu'un cylindre peut être aplati. Maintenant, prenez une feuille de papier, une feuille plane. C'est une surface euclidienne. Vous pouvez y tracer des géodésiques. Maintenant froissez-la. (64)
Si vous pouviez rendre cette surface froissée rigide et y tracer des géodésiques avec du ruban adhésif, vous retrouveriez à nouveau le même système ! La surface n'avait pas vraiment changé. Si un habitant vivait dans un tel « plan plat », il pourrait ne pas réaliser le processus de froissement. Tout resterait normal pour lui, comme c'est le cas aujourd'hui : suivre les géodésiques de sa surface espace-temps à 2D, par exemple.
Froisser la feuille, vous avez simplement modifié le système représentatif, c'est-à-dire la manière dont la surface à 2D est plongée dans l'espace euclidien à 3D.
Une modification plus simple consiste à transformer une feuille métallique plate en une surface ondulée. Voir la figure (65) (65)
Il y a de nombreuses années, j'étais dans un grand marché d'Addis Abeba, en Éthiopie. Là-bas, le métal est rare. On y trouve des ateliers où de jeunes hommes transforment des tôles ondulées en plaques planes, à l'aide d'un simple marteau. Si l'un d'eux avait tracé une géodésique avant l'opération, nous aurions constaté que le système de géodésiques restait inchangé.
Mais, pour être honnête, je ne suis pas vraiment certain que ce genre de personne sache ce qu'est une géodésique, du point de vue mathématique, bien sûr. Toute personne qui fabrique des paniers utilise naturellement des lignes géodésiques.
Je me souviens que j'étais professeur de tissage de paniers, dans un camp de vacances près de Burlington et du lac Champlain, au Vermont... il y a bien des années.
Gardez à l'esprit que les objets géométriques ont leur propre existence et leurs propriétés, indépendantes de la manière dont vous les représentez dans un espace à un nombre plus élevé de dimensions. Froissée ou non, une feuille reste une feuille, c'est-à-dire une surface euclidienne.
Nous sommes censés vivre dans une hypersurface à 4D. Nous vivons tous de la même manière, en principe. Mais ma femme Claire, qui est une personne très charmante, est convaincue que je vis dans un espace à plus de dimensions (cinq, selon elle). Cela entraîne parfois des difficultés de communication quand je me trouve quelque part dans ma cinquième dimension personnelle.
Mais les femmes vivent-elles vraiment dans une hypersurface à 4D ? Parfois, j'en doute, mais c'est une autre question.
Admettons que vous viviez dans une hypersurface à 4D et suiviez les géodésiques de cet espace-temps, comme un bœuf suit son sillon.
Supposons maintenant que vous soyez Dieu. Vous voulez une représentation complète de cette hypersurface à 4D. Alors vous avez besoin d'au moins une dimension supplémentaire. Personnellement, je pense que, si Dieu existe, il doit vivre dans un hypermonde à dix dimensions. Les arguments suivants seront développés dans la Physique Géométrique B, et proviennent de la théorie des groupes.
Dieu possède-t-il une structure de groupe ?
En pratique, le spécialiste de la relativité générale calcule une solution d'une équation de champ (la solution d'Einstein). Ensuite, il examine le système de géodésiques. Ce sont des « lignes droites à 4D ». Dans l'espace-temps, en suivant les géodésiques, l'ordre général est :
- Allez tout droit ! Ne tournez ni à gauche ni à droite.
Vous obéissez, tout simplement parce que vous ne pouvez rien faire d'autre. Tourner est une absurdité dans l'espace-temps. Tout, tout le monde « va tout droit ».
Mais les choses, les trajectoires, les parcours, nous semblent courbés à nos yeux à 3D. Nous les lisons dans notre représentation mentale de l'espace. Nous faisons face au mur de la caverne de Platon, en regardant des ombres tridimensionnelles dansantes.
Revenons à notre image didactique à 2D, au cône émoussé. Il est censé représenter l'espace à proximité d'une concentration de masse (zone grise). Nous supposons qu'il correspond à un état stationnaire.
Nous pouvons utiliser les coordonnées sphériques (r, q, j) comme repères spatiaux (en 3D). En 2D, nous n'avons que deux coordonnées : (r, q).
Nous pouvons alors projeter la figure sur un plan et utiliser le même ensemble de coordonnées polaires. Voir la figure suivante.
(66)
Comme dit plus haut, la surface du cône émoussé est un modèle didactique grossier, suggérant une solution particulière de l'équation de champ d'Einstein
(67) S = c T
construite en 1917 par Schwarzschild. C'est une œuvre brillante et ingénieuse. Il suffit de dire que, à cette époque, Albert n'était pas un génie solitaire, perdu sur une île déserte. Beaucoup de gens pensent que le grand mathématicien allemand Hilbert a inventé l'« équation d'Einstein ». D'autres ont suggéré que Madame Einstein aurait pu contribuer efficacement à la construction de la relativité restreinte, qui découle naturellement des travaux de Poincaré et de Lorentz (si vous regardez les travaux d'Einstein, vous verrez qu'il mentionne rarement d'autres personnes).
La solution de Schwarzschild est une pierre angulaire de la relativité générale. On l'utilise pour calculer les trajectoires relativistes des planètes autour du Soleil, mettant en évidence la précession du périhélie de Mercure.
Tout le monde dirait immédiatement :
- Pourquoi Schwarzschild n'a-t-il pas calculé cela lui-même ?
Il y avait une excellente raison : il était mort.
Schwarzschild était un patriote et a insisté pour aller au front en 1917. Là-bas, il a été gazé et est décédé plus tard. Einstein a poursuivi le travail, qui est devenu « la théorie d'Einstein ».
C'était une solution à état stationnaire. Plus tard, Einstein a tenté de construire un modèle de l'Univers où la courbure pourrait être identifiée à la densité d'énergie-matière. Mais, à cette époque, personne ne savait que l'Univers n'était pas stationnaire. Albert a tenté de construire un modèle stationnaire, mais les choses ne se sont pas bien passées. Puis il a rendu visite à Élie Cartan, grand mathématicien français, qui lui a recommandé d'ajouter une constante dans l'équation de champ, ce que fit Einstein.
Ensuite, un pilote de planeur russe nommé Friedmann a inventé une solution non stationnaire. À peu près à la même époque, Edwin Hubble a découvert le décalage vers le rouge et les caractéristiques non stationnaires de l'Univers. Einstein était très déçu et a dit :
- Si j'avais su que l'Univers n'était pas stationnaire, j'aurais trouvé la solution avant Friedmann !
Comme disait autrefois les Lacédémoniens.
Mais cette histoire ne s'est pas arrêtée là. Au départ, Friedmann avait construit la solution cyclique, l'une des trois qui composent les « modèles de Friedmann ».
Einstein est resté silencieux pendant des années. Puis, après la mort de Friedmann, il a publié le « modèle d'Einstein-de Sitter », la « solution parabolique de Friedmann ».
Plus tard, un jeune chercheur polonais nommé Kaluza a soumis un article au « Professeur Einstein », refusé pour plus d'un an. Kaluza a protesté auprès d'Einstein, qui lui a répondu :
- Vous devriez regarder plus attentivement cette théorie. Je suis sceptique...
Des années plus tard, l'idée de Kaluza (ajouter une cinquième dimension à l'espace-temps) est devenue le point de départ d'ouvrages avancés (y compris l'approche des supercordes). Voir la Physique Géométrique B.
Eh bien, Albert n'était pas si sportif...
Revenons au modèle stationnaire à 3D correspondant à la géométrie espace-temps autour du Soleil. Le calcul donne des géodésiques situées dans des plans. Si l'effet de courbure est modéré et la vitesse faible par rapport à la vitesse de la lumière c, leur projection, dans un espace-temps euclidien représentatif, correspond à des trajectoires quasi képlériennes et aux lois de Kepler. On peut ignorer le temps et représenter ces géodésiques dans des plans, en utilisant des coordonnées polaires.
r = f (q).
Dans la solution de Schwarzschild, il existe en réalité deux « solutions métriques » liées, comme indiqué sur la figure (68). À l'intérieur du « corps massif », la densité de masse r est supposée constante. Là, le tenseur énergie-matière T est non nul. Mais à l'extérieur, r et T sont nuls.
(68)
Il s'agit d'une géométrie composite. En 3D, la densité de masse présente une discontinuité brutale à la surface (supposée sphérique) de la « concentration de masse ». Cela ressemble à la discontinuité de la densité de courbure angulaire sur la surface (non nulle dans la zone grise, nulle à l'extérieur). La frontière devient une sphère S1, c'est-à-dire un... cercle.
En 4D, le lien mathématique peut être établi afin d'assurer la continuité des lignes géodésiques. Cela ressemble à la portion de liaison d'une portion de sphère ou d'un posicone.
Lorsque la masse devient importante (ce qui ne peut pas être décrit par notre modèle didactique grossier à 2D), les trajectoires fermées ne sont plus elliptiques.
Voir la figure (69). Ce dessin correspond à la trajectoire d'une sonde spatiale autour d'une étoile à neutrons.
La trajectoire de Mercure autour du Soleil est similaire, mais la précession du périhélie des trajectoires elliptiques est de 0,15° par siècle.
(69)
Un jour, nous inclurons les formules et le programme permettant de jouer avec ce problème. Ce n'est pas très difficile.
Quelques informations mathématiques en fin de page et à la suivante, si vous le souhaitez, vous pouvez aller directement à la page 13 ici
Version originale (anglais)
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Representative space.
We have seen, in a preceeding section, that a cylinder can be put flat. Now, take a piece of paper, a flat sheet. It is an euclidean surface. You can draw geodesic on it. Now crumple it. (64)
If you could make this crumpled surface rigid and draw geodesics on it, with sticky tape, you would meet again the same system ! The surface wasn't really changed. If some inhabitant lives in such a "flatland" he perhaps can't realize the crumpling process. Everything would stay normal for him, what life is like for him today : following geodesic of his 2d space time surface, for exemple.
Crumpling the sheet, you have just modified the representative system, the way the 2d surface imbeded in 3d euclidean space.
A simpler modification is to transform a flat sheet of metal into a corrugated surface. See figure (65) (65)
Many years ago I was in big market of Addis Abeba, Ethiopia. There, metal is rare. You find factories where young men transform corrugated iron surfaces into flat plates, using a simple hammer. If one of them would have drawn a geodesic before operation, we would have found that the geodesic system would be unchanged.
But, to tell the truth, I not really sure that this kind of guy knows what a geodesic is, from a mathematical point of view, of course. Any person who build baskets uses geodesing lines, naturally.
I remember I was a teacher in basketry, at a holiday camp, near by Burlington and lake Champlain, Vermont ... many years ago.
Keep in mind that geometrical objects have their own existence and properties, which are independent from the way you figure it, in a higher dimensions' number space. Crumpled or not, a sheet is a sheet, i.e. an euclidean surface.
We are supposed to live in a 4d hypersurface. We all are supposed to live the same, by the way. But my wife Claire, who is a very charming person, is conviced that I live in a higher dimensions's space (five, she thinks). It induces, sometimes, some difficulties for communication when I am staying somewhere in my personal fifth dimension.
But do females really live in a 4d-hypersurface ? Sometimes I am skeptical about it, but that is another subject.
Admit you live in a 4d hypersuface and follow the geodesics of this space-time, that you follow like an ox following its furrow.
Now suppose you are God. You want a full representation of this 4d hypersurface. Then you need at least one more dimension. Personnaly, I think that, if God exists, he must live in a ten dimensional hyperworld. The subsequent arguments will be developped in Geometrical Physics B, and come from group theory.
Does God owns a group structure ?
Practically, the specialist of general relativy computes a solution of a field equation (Einstein's solution). Then he examines the geodesic system. They are "straight 4d-lines". In space-time, as you follow geodesics, the general order is :
- Go straight ! Don't turn left or right.
You obey, just because you cannot do something else. Turning is a nonsense, in space-time. Everything, everybody "goes straight".
But things, paths, trajectories, look bent for our 3d eyes. We read it in our mental space representation . We face the wall of Plato's cavern, looking at dancing 3d- shadows.
Let return to our 2d didactic image, to the blunt cone. It is suposed do figure space at the vicinity of a mass-concentration (grey area). We assume it corresponds to steady-state.
We may use spherical coordinates (r , q , j) as space-markers (in 3d). In 2d we have only two : (r , q).
Then we can project the figure on a plane and use the same set of polar coordinates. See next figure.
(66)
As said above, the blunt cone surface is a crude didactic model, suggesting a peculiar solution of the Einstein field equation
(67) S = c T
built in 1917 by Schwarzschild. This is a brilliant and clever work. Just to say that, in that time, Albert was not a lonely genious, lost on a desert island. Many people think that the great German mathematician Hilberth invented the "Einstein's equation". Some others have suggested that madam Einstein could have contributed efficiently to the building of special relativity, which comes naturally from the works of Poincaré and Lorentz (if you look at Einstein's works, you will see that he rarely mentions other people).
Schwarzschild's solution is a milestone of general relativity. One uses it to compute the relativistic trajectories of planets around the sun, evidencing the precession of Mercury's perihelion.
Anyone would say immediatly :
- Why did Schwarzschild not calculate that by himself ?
There was a very good reason for it: He was dead.
Schwarzschild was a patriot and insisted on going to the front, in 1917. There he was gassed and died later. Einstein continued the job, which became "the Einstein theory".
It was a steady state solution. Later Einstein tried to build a model of the universe, where curvature could be identified to energy-matter content. But, at this time, nobody knew that univers was non-steady. Albert tried to build a steady state model, but things were not so good.Then he visited Elie Cartan, a great French mathematician, who recommended to add a constant in the field equation, which is what Einstein did.
Then a Russian glider pilot named Friedmann invented a non-steady solution. About the same period Edwin Hubble discovered the red shift and non-steady features of the Universe. Einstein was very disappointed and said :
- If I had of known that Universe was non steady, I would have found the solution before Friedmann !
If, the Lacedemonian used to say.
But that story didn't end there. Initially, Friedmann had built the cyclic solution, one of the three which compose the "Friedmann models".
Einstein kept silent during years. Then, after Friedman's death, he published the "Einstein-de Sitter's model", "the parabolic Friedmann solution".
Later a young Polish researcher named Kaluza submitted a paper to "Professor Einstein", refused to publish it for more than a year. Kaluza complained to Einstein, who replied :
- You should look closer to this theory. I am skeptical.....
Many years later Kaluza's idea (adding a fifth dimension to space-time) became the starting point of advanced works (including the superstring approach). See Geometrical Physics B.
Well, Albert was not such a sport......
Let us return to the steady-state 3d model corresponding to space time geometry around the sun. The calculation gives geodesics located in planes. If the curvature effect is moderate, and the velocity small with respect to light velocity c , their projection, in a representative euclidean space-time, corresponds to quasi keplerian paths and Kepler's laws. We can forget time and figure these geodesic in planes, using polar coordinates.
r = f (q).
In the Schwarzschild solution, there is, in fact two linked "metric solutions", as evoked on figure (68). Inside the "massive body" the mass density r is supposed to be constant. There the energy-matter T tensor is non-zero. But, outiside, r and T are null.
(68)
This is a composite geometry. In 3d the mass density shows an abupt discontinuity at the surface (supposed to be a sphere) of the "mass concentration". This is similar to the discontinuity of the angular curvature density on the surface (non-zero in the grey area, null outside. The border becomes a S1 sphere, i.e. a ... circle).
In 4d the mathematical link can be built, in order to ensure the continuity of the geodesic lines. This is similar to the linkeage portion of a sphere-portion of a posicone.
When the mass becomes important (which cannot be described by our crude 2d didactic model) the closed paths are no longer elliptical.
See figure (69). This drawing corresponds to the trajectory of a spacecraft around a neutron star.
The trajectory of Mercury around the sun is similar but the precession of the perihelion of the eliptic paths is 0.15 ° per century.
(69)
Someday we will include the formulas and program which makes possible to play with that problem. It is not very difficult.
Some mathematical information on the end of this page and on the next one, if you want you can go directly to page 13