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Les deux plis sont séparés. Nous supposons que les particules suivent les géodésiques de chacun des plis. Appelons « particules normales » les particules de matière ordinaire, qui se déplacent dans le pli F. Appelons « photons normaux » ceux qui se déplacent dans le pli F, le long de leurs géodésiques spéciales « nulles ».
Appelons « matière fantôme » la matière qui suit les géodésiques du pli F*.
Appelons « photons fantômes » les photons qui se déplacent le long de leurs trajectoires (spéciales, nulles) dans le pli F*.
La lumière émise par la matière, dans le pli F, ne peut pas être reçue par la matière fantôme, car les photons ne peuvent pas passer du pli F au pli F*.
La « lumière fantôme », émise par des « atomes fantômes » dans le pli F*, ne peut pas être reçue par la matière située dans le pli F, car les photons fantômes ne peuvent pas passer du pli F* au pli F.
En conclusion, les objets situés dans F* sont optiquement invisibles depuis le pli F, et réciproquement. Nous supposons que ces deux mondes ne communiquent que par gravitation.
L'invisibilité des objets de l'autre pli repose sur des arguments purement géométriques.
Introduction d'un système d'équations de champ.
La relativité générale classique était régie par l'équation du tenseur de champ d'Einstein :
(129)
S = c T
Le tenseur T peut être considéré comme l'entrée du problème, la question étant :
- Quelle géométrie correspond à un champ d'énergie-matière donné ?
Une géométrie est (localement) entièrement contenue dans un objet mathématique appelé métrique g (qui est un tenseur), à partir duquel on peut construire le « tenseur géométrique S », et résoudre l'équation de champ.
À partir du tenseur métrique g, on peut également construire le système de géodésiques de l'hypersurface-solution et « le lire ».
Ici, nous avons deux hypersurfaces interagissant, chacune possédant sa propre métrique. Appelons g la métrique de l'hypersurface F (pli F) et g* la métrique de l'hypersurface F* (pli F*).
L'hypothèse des courbures conjuguées donne :
S* = - S ****
S étant le tenseur géométrique construit à partir de la métrique g et S le tenseur géométrique construit à partir de la métrique g.**
(mais cela n'implique pas que g* = - **g **).
L'hypothèse des courbures opposées est justifiée dans l'article :
** J.P.Petit & P.Midy : Géométrisation de la matière et de l'antimatière par action coadjointe d'un groupe sur son espace des moments. 4 : Le groupe jumeau. Description géométrique de l'antimatière de Dirac. Interprétations géométriques de l'antimatière après Feynman et le soi-disant théorème CPT. Physique Géométrique B, 4, mars 1998.**
sur des arguments de théorie des groupes.
Géométrie induite.****
La figure (128) correspond à un effet de géométrie induite. La matière est présente dans le pli F, à l'intérieur de la frontière (circulaire). Elle correspond à la zone grise. En 3D, cette matière remplirait une sphère de densité constante.
Le pli F* est totalement vide. À l'intérieur de la frontière circulaire, face au disque gris appartenant à F, nous conservons la surface blanche. Cela signifie que cette courbure négative est due à la présence d'une masse dans l'autre pli. Il s'agit d'une géométrie induite.
Dans (128), la masse est dans F. On peut la décrire par un tenseur T (contenu local d'énergie-matière). Les géométries correspondent aux équations :
**S = *c T
S = - c T c’est-à-dire :
S* = - S
À partir de ce système, on calcule les géodésiques des deux plis (voir Physique Géométrique A, 5).
Point important :
Considérons une géodésique du pli F et la courbe formée par ses points conjugués M* dans le pli F*. Ils ne forment pas une géodésique du pli F*
(131)
Réciproquement, considérons une géodésique du pli F* et son image, point par point (point conjugué), dans le pli F. Ce n'est définitivement pas une géodésique du pli F.
(132)
Nous avons donné à notre Univers (supposé être le pli F) un frère jumeau (supposé être le pli F*). Nous avons supposé que notre Univers contient une masse positive, qui produit une courbure positive dans ce pli F (ou une courbure nulle dans les régions où aucune énergie-matière n'est présente).
Nous avons supposé que le système a produit une géométrie induite dans le pli jumeau F*, avec une courbure négative ou nulle (courbure conjuguée).
Les deux géométries sont supposées obéir au système d'équations de champ.
(133) **S **= c T
(134) *S = - **c T
où T est supposé décrire le contenu énergétique-matériel du pli F.
À partir des géodésiques projetées (fig. 128), nous voyons qu'une masse située dans le pli F attire une particule-test en mouvement dans ce pli, mais repousse une particule-test en mouvement dans le pli jumeau F*, le long d'une géodésique de celui-ci, comme si elle repoussait les nombreuses particules pouvant être situées dans ce pli jumeau F* (supposé suivre les géodésiques de ce pli).
Les photons fantômes suivent les géodésiques (nulles) du pli F*. Comme nous pouvons le voir, la présence d'une masse M dans le pli F produit un effet de lentille gravitationnelle négative dans le pli F*.
Nous avons construit la solution mathématique exacte du système d'équations de champ ci-dessus. Voir :
J.P.Petit & P.Midy : Astrophysique de la matière fantôme. 2 : Métriques stationnaires conjuguées. Solutions exactes. Physique Géométrique A, 5, mars 1998.
Dans le pli F, la solution correspond à la solution classique dite de Schwarzschild. Nous suggérons de nommer la solution métrique conjuguée, décrivant la géométrie du pli F* : « négaschwarzschild ».
Version originale (anglais)
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The two folds are separated. We assume that particles follow the geodesic of each folds. Call "normal particles" the particles of normal matter, which travel in the fold F. Call "normal photons" the ones which travel in the fold F, along their special "null-geodesics".
Call "ghost matter" the matter which follows geodesics of the fold F*.
Call "ghost photons" the photons which travel along their (special, null-geodesics) paths, in fold F*.
Light emitted by matter, in fold F, cannot be received by ghost matter, for photons cannot cross from fold F to fold F*.
"Ghost light", emitted by "ghost atoms" in the fold F*, cannot be received by matter, located in the fold F, for ghost photons cannot cross from the fold F* to the fold F.
As a conclusion, the objects located in F* are optically invisible from the fold F, and vice-versa. We assume that these two worlds only communicate through gravitation.
The invisibility of the other fold's objects is based on pure geometric grounds.
Introducing a field equations system.
Classical general relativity was ruled by the Einstein field tensor equation :
(129)
S = c T
The tensor T can be considered as the input of the problem, the question being :
- What geometry goes with a given energy-matter's field ?
A geometry is ( locally ) fully contained in a mathematical object called a metric** g** (which is a tensor), from which we can build the "geometric tensor S", and solve the field equation.
From the metric tensor** g** we can also build the geodesic system of the hypersurface-solution and "read it".
Here we have two interacting hypersurfaces, each owning its metric. Call g the metric of the hypersurface F (fold F) and g* the metric of the hypersurface F* (fold F*).
The hypothesis of conjugated curvatures gives :
S* = - S ****
S being the geometrical tensor built from the metric g and S the geometrical tensor built from the metric g.**
( but this does not imply** g*** = - **g **).
The opposite curvatures hypothesis is justified in the paper :
** J.P.Petit & P.Midy : Geometrization of matter and anti-matter through coadjoint action of a group on its momentum space. 4 : The Twin group. Geometrical description of Dirac's anti-matter. Geometrical interpretations of anti-matter after Feynmann and so-called CPT-theorem. Geometrical Physics B, 4, march 1998.**
on group's theory arguments.
Induced geometry.****
The figure (128) corresponds to an *induced geometry *effect. Matter is present in the fold F, inside the (circular) border. It corresponds to grey area. In 3d this matter would fill a sphere with constant density.
The fold F* is totally empty. Inside the circular border, facing the grey disk, which belongs to F, we keep the surface white. It means that this negative curvature is due to the presence of a mass in the other fold. This is an *induced geometry *.
In (128) the mass is in F. We can describe it by a tensor** T** (local energy-matter content). The geometries correspond to equations :
**S = *c T
S = - c T i.e :
S* = - S
From this system one computes the geodesics of the two folds ( see Geometrical Physics A , 5 ) .
Important point :
Consider a geodesic of the fold F and the curve composed by its conjugated points M* on fold F*. They do not form a geodesic of F*
(131)
Conversely, consider a geodesic of fold F* and its image, point to point (conjugated point) in fold F. This is definitively not a geodesic of fold F.
(132)
We have given our Universe ( supposed to be the fold F ) a twin brother ( supposed to be the fold F* ). We have assumed that our Universe contains positive mass, which produce positive curvature in this fold F ( or zero curvature in the regions where no energy-matter is present).
We have assumed that system produced an induced geometry in the twin fold F*, with negative or zero curvature (conjugated curvature).
The two geometries are supposed to obey the field equations system.
(133) **S **= c T
(134) *S = - **c T
where T is supposed to describe the energy-matter's content of fold F.
From the projected geodesics ( fig. 128 ) we see that a mass located in the fold F attracts a test-particle cruising in that fold, but repels a test-particle cruising in the twin fold F*, alongs a geodesic of this one, as if it repelled the many that could be located in that twin fold F* ( supposed to follow geodesics of this fold ).
Ghost photons follows (null) geodesics of the fold F*. As we can see, the presence of a mass M in the fold F produces a *negative gravitational lensing effect in fold F.
We have built the exact mathematical solution of the above field equations sustem. See :
J.P.Petit & P.Midy : Matter ghost matter astrophysics. 2 : Conjugated steady state metrics. Exact solutions. Geometrical Physics A , 5 , march 1998.
In Fold F the solution corresponds to the classical so-called Schwarzschild solution. We suggest that we call the conjugated metric solution, describing the fold F*'s geometry : "nega-Schwarzschild".