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Notion de géodésique.

...Dans tout ce qui va suivre nous ne traiterons
que de surfaces à deux dimensions. Il serait préférable
que le lecteur se munisse d'un peu de matériel avant d'entamer cette
lecture. Il y a en effet des choses qui "se comprennent avec les mains", en
effectuant des expériences. Il faut donc:

• Des feuilles de papier bristol, ou de papier un peu fort.

• Un ruban adhésif, si possible coloré.

• Des ciseaux.

...On trouve dans le commerce des rubans en
"scotch toilé" particulièrement commodes, qui ont l'avantage
de pouvoir être déroulés en bandes de largeurs quelconques.

...Prenez une surface, par exemple la carrosserie
de votre voiture. Vous pouvez coller une bande sur celle-ci, en vous arrangeant
pour que celle-ci ne plisse pas, qu'elle adhère toujours complètement
à son support. Ce faisant vous tracerez des géodésiques
de la "surface-voiture".

...Si vous faites cette opération sur
une surface plane, vous obtiendrez.. des droites. Les droites sont les géodésiques
du plan.

...Avec trois géodésiques vous
pourrez tracer un triangle sur ce plan, "surface euclidienne", la somme des
angles de ce plan valant 180°.

Les posicônes.

Fabriquons maintenant un "posicône". Pour ce faire, effectuer une découpe
d'un angle q et recoller la surface comme indiqué.

...Traçons deux triangles géodésiques,
avec le ruban adhésif, l'un étant extérieur au sommet
Sde ce posicône et l'autre contenant ce sommet S. Mesurons la somme
des angles du triangle. On constate alors que la somme des angles du triangle
qui ne contient pas le sommet reste égale à 180° alors que
celle de l'autre triangle vaut 180°+q .

Pour le vérifier il suffirait de rouvrir ce "posicône" et de
le mettre à plat. Alors on obtiendrait ceci :

...On peut alors vérifier aisément
que les droites AH et H'B font un angle q. Comme on pourrait le constater
"expérimentalement", les géodésiques du cône, après
mise à plat, deviennent des droites du plan, ce qui signifie simplement
que le cône est une surface développable. Même chose pour
un cylindre.

...Une surface développable
est également une surface qu'on peut rouler sur un plan (modulo certaines
précautions, pour les surfaces développables à courbure
négative, comme on le verra plus loin).

...Si on trace une géodésique
sur un cône ou un cylindre, avec de l'encre grasse, on peut se servir
de cette "matrice" pour "l'imprimer" sur un plan, auquel cas on obtient une
droite. Et, inversement, si on inscrit une droite à l'encre grasse
sur un plan et qu'on "l'imprime" sur un cône ou un cylindre, en faisant
rouler ces objets sur le plan, l'impression donne des... géodésiques.

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